1626435369-4a205d40e2b4b2fdf839595d527f8c73 (844187)
Текст из файла
Ìàòåðèàë ê êóðñó ëåêöèé ÌåòîäûÌîíòå-ÊàðëîÃ.À. Ìèõàéëîâ1ÌîäåëèðîâàíèåðàâíîìåðíîðàñïðåäåëåííûõïàðíîìåðîâÏóñòüξ, η ∈ 1, n, ξ 6= η .Òàêèå ðàâíîâåðîÿòíûå ïàðû íîìåðîâ,â ÷àñòíîñòè, ìîäåëèðóþòñÿ ïðè ðåøåíèè íåëèíåéíûõ êèíåòè÷åñêèõ óðàâíåíèé ìåòîäîì Ìîíòå-Êàðëî .Èçâåñòåí ñëåäóþùèé àëãîðèòì:α1 := rand; α2 := rand;ξ := entier(α1 × n) + 1; η := entier(α2 × (n − 1)) + 1;åñëè η ≥ ξ òî η := η + 1.Îáîñíîâàíèå ýòîãî àëãîðèòìà ñëåäóåò èç ñîîòíîøåíèÿP (ξ = i, η = j) = P (ξ = i)P (η = j|ξ = i) =1=P (ξ = i), j = 1, ..., i − 1, i + 1, ..., n,n−1êîòîðîå ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå íà ëþáîì ôèêñèðîâàííîì ïîäìíîæåñòâå ðàññìàòðèâàåìûõ ïàð òàêæå ðàâíîìåðíî.
Èíòåðåñíî çàìåòèòü, ÷òî çäåñü äîïóñòèìà ïîäñòàíîâêà:α2 = nα1 − ξ + 1(ñì. äàëåå ðàçäåë 4).1Çäåñü è äàëåå ÷åðåçrandîáîçíà÷åíà ïðîöåäóðà, ðåàëèçóþ-ùàÿ ñëåäóþùåå, ò.å. êàæäûé ðàç íîâîå, ïñåâäîñëó÷àéíîå ÷èñëî.Ñèìâîëîìαñ ðàçëè÷íûìè èíäåêñàìè îáîçíà÷àþòñÿ íåçàâèñè-ìûå ðåàëèçàöèè áàçîâîãî ñëó÷àéíîãî ÷èñëà, ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííîãî â (0,1).Äîïîëíèòåëüíîåk−1entier[n(nñëó÷àéíûåíîìåðàα − entier(nè ðàâíîìåðíî2çàìå÷àíèå:k−1α))] + 1, k = 1, 2, 3, ..., íåçàâèñèìûðàñïðåäåëåíû â 1, n.Ìîäåëèðîâàíèå ãàììà è áåòà-ðàñïðåäåëåíèéÐàññìàòðèâàåòñÿ ðàñïðåäåëåíèå ñ ïëîòíîñòüþ2.1.ïðèλν xν−1e−λxfν,λ(x) =, x > 0, λ > 0Γ(ν)0 < ν < 1. Èçâåñòíî, ÷òî ñëó÷àé ïðîèçâîëüíîãî νñâîäèò-ñÿ ê ðàññìàòðèâàåìîìó íà îñíîâå ïðàâèëà êîìïîçèöèè ãàììàðàñïðåäåëåíèé.Ñïðàâåäëèâî ïðåäñòàâëåíèå:ξν,λ =ãäåξνξν,λðàñïðåäåëåíî ñ ïëîòíîñòüþxν−1e−xfν (x) =,Γ(ν)ò.ê.P ( ξλν < x) = Fν (λx) = Fν,λ(x).x > 0,Ìîäåëèðîâàíèåξνîñóùåñòâ-ëÿåòñÿ ìàæîðàíòíûì ìåòîäîì èñêëþ÷åíèÿ íà îñíîâå ñîîòíîøåíèÿ(g(x) = xν−1 −xe≤ g1(x) =2xν−1,e−x,x ≤ 1,x > 1,ïðè÷åì ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíàξ1ñ ïëîòíîñòüþ(ν −1 + e−1)−1g1(x)ìîäåëèðóåòñÿ ìåòîäîì îáðàòíîé ôóíêöèè, òî-åñòü ïóòåì ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ1ν −1 + e−1Zξ1g1(x) dx = α.0Åñëèν −1ν −1 +e−1α<1ν −1 + e−1Zξ1=1,1+νe−1òîξ1 = [α(1 + νe−1)]1/ν ,xν−1 dx = α,(2.1)0èíà÷å1ν −1 + e−1Zξ1−xeν −1,dx = α− −1ν + e−1ξ1 = − ln[(e−1+ν −1)(1−α)].1(2.2) èñïîëüçóåìîì äàëåå àëãîðèòìå èñêëþ÷åíèÿ, îñíîâàííîì íàïðîâåðêå íåðàâåíñòâàg(ξ1) < α1g1(ξ1),ìîæíî óìåíüøèòü ÷èñ-ëî âû÷èñëèòåëüíûõ îïåðàöèé, ñîêðàùàÿ îäèí èç ìíîæèòåëåéâ âûðàæåíèèg(ξ1),òî-åñòü â ñëó÷àå (2.1) ïîëàãàòüξ = ξ1,ξ ðåàëè-α1 < e−ξ1 , à â ñëó÷àå (2.2) òàêîå çíà÷åíèåν−1çîâàòü, åñëè α1 < ξ1.
Èçâåñòíî, ÷òî ñðåäíåå ÷èñëîåñëèöèê-ëîâ â òàêîé ïðîöåäóðå èñêëþ÷åíèÿ ïðîïîðöèîíàëüíî âåëè÷èíåS(ν) = (ν −1 + e−1)/Γ(ν),Sν0 (ν) > 0, 0 < ν < 1 .ïðè÷åìS(0) = 1, S(1) = 1 + e−1èÎòìåòèì, ÷òî ìîäåëèðîâàíèå ãàììà-ðàñïðåäåëåíèé øèðîêîèñïîëüçóåòñÿ ïðè ðåøåíèè ñòîõàñòè÷åñêèõ çàäà÷ ìåòåîðîëîãèèè ôèíàíñîâîé ìàòåìàòèêè.3Ïëîòíîñòü áåòà-ðàñïðåäåëåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé:2.2.xp−1(1 − x)m−1fp,m(x) =,B(p, m)ãäåp, m > 00 < x < 1,- ïàðàìåòðû.Äëÿ ñëó÷àÿ öåëîãîmèçâåñòíà ñëåäóþùàÿ ìîäåëèðóþùàÿôîðìóëà:ξp,m = expXmk=1Ïðèâåäåííûéâó÷åáíèêàõln αk.p+k−1âûâîäýòîé(2.3)ôîðìóëûÿâëÿåòñÿíåñòàíäàðòíûì è òåõíè÷åñêè ñëîæíûì.
Åãî ïðîâåðêà çàòðóäíèòåëüíà è, ïî-âèäèìîìó, â ñâÿçè ñ ýòèì ôîðìóëà (2.3) íåçàñëóæåííî ìàëî èñïîëüçóåòñÿ. Îäíàêî ýòó ôîðìóëó ìîæíî îáîñíîâàòü ïåðåõîäîì ê ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå -ln ξp,m,ïëîòíîñòü ðàñ-ïðåäåëåíèÿ êîòîðîé ëåãêî âûâîäèòñÿ èíäóêöèåé ïîm ñ èñïîëü-çîâàíèåì ôîðìóëû ñâåðòêè:ZxC0e−zp(1 − e−z )m−1e−(p+m)(x−z)dz =0= C0e−(p+m)x= CeÄëÿp, mZxez (ez − 1)m−1dz =0−(p+m)x x(e − 1)m = Ce−px(1 − e−x)m.íåöåëûõ ìîæíî èñïîëüçîâàòü ìàæîðàíòíûé âàðèàíòìåòîäà èñêëþ÷åíèÿ, ðàññìàòðèâàÿ â êà÷åñòâå ìàæîðàíòû äëÿxp−1(1 − x)m−1îäíó èç ôóíêöèé:x[p]−1(1 − x)m−1,xp−1(1 − x)[m]−1,4êðîìå ñëó÷àÿ:p, m < 1, äëÿ êîòîðîãî ïðåäâàðèòåëüíî èñïîëü-çóåòñÿ àëãîðèòì ñóïåðïîçèöèè (ñì. ðàçäåë 4) íà îñíîâå ïðåäñòàâëåíèÿfp,m(x) =3Ìåòîäpmfp+1,m(x) +fp,m+1(x).p+mp+mìàæîðàíòíîãî(ìàêñèìàëüíîãî)ñå÷åíèÿäëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ îáîáùåííîãî ýêñïîíåíöèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿÏóàññîíîâñêèé ñëó÷àéíûé òî÷å÷íûé ïîòîê{τi} i = 0, 1, ...èí-σ(t) õàðàêòåðèçóåòñÿ òåì, ÷òî ñëó÷àéíûå âåëè÷èíûτi − τi−1(i = 1, 2, ...) ðàñïðåäåëåíû ñîîòâåòñòâåííî ñ ïëîòíîñòÿ-òåíñèâíîñòèìèãäåfi(t|τi−1) = σ(t + τi−1) exp(−T (t; τi−1)),RtT (t; τi−1) = σ(t0 + τi−1) dt0; τ0 = 0.t > 0,0Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî÷àéíîé âåëè÷èíûξ = τ1T (∞; τi−1) = +∞.Ðàñïðåäåëåíèå ñëó-ñ ïëîòíîñòüþZtf (t) ≡ f1(t|0) = σ(t) exp−σ(t0) dt0 ,t > 0,0áóäåì íàçûâàòü îáîáùåííûì (èëè íåîäíîðîäíûì) ýêñïîíåíöèàëüíûì.(m)σ(t) ≤ σm(t), ïðè÷åì ïóàññîíîâñêèé ïîòîê {τi }òåíñèâíîñòè σm (t) äîñòàòî÷íî ïðîñòî ìîäåëèðóåòñÿ.
ÌåòîäÏóñòüèíìà-æîðàíòíîãî ñå÷åíèÿ âûòåêàåò íåïîñðåäñòâåííî èç èçâåñòíîãîñâîéñòâà ïðîðåæèâàíèÿ ïîòîêà5(m){τi}:(m)(i = 1, 2, ...) èñêëþ÷àòü óñëîâíî íåçàâèñèìî ñ(m)âåðîÿòíîñòÿìè 1−σ(τi )/σ(τi), òî-åñòü îòáèðàòü ñ âåðî(m)ÿòíîñòÿìè p(τi ) = σ(τi )/σ(τi), òî îòîáðàííûå òî÷êè {τj }ðåàëèçóþò òî÷å÷íûé ïîòîê èíòåíñèâíîñòè σ(t).Ñ òî÷íîñòüþ äî ðàññìîòðåíèÿ âåëè÷èí o(dt), ýòî ñâîéñòâîåñëè òî÷êèτiñëåäóåò èç òîãî, ÷òî âåðîÿòíîñòü ïîÿâëåíèÿ îòîáðàííîé òî÷êèâ èíòåðâàëå(t, t + dt)ðàâíàp(t) · σ (m)(t) dt = σ(t)dt.Íà îñíîâåâûøåñêàçàííîãî ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü àëãîðèòì ìàæîðàíòíîãî ñå÷åíèÿ:(m)ðåàëèçóåòñÿ ïîòîê {τi}, ïðè÷åì îïðåäåëÿåòñÿ(m)(m)(m)αi < σ(τi )/σm(τi )}; â ðåçóëüòàòå ξ = τν .σm(t) ≡ σmÑîîòâåòñòâóþùèé âàðèàíòóν = min{i :àëãîðèòì ìàêñè-ìàëüíîãî ñå÷åíèÿ Êîëåìàíà (W.A.Coleman) ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü îñîáåííî ïðîñòî:ξ := 0;L : ξ := ξ−ln(rand)/σm;Ïðè ýòîìE(ν) < +∞,åñëèrand > σ(ξ)/σm(ξ)òî íàσ(t) ≥ ε > 0.
Áîëååâåëè÷èíû E(ν) ïîëó÷àåòñÿ ïó-â ÷àñòíîñòè, åñëèðåàëüíûé êðèòåðèé êîíå÷íîñòèòåì ðàññìîòðåíèÿ âåðîÿòíîñòè îòáîðà ÷åðåç îäíó òî÷êó ïîòîêà(m)τi.Ìåòîä ìàæîðàíòíîãî ñå÷åíèÿ øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ ïðè ðåøåíèè êèíåòè÷åñêèõ óðàâíåíèé ìåòîäîì Ìîíòå-Êàðëî äëÿ ãåîìåòðè÷åñêè ñëîæíûõ ðàäèàöèîííûõ ìîäåëåé. Èçâåñòåí òàêæåðàíäîìèçèðîâàííûé (ïî ñëàãàåìûì âåëè÷èíûσ ) âàðèàíò ýòîãîìåòîäà ïîä íàçâàíèåì ìåòîä ìàæîðàíòíîé ÷àñòîòû.64Ìåòîä äèñêðåòíîé ñóïåðïîçèöèè (ðàíäîìèçàöèÿìîäåëèðîâàíèÿ){pi} - âåðîÿòíîñòè, {fi(x)} - ïëîòíîñòè âåðîÿòíî{ψi(α)} - ñîîòâåòñòâóþùèå ìîäåëèðóþùèå ôóíêöèè èXpifi(x), i = 1, 2, ....f (x) =Ïóñòü4.1.ñòåé,iÑîãëàñíî ìåòîäó äèñêðåòíîé ñóïåðïîçèöèè ñëó÷àéíàÿ âåëè÷è-ξíàf (x) ìîäåëèðóåòñÿ ñëåäóþùèìñ ïëîòíîñòüþ âåðîÿòíîñòåéîáðàçîì:åñëèα1 ∈ ∆k =Xk−1kXpi ,pii=1ξ = ψk (α2).òîi=1Âåëè÷èíóα2çäåñü ìîæíî çàìåíèòü íàα1 −k−1Ppi /pk ,òàêi=1êàê ïðè óñëîâèèα1 ∈ ∆kâåëè÷èíàα1 −k−1Ppiðàâíîìåðíî ðàñ-i=1ïðåäåëåíà â èíòåðâàëå[0, pk ).Òàêèì îáðàçîì ïîëó÷àåòñÿ ìîäèôèöèðîâàííûé àëãîðèòì.Îòìåòèì, ÷òî àëãîðèòì äèñêðåòíîé ñóïåðïîçèöèè ýëåìåíòàðíî îáîñíîâûâàåòñÿ ïóòåì âû÷èñëåíèÿ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿïî ôîðìóëå ïîëíîé âåðîÿòíîñòè.4.2.Äàëåå ðàññìîòðåí ïðàêòè÷åñêè âàæíûé ïðèìåð èñïîëü-çîâàíèÿ ìîäèôèöèðîâàííîãî àëãîðèòìà ñóïåðïîçèöèè.Ïóñòüf (x) ≡ f (x; s), ξ ≡ ξs,ãäås- íåêîòîðûé ïàðàìåòð,ïðè÷åìf (x; s) =s − s1s2 − sf (x; s2) +f (x; s1),s2 − s1s2 − s17s 1 ≤ s ≤ s2 ,s1 ≤ s ≤ s2îïðåäåëÿåòñÿ ëèíåéíîéèíòåðïîëÿöèåé ïî ïàðàìåòðó.
Ïîëàãàÿ(s − s1)/(s2 − s1) = p2,òî-åñòüf (x; s)â èíòåðâàëåf (x; s1) = f1(x),f (x; s2) = f2(x), ïîëó÷àåì ñîîòâåòñòñâóþùèéìîäèôèöèðîâàííûé àëãîðèòì äèñêðåòíîé ñóïåðïîçèöèè:åñëèα < p1òîξ := ψ1(α/p1)èíà÷åξ := ψ2 (α−p1)/p2 .Òàêîé àëãîðèòì öåëåñîîáðàçíî èñïîëüçîâàòü, â ÷àñòíîñòè, ïðèìîäåëèðîâàíèè ðàññåÿíèÿ ÷àñòèöû ñîîòâåòñòâåííî èíäèêàòðèñå, êóñî÷íî-ëèíåéíî çàâèñÿùåé îò äëèíû âîëíû.
Åñëè0 ≤ ξs ≤s, òî çäåñü öåëåñîîáðàçíî ïåðåõîäèòü ê ìîäåëèðîâàíèþ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξs /s.5Ìîäåëèðîâàíèå ãàóññîâñêîãî ñëó÷àéíîãî âåêòîðàη = (ηi, ..., ηl )Tñ íóëåâûìñðåäíèì (Eη = 0)è êîððåëÿöèîííîé ìàòðèöåé K = Kiji, j = 1, ..., l ìîäåëèTðóåòñÿ ïî ôîðìóëå: η = Aξ , ãäå ξ = (ξ1 , ..., ξl ) - âåêòîð íåçàâèñèìûõ ñòàíäàðòíûõ íîðìàëüíûõ âåëè÷èí è A = {aij } (1 ≤j ≤ i ≤ l) - ïîäõîäÿùàÿ íèæíÿÿ òðåóãîëüíàÿ ìàòðèöà. Áóäåìïðåäïîëàãàòü, ÷òî ìàòðèöà K ñòðîãî ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíàÃàóññîâñêèé âåêòîðè, ñîîòâåòñòâåííî, ñòðîãî ïîëîæèòåëüíûìè ÿâëÿþòñÿ åå ãëàâíûå ìèíîðû. ÏîñêîëüêóEξξ T = diag(1, ..., 1),òî ñïðàâåäëèâîñîîòíîøåíèå:EAξ(Aξ)T = EAξξ T AT = AEξξ T AT = AAT = R.8Èç ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà ëåãêî ïîëó÷àåòñÿ èçâåñòíîå ðåêóððåíòíîå ïðåäñòàâëåíèå âåëè÷èívuj−1uXajj = tRjj −a2jk ,aij :Rij −aij =k=1j−1Paik ajkk=1Ïîä çíàêîì êâàäðàòíîãî êîðíÿ çäåñü èìååò ìåñòîìèíîð ìàòðèöûK .
Åñëè âåëè÷èíû Kij.ajjj -éãëàâíûéâû÷èñëÿþòñÿ ñòàòèñòè-÷åñêè ïðèáëèæåííî, òî ãëàâíûå ìèíîðû ìîãóò îêàçàòüñÿ îòðèöàòåëüíûìè è ìàòðèöóKñëåäóåò ìîäèôèöèðîâàòü. Íàèáîëååïðîñòî ýòî ñäåëàòü, ñäâèíóâ ñïåêòð:Kii → Kii + ε.Áîëåå òî÷-íàÿ ìîäèôèêàöèÿ ïîëó÷àåòñÿ çàíóëåíèåì îòðèöàòåëüíûõ ñîáñòâåííûõ ÷èñåëK ñ èñïîëüçîâàíèåì âðàùåíèÿ ñèñòåìû êîîðäè-íàò. Òàêèì îáðàçîì óìåíüøàåòñÿ ðàíã êîâàðèàöèîííîé ìàòðèöû è ìîäåëèðîâàíèå îñóùåñòâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ïðåîáðàçîâàíèåì âåêòîðà ìåíüøåé ðàçìåðíîñòè.
Ðàçðàáîòêà òàêîãî àëãîðèòìà(à òàêæå èññëåäîâàíèå ïîãðåøíîñòè, âîçíèêàþùåé ïðè ñäâèãåñïåêòðà) ÿâëÿåòñÿ îäíîé èç çàäà÷ ÷èñëåííîãî ñòàòèñòè÷åñêîãîìîäåëèðîâàíèÿ. çàêëþ÷åíèå ýòîãî ðàçäåëà ðàññìîòðèì ôîðìóëû Âèíåðà(Wiener N.)pξ1 = −2 ln α1 cos(2πα2),Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíûξ1, ξ2ξ2 =p−2 ln α2 sin(2πα2).(5.1)íåçàâèñèìû è ñòàíäàðòíî íîðìàëü-íû.
Îäíàêî, ïðè èñïîëüçîâàíèè ïñåâäîñëó÷àéíûõ ÷èñåë ýòèñâîéñòâà âîñïðîèçâîäÿòñÿ óäîâëåòâîðèòåëüíî ëèøü ïðè óñëîâèè äîñòàòî÷íîé ðàâíîìåðíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ òî÷êè(α1, α2)â åäèíè÷íîì êâàäðàòå. Îïðåäåëÿåìûé ôîðìóëàìè (5.1) âåêòîðèçîòðîïåí íà ïëîñêîñòè. Èçâåñòíî áîëåå îáùåå óòâåðæäåíèå:9ñëó÷àéíûé âåêòîð(ξ1, . . . , ξl )ñ íåçàâèñèìûìè îäèíàêîâî íîðlìàëüíî ðàñïðåäåëåííûìè êîìïîíåíòàìè èçîòðîïåí â R .Ñ äðóãîé ñòîðîíû , ïîëó÷åíî ñëåäóþùåå âûðàæåíèå ôóíêöèèðàñïðåäåëåíèÿ l -îé êîìïîíåíòû l -ìåðíîãî åäèíè÷íîãî èçîòðîï-íîãî âåêòîðàωl :Fl (t) = P (xl < t) =ãäåSlSl−1SlarcZ sin tcosl−2(Θ) dΘ,− π2- ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè åäèíè÷íîé ñôåðû âíûå êîìïîíåíòû âåêòîðàxl−1, xl−2, .
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
