1625915935-6583c2172c4c3057de5b4dadc3aeb730 (844029)
Текст из файла
НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВАИ ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫА. Е. Гутман∗Конспекты лекций для студентов 3-го курсамеханико-математического факультетаНовосибирского государственного университетаВерсия 1.00 (6 сентября 2010 г.)c 2008–2010 Гутман А. Е.∗Работа поддержана Фондом содействия отечественной науке.1§ 1. Векторные пространства1.1. ОпределениеАбелева группаПусть G — некоторое множество и + : G2 → G. Пара (G, +) называется абелевой(0)(1)(2)(3)группой ,еслиG 6= ∅;(∀ x, y, z ∈ G) (x + y) + z = x + (y + z);(∀ x, y ∈ G) x + y = y + x;(∀ x, y ∈ G)(∃ z ∈ G) y + z = x.В литературе встречаются и другие аксиоматики абелевой группы (эквивалентные приведеннойвыше).
Например, иногда вместо (3) вводится следующая аксиома:(30 ) (∃ z0 ∈ G) (∀ x ∈ G)(x + z0 = x) & (∀ x ∈ G)(∃ y ∈ G)(x + y = z0 ) .УпражнениеПусть выполнены условия (0), (1) и (2). Тогда условия (3) и (30 ) равносильны.Простейшими примерами абелевых групп служат одноэлементное множество {0} (с единственно возможной операцией 0 + 0 = 0) и множество {0, 1}, где 0 + 0 = 1 + 1 = 0 и 0 + 1 = 1 + 0 = 1.1.2. УпражнениеСвойства абелевых групп, сопутствующие термины и обозначенияПусть (G, +) — абелева группа.(1) (∀ x, y ∈ G)(∃! z ∈ G) y + z = x.Элемент z в утверждении (1) называется разностью элементов x и y (в группе G) и обозначаетсясимволом x − y .(2) (∃! z ∈ G)(∀ x ∈ G) x + z = x.Элемент z в утверждении (2) называетсянулем(группы G) и обозначается символом 0.(3) (∀ x ∈ G)(∃! y ∈ G) x + y = 0.Элемент y в утверждении (3) называетсязначается символом −x.(4) (∀ x, y ∈ G) x + (−y) = x − y ;(5) (∀ x ∈ G) −x = 0 − x.противоположнымк элементу x (в группе G) и обо-21.3.
Определение«Аддитивные» и «мультипликативные» термины и обозначенияИспользуемые термины и обозначения, связанные с абелевой группой, зависят от того, какимсимволом обозначена операция рассматриваемой группы.Введенные в разделе 1.2 термины и обозначения иногда называют «аддитивными». Они используются в том случае, когда операция абелевой группы обозначена символом + или каким-либоиным символом, похожим на сложение (например, ⊕ или ).Если же операция абелевой группы обозначена символом, похожим на умножение (например,·, ×, ∗, ◦) то используются «мультипликативные» термины и обозначения:(1) вместо «разность» говорят частное , а вместо x − y пишут x/y или xy ;(2) вместо «ноль» говорят единица , а вместо 0 пишут 1;(3) вместо «противоположный» говорят обратный , а вместо −x пишут x−1 (или 1/x, x1 ).1.4.Если операция обозначена символом ·, то вместо x · y обычно пишут xy .
Эта традиция распространяется и на случай символа ◦.ОпределениеПолеПусть F — некоторое множество, + : F 2 → F , · : F 2 → F . Тройка (F, +, ·) называется полем , если(1) (F, +) — абелева группа;(2) (F \{0}, ·) — абелева группа;(3) (∀ x, y, z ∈ F ) (x + y)z = xz + yz .В соответствии с традицией для группы (F, +) используют аддитивные термины и обозначения,а для группы (F \{0}, ·) — мультипликативные. В частности, возникают такие обозначения, какx − y , 0, −x, x/y , 1, x−1 и т.
п.Простейшим примером поля служит множество {0, 1}, снабженное следующими операциями:0 + 0 = 1 + 1 = 0, 0 + 1 = 1 + 0 = 1, 0 · 0 = 0 · 1 = 1 · 0 = 0, 1 · 1 = 1.УпражнениеПусть (F, +, ·) — поле. Тогда для всех x ∈ F справедливы равенства 0x = 0, (−1)x = −x.1.5. Обозначение1.6.Соглашение о сокращениях и обозначениях по умолчаниюВместо «(F, +, ·) — поле» обычно говорят просто «F — поле» и по умолчанию обозначают операции поля символами + и ·.
Изредка (например, чтобы устранить возможную двусмысленность)символы операций и другие сопутствующие обозначения снабжают соответствующим индексом: +F , ·F , 0F , 1F и т. п. Аналогичные соглашения принимаются и для других алгебраическихсистем (например, для векторных пространств, о которых пойдет речь ниже).ОбозначениеКлассические числовые поля, символ FВ дальнейшем мы будем иметь дело с тремя классическими числовыми полями — полем Qрациональных чисел, полем R вещественных чисел и полем C комплексных чисел.Сразу отметим, что комплексную мнимую единицу мы будем в дальнейшем обозначать символом i, отличая его от обычной буквы i, часто используемой в роли индекса.Поскольку многие утверждения справедливы как для R, так и для C, ради экономии вводится единый символ F, обозначающий любое из этих двух полей.
Разумеется, значение символа F фиксируется на протяжении логически замкнутого фрагмента рассуждений. Например,различные вхождения символа F в формулировку утверждения и его доказательство всюдунаделяются одним и тем же значением (т. е. либо всюду F = R, либо всюду F = C).31.7. ОпределениеВекторное пространствоПусть X — произвольное множество, F — поле, + : X 2 → X , · : F ×X → X . Четверка (X, F, +, ·)называется векторным (или линейным ) пространством над полем F , если(1)(2)(3)(4)(5)(X, +) — абелева группа;(∀ α, β ∈ F )(∀ x ∈ X) α(βx) = (αβ)x;(∀ x ∈ X) 1x = x;(∀ α, β ∈ F )(∀ x ∈ X) (α + β)x = αx + βx;(∀ α ∈ F )(∀ x, y ∈ X) α(x + y) = αx + αy .Для краткости вместо (X, F, +, ·) мы будем писать просто X . При этом символы + и · вводятсяпо умолчанию, как и возможные уточняющие обозначения 0X , 0F , +X и т.
п. (ср. 1.5). Функции+ и · обычно называют линейными операциями (хотя, строго говоря, функция · не являетсяоперацией в X ).Векторные пространства над R часто называютнад C — комплексными .вещественными ,а векторные пространстваРассматривая какое-либо векторное пространство X над полем F , элементы X по традицииназывают векторами , а элементы F — скалярами .Для α ∈ F \{0} и x ∈ X вместо1.8.
Упражнение1xαчасто пишут x/α илиСвойства векторных пространствx.αПусть X — векторное пространство над полем F . Тогда(1) (∀ x ∈ X) 0x = 0 (точнее, 0F · x = 0X );(2) (∀ α ∈ F ) α0 = 0 (точнее, α · 0X = 0X );(3) если α ∈ F , x ∈ X и αx = 0, то α = 0 или x = 0;(4) (∀ x ∈ X) (−1)x = −x.Проверьте гипотезу :(5) если x ∈ X и x = −x, то x = 0.1.9.
ОпределениеНулевое векторное пространствоВекторное пространство (над произвольным полем F ), состоящее из одного элемента, называется нулевым . По традиции единственный элемент такого пространства обозначается символом 0.Таким образом, X = {0} — нулевое векторное пространство над F . Часто вместо X = {0} пишут X = 0, но мы не будем использовать такую запись. Говорят, что векторное пространство Xявляется ненулевым и пишут X 6= {0} (или X 6= 0), если X не является нулевым.1.10. ОпределениеПоле как векторное пространствоЕсли F = (F, +, ·) — поле, то четверка (F, F, +, ·) является векторным пространством над F .Приведенное выше очевидное наблюдение можно неформально прочитать следующим образом:«всякое поле является векторным пространством над самим собой».В частности, Q, R и C являются векторными пространствами (над полями Q, R и C соответственно).41.11.
ОпределениеКонечная степень векторного пространстваПусть X — векторное пространство над полем F и n ∈ N (здесь и ниже N = {1, 2, . . . } — множество натуральных чисел). Рассмотрим степень X n = {(x1 , . . . , xn ) : x1 , . . . , xn ∈ X} и снабдимее покоординатными операциями сложения и умножения на элементы F :(x1 , .
. . , xn ) + (y1 , . . . , yn ) := (x1 + y1 , . . . , xn + yn ),α(x1 , . . . , xn ) := (αx1 , . . . , αxn ).Как легко видеть, четверка (X n , F, +, ·) является векторным пространством над F . Это векторное пространство называется n -й степенью векторного пространства X и по традицииобозначается символом X n . В частности, в наше распоряжение поступают классические векторные пространства Rn и Cn (над R и C соответственно).Для полноты картины следует определить и нулевую степень X 0 векторного пространства X .Формальные соображения (которые мы здесь опускаем) и практический опыт подсказывают,что удобнее всего положить X 0 равным нулевому векторному пространству: X 0 := {0}.
(Выборэлемента 0 в последнем множестве принципиальной роли не играет.)1.12. ОпределениеОвеществление векторного пространстваС формальной точки зрения C не является векторным пространством над R, но его легко «превратить» в векторное пространство над R, оставив множество векторов неизменным (т. е. равным C) и разрешив умножать векторы только на вещественные скаляры. Формально эта процедура означает рассмотрение вместо (C, C, +, ·) четверки (C, R, +, ·|R×C ), которая, как легковидеть, является векторным пространством над R. Это векторное пространство называетсяовеществлением C и обозначается символом CR .Аналогичным образом определяется овеществление любого комплексного векторного пространства: если X = (X, C, +, ·) — векторное пространство над C, то вещественное векторное пространство XR := (X, R, +, ·|R×X ) называется овеществлением пространства X .1.13. ОпределениеИзоморфизм векторных пространствПусть X и Y — векторные пространства над полем F и ϕ : X → Y .
Говорят, что ϕ является изоморфизмом X на Y (а точнее, изоморфизмом категории векторных пространств илилинейным изоморфизмом ), если(1) отображение ϕ : X → Y инъективно;(2) отображение ϕ : X → Y сюръективно;(3) (∀ x1 , x2 ∈ X) ϕ(x1 + x2 ) = ϕ(x1 ) + ϕ(x2 );(4) (∀ α ∈ F )(∀ x ∈ X) ϕ(αx) = αϕ(x).Тот факт, что ϕ является изоморфизмом X на Y категории векторных пространств, мы будемкратко записывать формулой ϕ : X ↔Y.ВП1.14. УпражнениеСвойства изоморфизма векторных пространствПусть X и Y — векторные пространства над полем F и ϕ : X → Y .(1) Если ϕ : X ↔Y , то ϕ−1 : Y ↔X.ВПВП(2) Если ϕ : X ↔Y , то ϕ(0) = 0.ВП(3) Если ϕ : X ↔Y,то(∀x∈X)ϕ(x)=0⇒x=0.ВП(4) Пусть ϕ обладает свойствами 1.13 (2)–(4) и пусть (∀ x ∈ X) ϕ(x) = 0 ⇒ x = 0 .Тогда ϕ : X ↔Y.ВП51.15.
ОпределениеИзоморфные векторные пространстваПусть X и Y — векторные пространства над полем F . Говорят, что X и Y изоморфны (а точнее,изоморфны в категории векторных пространств или линейно изоморфны ), если существуетизоморфизм X на Y категории векторных пространств. В этом случае мы будем писать X ↔Y.ВПКак легко видеть, изоморфность обладает свойствами отношения эквивалентности, а именно,для любых векторных пространств X , Y , Z над полем F справедливо следующее:(1) X ↔X;ВП(2) если X ↔Y , то Y ↔X;ВПВП(3) если X ↔Y иY ↔Z , то X ↔Z.ВПВПВПУпражнениеКакие из векторных пространств R, R2 , CR , C2R изоморфны друг другу?1.16. ОпределениеФункции и семействаВ дальнейшем символом ⊂ обозначается отношение нестрогого включения множеств, т.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
