1625915400-3f66de1b78700ea30568a991ea7bbcd3 (843934)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

УМФ – семинар – К 5 – 21. Классификация и приведение к каноническому виду уравнений в частных производных 2-го порядка1.1. Классификация линейных УЧП 2-го порядка с 2-мя независимыми переменнымиРассмотрим общее УЧП 2-го порядка с 2-мя независимыми переменными:F (x, y; u, ux , uy , uxx , uxy , uyy ) = 0.Его частным случаем является квазилинейное уравнение:a11 uxx + 2a12 uxy + a22 uyy + f (x, y; u, ux , uy ) = 0.Мы же будем изучать, в основном, ещё более частный случай – линейное уравнение:a11 uxx + 2a12 uxy + a22 uyy + b1 ux + b2 uy + cu = f (x, y),(1.1)где коэффициенты aij , bi , c являются, вообще говоря, функциями от (x, y).Опр.

1.1. Характеристической квадратичной формой уравнения (1.1) называетсявыражение:Q(λ1 , λ2 ) = a11 λ21 + 2a12 λ1 λ2 + a22 λ22 .(1.2)Выражениеa11 a12 = a212 − a11 a22∆ = − a12 a22 (1.3)называется дискриминантом квадратичной формы (1.2).Опр. 1.2. Уравнение (1.1) относится к1) гиперболическому типу, если ∆ > 0;2) эллиптическому типу, если ∆ < 0;3) параболическому типу, если ∆ = 0.Замечание 1.1.

В случае, когда коэффициенты aij , bi , c являются функциями от (x, y), дискриминант ∆ также есть функция от (x, y). Поэтому уравнение с переменными коэффициентами может в разных областях плоскости R2 иметь разный тип.Замечание 1.2. Тип уравнения не изменяется при невырожденной замене переменныхξ = ξ(x, y);η = η(x, y).c Д.С. Ткаченко-1-УМФ – семинар – К 5 – 2Опр. 1.3. Каноническим видом уравнения1) гиперболического типа называется видvξξ − vηη + β1 vξ + β2 vη + γv = g(ξ, η), либоvξη + β1 vξ + β2 vη + γv = g(ξ, η);2) эллиптического типа называется видvξξ + vηη + β1 vξ + β2 vη + γv = g(ξ, η);3) параболического типа называется видvηη + β1 vξ + β2 vη + γv = g(ξ, η);1.2.

Приведение к каноническому виду УЧП 2-го порядка с 2-мя независимыми переменнымиАлгоритм.1) Находим ∆, определяем тип уравнения.2) Находим первые интегралы характеристических уравнений:в случае, когда a11 6= 0:dydx=в случае, когда a22 6= 0:dxdy=√a12 ± ∆;a11√a12 ± ∆.a223) Первые интегралы имеют вид:ϕ(x, y) = c,в случае гиперболического типа:в случае эллиптического типа:в случае параболического типа:ψ(x, y) = c;α(x, y) ± iβ(x, y) = c;δ(x, y) = c.4) Делаем замену переменных:в случае гиперболического типа:ξ = ϕ(x, y);;η = ψ(x, y).ξ = α(x, y);;η = β(x, y).ξ = δ(x, y);в случае параболического типа:,η = ε(x, y).δx δy 1где ε(x, y) – любая функция из C такая, что:εx εy 6= 0.в случае эллиптического типа:Результатом произведённой замены будет канонический вид уравнения.Пример 1.1.

№ 91.Привести к каноническому виду в каждой области, где сохраняется тип, уравнениеyuxx + uyy = 0.c Д.С. Ткаченко-2-УМФ – семинар – К 5 – 2Шаг 1. Ищем дискриминант.Так как в нашем случае a11 = y, a12 = 0, a22 = 1, то∆ = a212 − a11 a22 = −y.Поэтомуа)в полуплоскости y < 0 дискриминант ∆ > 0⇒гиперболический тип;б)в полуплоскости y > 0 дискриминант ∆ < 0⇒эллиптический тип;в)на прямой y = 0 дискриминант ∆ = 0⇒параболический тип.Шаг 2. Составим характеристические уравнения.Так как a22 = 1 6= 0, характеристические уравнения имеют вид:√√dxa12 ± ∆dx=,то есть= ± −y.dya22dy(1.4)Это – уравнения с разделяющимися переменными. Решаем их:а)в полуплоскости y < 0√dx = ± −ydy32x + c = ∓ (−y) 2 .3⇒Поэтому первые интегралы имеют вид:33ϕ(x, y) = x + 32 (−y) 2 = c,б)ψ(x, y) = x − 23 (−y) 2 = c(1.5)в полуплоскости y > 0√dx = ±i ydy2 3x + c = ±i y 2 .3⇒Поэтому первые интегралы имеют вид:α(x, y) ± iβ(x, y) = c,в)α(x, y) = x ,где3β(x, y) = 23 y 2(1.6)на прямой y = 0dx = 0 · dy⇒x=cПоэтому первый интеграл (единственный линейно независимый) имеет вид:δ(x, y) = x.(1.7)Шаг 3.

Замена переменных.В соответствии с алгоритмом, необходимо произвести замену:а)в полуплоскости y < 03ξ = x + 23 (−y) 2 ;3η = x − 23 (−y) 2 .Тогда, введя функцию v(ξ, η), получаем:√uy = (−vξ + vη ) −y,ux = v ξ + v η ,uxx = vξξ + 2vξη + vηη ,c Д.С. Ткаченко1uyy = −y (vξξ − 2vξη + vηη ) − √(−vξ + vη ) .2 −y-3-УМФ – семинар – К 5 – 2Подставив найденные производные в исходное уравнение, получаем:1(−vξ + vη ) =yuxx + uyy = y (vξξ + 2vξη + vηη ) − y (vξξ − 2vξη + vηη ) − √2 −y"#1= y 4vξη −= 0.3 (−vξ + vη )2(−y) 23Поделив на 4y и выразив 2(−y) 2 = 32 (ξ − η), получаем канонический вид:vξη −б)1(−vξ + vη ) = 0.6(ξ − η)в полуплоскости y > 0ξ = x;3η = 23 y 2 .Тогда, введя функцию v(ξ, η), получаем:ux = vξ ,uy = vη√y,1uyy = vηη y + √ vη .2 yuxx = vξξ ,Подставив найденные производные в исходное уравнение, получаем:yuxx + uyy11= y (vξξ + vηη ) + √ vη = y vξξ + vηη + 3 vη =2 y2y 2h 3i1vη = 0.= 2y 2 = 3η = y vξξ + vηη +3ηПоделив на y, получаем канонический вид:vξξ + vηη +в)1vη = 0.3ηна прямой y = 0ξ = x;η = y.(Нам надо было произвольным образом выбрать η(x, y) так, чтобы функции ξ, ηобразовывали линейно независимую пару.)Введя функцию v(ξ, η), получаем:ux = v ξ ,uy = vη ,uxx = vξξ ,uyy = vηη .Подставив найденные производные в исходное уравнение при y = 0, получаем:uyy = vηη = 0.Итак, канонический вид исходного уравнения на прямой y = 0:vηη = 0c Д.С.

Ткаченкоили, что то же самое,-4-uyy = 0.УМФ – семинар – К 5 – 2Ответ:1(−vξ + vη ) = 0vξη − 6(ξ−η)1vξξ + vηη + 3ηvη = 0uyy = 0в области y < 0,гиперболический тип;в области y > 0,эллиптический тип;в области y = 0,параболический типПри этом√√η =y−x−2 xξ = y − x + 2 x,√ξ = y − x,η = 2 −xξ = x,η=yв области y < 0;в области y > 0;в области y = 0.1.3. Приведение к каноническому виду УЧП 2-го порядка с постоянными коэффициентамиВ этом параграфе мы будем рассматривать УЧП 2-го порядка с постоянными коэффициентами и n независимыми переменными:nXaij uxi xj + f (x1 , . . .

, xn ; u, ux1 , . . . , uxn ) = 0,(1.8)i,j=1aij = const ∈ R,i, j = 1, n.Опр. 1.4. Характеристической квадратичной формой уравнения (1.8) называетсявыражение:nXQ(λ1 , . . . , λn ) =aij λi λj .(1.9)i,j=1Нормальным видом квадратичной формы (1.9) называется её видQ̃(µ1 , . . . , µn ) =nXβk µ2k ,βk ∈ −1, 0, 1 .(1.10)k=1Каноническим видом уравнения (1.8) называется вид, в котором его характеристическаяквадратичная форма принимает нормальный (или канонический) вид:nXβk uxk xk + g(x1 , . .

. , xn ; u, ux1 , . . . , uxn ) = 0.(1.11)k=1Опр. 1.5. Уравнение (1.8) относится к1) гиперболическому типу, если все коэффициенты βk отличны от нуля и не все одногознака;2) эллиптическому типу, если все коэффициенты βk отличны от нуля и все одного знака;3) параболическому типу, если хотя бы один из коэффициентов βk равен нулю.c Д.С. Ткаченко-5-УМФ – семинар – К 5 – 2Алгоритм.1) Приводим характеристическую квадратичную форму к каноническому (нормальному)виду (1.10) (методом выделения полных квадратов). Выписываем матрицу преобразования, осуществляющую этот процесс:..  µ1 α11 α12 .. α1n  λ1 µ2  α21 α22 .. α2n   λ2  , =det A 6= 0.(1.12). .

.  .. . . . ..........λnµn..αn1 αn2 . αnn{z}|A2) Находим матрицу Γ замены переменных по законуΓ = AT−1.(1.13)3) Производим замену переменных:ξ1 γ11 ξ2  γ21 =. . .  . . .ξnγn1|......γ12γ1n   x 1xγ22γ2n   2. . ... . . .. . . .xn.γn2 .. γnn{z}(1.14)ΓРезультатом произведённой замены будет канонический вид (1.11) уравнения (1.8).2. № 119Привести к каноническому виду уравнение:uxy − 2uxz + uyz + ux +1uy = 0.2Шаг 1. Характеристическая квадратичная форма данного уравнения имеет видQ(λ1 , λ2 , λ3 ) = λ1 λ2 − 2λ1 λ3 + λ2 λ3 .Приведём её к каноническому виду:ν1 = λ1 + λ2 ;Q(λ1 , λ2 , λ3 ) = λ1 λ2 − 2λ1 λ3 + λ2 λ3 =  ν2 = λ1 − λ2 ;  =ν3 = λ31 211 213=ν1 − ν22 − (ν1 + ν2 ) ν3 + (ν1 − ν2 ) ν3 =ν1 − ν22 − ν1 ν3 − ν2 ν3 =424221 2111=ν − 2ν1 ν3 + ν32 −ν 2 + 6ν2 ν3 + 9ν32 + 2ν32 = (ν1 − ν3 )2 − (ν2 + 3ν3 )2 + 2ν32 =4 14 2441 21 2= κ1 − κ2 + 2κ32 = µ21 − µ22 + µ23 , где44c Д.С.

Ткаченко-6-УМФ – семинар – К 5 – 2µ1 = 21 (λ1 + λ2 − λ3 ) ;µ2 = 21 (λ1 − λ2 + 3λ3 ) ;√µ3 = 2 λ 3то есть11 − 12  22µ1 λ13  µ2  =  12 − 21λ2 .2 √µ3λ30 02|{z}AШаг 2. Найдём матрицу замены переменных Γ:√  √211− 2 − 22 0√√ −12 2 1−1=− √ Γ = AT− 220 2=2√√12−1 − 12− 222Шаг 3. Осуществляем замену переменных: 110  ξ xη  =  1−1 0  y √√√ζz2 22− 22то есть00√22ξ = x + y;η = x − y;√ζ = 22 (−x + 2y + z) .Чтобы подставить новые переменные в исходное уравнение, положимv(ξ, η, ζ) = u(x, y, z)и найдём ux , uy , uxy , uxz , uyz как производные сложной функции v (ξ(x, y, z), η(x, y, z), ζ(x, y, z)):√√2ux = vξ + vη −vζ ,uy = vξ − vη + 2vζ ;2√√ √22uxy = vξξ + vξη · (−1) + vηξ · 1 − vηη +(vξζ · 2 + vηζ · 2) −vζξ − vζη + 2 vζζ ⇒22√2uxy = vξξ − vηη − vζζ +(vξζ + 3vηζ ) ;2√12uxz =(vξζ + vηζ ) − vζζ ;22√2uyz =(vξζ − vηζ ) + vζζ ;2Подставляя найденный производные в левую часть исходного уравнения и приводя подобные,получаем:!!√√1221uxy −2uxz +uyz +ux + uy = vξξ − vηη − vζζ +(vξζ + 3vηζ ) −2(vξζ + vηζ ) − vζζ +2222!!√√√ 221+(vξζ − vηζ ) + vζζ + vξ + vη −vζ +vξ − vη + 2vζ =222= vξξ − vηη + vζζ +Ответ:уравнение имеет гиперболический тип,vξξ − vηη + vζζ +c Д.С.

Ткаченко31vξ + vη = 0,22-7-где13vξ + vη .22УМФ – семинар – К 5 – 2√ξ = x + y;η = x − y;ζ=2(−x + 2y + z) .2Замечание 2.1. Поскольку преобразование, приводящее квадратичную форму к нормальномувиду, определено неоднозначно, то и замена переменных, приводящая уравнение к каноническому виду, также определено неоднозначно, поэтому правильных ответов много. Но в любомслучае разница между количеством «плюсов» и «минусов» при вторых проихводных не зависит от способа решения.Замечание 2.2. Старшие коэффициенты уравнения в канонической форме совпадают с коэффициентами нормального вида квадратичной формы. Поэтому, строго говоря, можно былобы не вычислять и не подставлять uxy , uxz , uyz в исходное уравнение, а подставить туда лишьмладшие производные ux , uy .

Однако проделанная полностью подстановка помогает находитьошибки, допущенные на предыдущих шагах.3. № 74Привести к каноническому виду уравнение:uxx + 2uxy + 5uyy − 32u = 0.Шаг 1. Характеристическая квадратичная форма данного уравнения имеет видQ(λ1 , λ2 ) = λ21 + 2λ1 λ2 + 5λ22 .Приведём её к каноническому виду:Q(λ1 , λ2 ) = λ21 + 2λ1 λ2 + 5λ22 = (λ1 + λ2 )2 + (2λ2 )2 = µ21 + µ22 , где λ1µ1 = λ 1 + λ 2 ;µ11 1.то есть=λ2µ2 = 2λ2µ20 2| {z }AШаг 2. Найдём матрицу замены переменных Γ:Γ= AT −11=22 0−1 1Шаг 3.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций