Расчет переходных процессов в электрических цепях во временной области (842035), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Ток i3 рассчитываем аналогично:i3 = 4 − 3 l−100t3− 1l − 300 t .9. Ток i1 = i2 + i3.Замечание. В зависимости от вида корней характеристическогоуравнения функция y(t) имеет различный вид.Пусть i(t) изменяется по закону: i (t) = 5 − 3 l − 100 t + 4l − 200 t . По%строим его график по составляющим i(t) (рис. 1.12), причем по рас%чету i(0–) 2 А.При построении графика учитываем следующее: 1) при t 0+ токi(0+) 6 А (ток в момент коммутации изменился скачком от 2 до6 А); 2) вторая экспонента затухает в два раза быстрее, чем первая;22di(0 ) = −500 A /c. Последнее значение и его знак определяютdt +поведение тока в момент времени t 0+.3)Рис. 1.12Пусть ток iL(t) изменяется по закону iL(t) = 5 sin 400 t · l –100 t.График тока представлен на рис.
1.13.Рис. 1.1323При построении графика учитываем следующее: 1) iL(0+) = 0;diL2) по результатам расчета(0 ) = + 2500 A /c; 3) период коле%dt +2πбаний равен T == 0,0157 с = 0,01 мс, постоянная времени цепиω св11равна τ = =c = 0,01 мс.δ 1002. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ВХОДНЫХВОЗДЕЙСТВИЯХ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМИНТЕГРАЛОВ НАЛОЖЕНИЯЭтот метод основан на сочетании расчета переходных процес%сов при постоянных источниках и принципа суперпозиции. Приэтом предполагается, что в схеме действует только один внешнийисточник сигнала.2.1.
Определение переходной и импульснойхарактеристик цепиПереходная характеристика цепи h(t) – это отношение реак%ции цепи при нулевых начальных условиях на ступенчатое воздей%ствие к величине воздействия, при этом в цепи отсутствуют внут%ренние источники энергии.Обозначим входное воздействие f1(t), а выходное – f2(t). Тогдапереходная характеристика цепи равнаh(t) =f2 (t).f1Так как обычно входное воздействие является единичным ступенча%тым воздействием, переходная характеристика цепи h(t) численноравна реакции цепи на единичное ступенчатое воздействие при ну%левых начальных условиях:h(t) =24f2 (t).1Размерность h(t) равна отношению размерности отклика кразмерности воздействия, поэтому переходная характеристика мо%жет иметь размерность сопротивления, проводимости или бытьбезразмерной.
Например, если откликом является ток, а воздейст%вием ЭДС (1В), то переходная характеристика является переход%ной проводимостью и имеет размерность сименс.Замечание. Условимся нижний индекс переходной характери%стики цепи выбирать соответствующим искомому отклику. Так,если требуется рассчитать напряжение на емкости, то переходнаяхарактеристика обозначается h uC (t), а если требуется рассчитатьток i3(t), то переходная характеристика обозначается h i 3 (t).Импульсная характеристика k(t) численно равна реакции це%пи на единичное импульсное воздействие.Обычно при расчете классическим методом импульсную ха%рактеристику определяют как производную от переходной харак%теристики: k(t) = h ′(t).Пример 2.1. Для схемы рис.
2.1 рассчитать переходную харак%теристику для напряжения на емкости и тока в неразветвленнойчасти схемы i1, если на входе схемы действует источник напряже%ния, а параметры схемы следующие: R1 = 100 Ом, R2 = 400 Ом,С = 125 мкФ.Рис. 2.1Решение. Полагая, что схема подключается к источнику напря%жения 1 В (рис. 2.2), рассчитываем напряжение на емкости uC иток i1 классическим методом:uC (t) = uC вын + uC cв = uC вын + A l pt.25Рис. 2.2Для определения значения р составляем характеристическоеуравнениеR1 R21Zвх(p) =+= 0,Cp R 1 + R 21.cВынужденная составляющая напряжения иС равнаоткуда p = −100uC вын =E = 1BR = 0,8 B.R1 + R2 2Учитывая, что uC (0–) = 0 = uC (0+), определяем постояннуюинтегрирования А:uС (0+) = 0 = 0,8 + A → A = –0,8.Следовательно,uC (t) = 0,8 – 0,8 l–100 t.Ток i1 можно найти аналогично расчету напряжения uC(t) илииз уравненияE = i1R1 + uC →i1(t) = 0,02 + 0,08 l –100 t.Переходные характеристики для напряжения на емкости итока i1 равны соответственноh uC (t) = u C (t) ⋅ 1 (t) = [0,8 − 0,8 ⋅ l − 100 t ] ⋅ 1 (t);h i1 (t) = i1 (t) ⋅ 1 (t) = [0,02 + 0,08 ⋅ l − 100 t ] ⋅ 1 (t).26Причем переходная характеристика для напряжения на емко%сти является безразмерной функцией, а переходная характеристи%ка для тока имеет размерность сименс.В выражениях для переходных и импульсных характеристикединичная функция играет роль ключа.Пример 2.2.
Для схемы (рис. 2.3) определить переходную иимпульсную характеристики цепи по напряжению при R 10 Ом иL 0,1 Гн.Рис. 2.3Решение. Переходную характеристику рассчитываем, полагая,что схема подключается к источнику постоянного напряжения 1 В,причем начальные условия нулевые, т. е. iL(0) = 0:Ri(t) = iL(t) = iL вын + iL cв =− t1+ A ⋅ l L = 0,1 + A ⋅ l − 100 t .RПри t = 0+ ток iL(0+) = 0 = 0,1 + A, откуда А = –0,1.Следовательно,iL(t) = 0,1 – 0,1 · l −100 t ;u L (t) = Ldi= 1 ⋅ l − 100 t ;dth u L (t) = 1 ⋅ l − 100 t ⋅ 1(t).Импульсную характеристику определяем путем дифференци%рования переходной характеристики.272.2. Применение интегралов наложения для расчетапереходных процессовВ зависимости от того, какая характеристика цепи (переходнаяили импульсная) применяется для расчета переходного процессапри произвольных воздействиях, интегралы наложения имеют раз%личные формы записи.
Одной из форм интегралов наложения с ис%пользованием переходной характеристики, получившей большоераспространение в электротехнике, является интеграл Дюамеля.Обозначим входное воздействие f1(t), а выходной сигнал (от%клик) – через f2(t). Для случая когда f1(t) является непрерывнойфункцией при всех t, за исключением точки t 0 , где функция f1(t)может иметь разрыв первого рода, т. е. f1(0) ≠ 0, интеграл Дюамелязапишем в видеtt00f2 (t) = f1 (0)h(t) + ∫ f/1′(τ)h(t − τ)dτ = f1 (0)h(t) + ∫ f/1′(t − τ)h(τ)dτ =tt00= f1 (t)h(0) + ∫ f/1 (τ)h ′(t − τ)dτ = f1 (t)h(0) + ∫ f/1 (t − τ)h ′(τ)dτ.С помощью интеграла Дюамеля можно определить реакциюцепи на входное воздействие и в случае, если входное воздействиеописывается кусочно%непрерывной функцией, имеющей конечноечисло разрывов первого рода.
Тогда интервал интегрирования сле%дует разбить на несколько интервалов в соответствии с интервала%ми непрерывности воздействия f1(t) и учесть при этом реакциюцепи на конечные скачки воздействия f1(t) в точках разрыва. На%пример, если воздействие f1(t) имеет вид, показанный на рис. 2.4,то решение записывают для каждого интервала:для 0 ≤ t < t1tf2 (t) =∫ f/11′ (τ)h(t − τ)dτ;0для t ≥ t1t1f2 ( t) =∫ f/11′ (τ)h(t − τ)dτ + [ f11(t1− ) −f12 (t1+ )] h(t − t1) + ∫ f/12′ (τ)h(t − τ)dτ.028tt1Рис.
2.4Замечание. Так как расчет переходных процессов с использо%ванием интеграла Дюамеля проводится по интервалам, то в вы%ражении переходной характеристики цепи множитель 1(t) от%сутствует.Порядок расчета.1. Определяем переходные и (или) импульсные характеристи%ки цепи.2. Проводим расчет, используя интеграл Дюамеля.Пример 2.3. Для схемы на рис. 2.5 определить закон изменениятока в цепи, если входное напряжение изменяется по законурис. 2.6, U = 10 B, t1 = 0,001 c, R = 10 Ом, С = 100 мкФ.Рис.
2.5Рис. 2.6Решение. Определяем переходную характеристику hi(t). Длячего рассчитываем классическим методом напряжение на емкости,полагая, что схема с нулевыми начальными условиями (речь идет29о независимых начальных условиях, т. е. в данном случае о напря%жении на емкости) подключается к источнику постоянного напря%жения 1В.–1000 t.В результате расчета получаем uC (t) = 1 – 1l–1000 tТок в схеме равен i (t) = 0,1l.Следовательно, ему соответствует переходная характеристикаhi (t) = 0,1l–1000 t.Так как входное воздействие является разрывной функцией,решение записываем для интервалов:для 0 ≤ t < t1ti (t) = u(0)h i (t) + ∫ u ′(τ)h i (t − τ)dτ =0=10 310 3l − 1000 t l 1000τt0t∫ k ⋅ 0,1l − 1000( t − τ ) dτ =0= 1 − l − 1000 t ;при интегрировании учитываем, что входное напряжение изменяет%ся по линейному закону u(t) = kt, где k = 1000;для t ≥ t1t1i (t) =∫ u′(τ)h i (t − τ)dτ + ∆ uh i (t − t1 ) =0= l − 1000 t ⋅ l 1000τt10− 10 ⋅ 0,1 ⋅ l − 1000( t − t1) == l − 1000 t ⋅ (l 1 − 1) − l − 1000 t ⋅ l 1 = −l − 1000 t .На рис.
2.7 представлен график рассчитанного отклика.Замечание. Следует обратить внимание на то, что напряже%ние на емкости не может меняться скачком при любом измене%нии входного воздействия, в то время как ток в емкости можетменяться скачком, если скачком меняется входное воздействие;причем величина скачка тока определяется величиной скачкавходного напряжения так же, как и момент времени, в который30этот скачок происходит. В рассматриваемом примере входноенапряжение уменьшается на 10 В, следовательно, скачок токаравен –1 А. Это же значение получим, рассчитав i(t1+) – i(t1–) == – 0,37 – 0,63 = –1 A.Рис. 2.7Пример 2.4.
Рассчитать закон изменения тока и напряженияна индуктивности в схеме (см. рис. 2.3) при подключении ее к на%пряжению (рис. 2.8), если U = 10 B, t1 = 0,01 c, R = 10 Ом,L = 0,1 Гн.Рис. 2.8Решение. Переходные характеристики были рассчитаны в при%мере 2.2, они равны hi (t) = 0,1 – 0,1 · l –100 t, h u L (t) = 1 · l –100 t.Так как входное воздействие является разрывной функцией,решение записываем для каждого интервала.31Для 0 ≤ t < t1tu L (t) = u(0)h u L (t) + ∫ u ′(τ)h u L (t − τ)dτ = 10 ⋅ l − 100 t ;0i(t) = 1 – 1 · l –100 t.При интегрировании учитываем, что непрерывная часть вход%ного напряжения u(t) = U, u ′(t) = 0.На втором и третьем интервалах u ′(t) = 0, поэтому опускаем взаписи интеграла Дюамеля соответствующие слагаемые.Для t1 ≤t < t2u L (t) = u(0)h u L (t) + ∆ u(t1 )h u L (t − t1 ) == 10 ⋅ l − 100 t − 20 ⋅ l − 100( t − t1) = −44 ⋅ l − 100 t ,i(t) = –1 + 4,4 · l –100 t.Для t ≥ t2u L (t) = u(0)h u L (t) + ∆ u (t1 )h u L (t − t1 ) + ∆ u (t2 )h u L (t − t2 ) == 10 ⋅ l − 100 t − 20 ⋅ l − 100( t − t1) + 10 ⋅ l − 100( t − t2 ) = 30 ⋅ l − 100 t ,i(t) = –3 · l –100 t.На рис.
2.9 представлены графики рассчитанных реакций.Рис. 2.932Проверка правильности расчета проводится так же, как в пре%дыдущем примере. Необходимо только учесть, что в этой схемескачком не может меняться ток в индуктивности, а напряжение наиндуктивности может изменяться скачком.СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1. Попов В.П. Основы теории цепей. М.: Высш.
шк., 2000. 576 с.2. Кузовкин В.А. Теоретическая электротехника. М.: Логос,2002. 480 с.3. Матханов П.Н. Основы анализа электрических цепей. Ли%нейные цепи. М.: Высш. шк., 1990. 364 с.ОГЛАВЛЕНИЕВведение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .31. Классический метод расчета переходных процессов . . . . . . .41.1. Определение начальных условий . . . . . . . . . . . . . . . . .51.2. Определение корней характеристического уравнения . . . .101.3. Расчет переходных процессов классическим методом . . . .142. Расчет переходных процессов при произвольных входныхвоздействиях с использованием интегралов наложения . . . . .242.1. Определение переходной и импульсной характеристикцели . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .242.2. Применение интегралов наложения для расчетапереходных процессов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .34Учебное изданиеСветлана Ивановна МасленниковаРасчет переходных процессовв электрических цепяхво временной областиРедактор О.М. КоролеваКорректор М.А. ВасилевскаяКомпьютерная верстка И.А. МарковойПодписано в печать 06.09.2006. Формат 60 × 84/16. Бумага офсетная.Печ. л. 2,25. Усл. печ.
л. 2,09. Уч.%изд. л. 1,95. Изд. № 11. Тираж 100 экз.ЗаказИздательство МГТУ им. Н.Э. Баумана105005, Москва, 2%я Бауманская ул., 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
