Расчет переходных процессов в электрических цепях во временной области (842035), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Если в схеме для свобод%ных токов есть короткозамкнутая ветвь, то размыкаем ту ветвь, вкоторой рассчитываем переходный ток. В цепях с магнитосвязан%ными индуктивностями для определения входного сопротивленияследует в схеме для свободных токов предварительно устранитьмагнитную связь.Число корней характеристического уравнения равно степенихарактеристического уравнения и не может превышать числа нако%пителей электромагнитной энергии.
Число корней (или порядокуравнения) можно определить без составления этого уравнения поупрощенной схеме, которая получается после замены идеальныхпоследовательно или параллельно соединенных индуктивностейили емкостей соответственно. Тогда порядок характеристическогоуравнения равен числу основных независимых начальных условийiL(0), uC (0) в послекоммутационной схеме после максимального ееупрощения (пример 1.4).10Пример 1.3. Для схем на рис. 1.5, а, 1.6, а, 1.7, а составить ха%рактеристические уравнения.абРис. 1.5Решение. После коммутации составляем схему для свободныхтоков (рис.
1.5, а). Размыкаем любую ветвь (например, R#Lp) и оп%ределяем входное сопротивление схемыZ3вх =R 2 (R 1 + Lp)1.+Cp R 2 + R 1 + LpПриравняв его нулю, получим характеристическое уравнениеR 2 LCp 2 (R 1 R 2C + L) p + R 1 + R 2 = 0.Это же характеристическое уравнение можно получить, ра%зомкнув другие ветви.Схеме на рис. 1.6, а соответствуют схема для свободных токов нарис. 1.6, б и характеристическое уравнение Z вх (p) = R1 + R2 + Lp = 0.Схеме на рис.
1.7, а соответствует схема для свободных токовна рис. 1.7, б. В схеме на рис. 1.7, б средняя и правая ветви замкнутынакоротко, т. е. схема состоит их двух электрически независимыхконтуров (рис. 1.7, в, г).Для схемы на рис.1.7, вZ1вх (p) = R1 + L p = 0;p1 = −R1.L11абРис. 1.6абвРис. 1.712гДля схемы на рис.1.7, гZ2вх (p) = R2 +1= 0;Cpp2 = −1.R 2CТаким образом, степень характеристического уравнения в каж%дом контуре равна 1.При размыкании левой ветви (см. рис.1.7, б)⎛1⎞(R 1 + Lp) ⎜ R 2 + ⎟Cp ⎠⎝Zвх (р) == 0.1R 1 + Lp + R 2 +CpИз этого уравнения получим два корня: p1 = −R11; p2 = − .LCpЭто объясняется тем, что iсв = i1св + i2св.Пример 1.4. Для схемы рис.1.8, а определить число корней ха%рактеристического уравнения, не составляя самого уравнения.Схему на рис.
1.8, а приведем после коммутации к схеме наC 2C 3рис. 1.8, б, в которой L э = L1 + L2 ± 2M, Cэ = C 1 +.C2 + C 3Рис. 1.8Так как схема на рис.1.8, б имеет три основных независимых на%чальных условия: iL э (0), iL 3 (0), uC э (0), порядок характеристичес%кого уравнения равен трем.131.3. Расчет переходных процессовклассическим методомПеред началом расчета необходимо указать на схеме стрелкамиположительные направления токов и напряжений в схеме.Порядок расчета.1.
Рассчитываем схему до коммутации в установившемся ре%жиме и определяем независимые начальные условия. Это единст%венный этап расчета, в котором используется схема до коммута%ции. Все остальные этапы расчета проводятся для схемы послекоммутации.2. Для t ≥ 0 составляем характеристическое уравнение и опре%деляем его корни.3. Записываем уравнение для рассчитываемого тока или напря%жения в виде y(t) = yвын(t) + yсв(t). Рекомендуется проводить рас%чет для тока в индуктивности или напряжения на емкости, для ко%торых известны независимые начальные условия, так как это упро%щает нахождение постоянных интегрирования.
Вид корнейхарактеристического уравнения позволяет определить вид свобод%ной составляющей yсв(t).4. Для схемы после коммутации записываем систему диффе%ренциальных уравнений для мгновенных значений токов и напря%жений. Эта система уравнений позволяет определить вынужден%ные составляющие токов или напряжений (в общем случае) и зави%симые начальные условия.5. Пользуясь системой уравнений, полученных в п. 4, при t == ∞ определяем yвын(t) известными методами расчета установив%шихся режимов.6.
Подставляя в систему уравнений из п. 4, записанную дляt = 0+, найденные в п. 1 независимые начальные условия, определя%ем зависимые начальные условия.7. Пользуясь начальными условиями, находим постоянные ин%тегрирования.8. Записываем выражение y(t) в окончательном виде и строимграфик полученной временной функции.9. Остальные токи и напряжения целесообразно искать, поль%зуясь системой уравнений из п. 4, причем напряжение на индук%14тивности и ток в емкости наиболее просто определяются из соотно%diLduCшений u L = L, iC = C.dtdtПример 1.5.
Для схемы на рис. 1.9, а определить законы изме%нения напряжения на емкости и токи в ветвях, если дано: E = 120 B,J = 4 A, R1 = 10 Ом, R2 = 30 Ом, L = 50 мГн, С = 500/ 3 мкФ.Решение.1. Рассматриваем схему до коммутации (рис.1.9, б) и определя%ем ток в ветви с индуктивностью и напряжение на емкости для мо%мента времени t = 0 из уравнений:uC (0–) = E = 120 B;uав(0–) =Eg 2 + J= 60 B;g1 + g2i1 (0 − ) =u ав (0 − )= 6 A.R1В соответствии с законами коммутации получаемuC (0–) = 120 B = uC (0+);i1(0–) = 6 A = i1(0+).2. Пользуясь схемой после коммутации для свободных токов(рис.1.9, в), составляем характеристическое уравнение и находимего корни:Lp + R 1 + R 2 +1= 0;CpLCp 2 + (R 1 + R 2 ) Cp + 1 = 0;1p1 = −200 ,c1p2 = − 600 .c3. Выбираем в качестве искомой функции напряжение на емко%сти (можно выбрать и ток в индуктивности):uC = uC вын + uC св uC вын + A1l –200 t + A2 l –600 t.15абвгРис.
1.94. Для схемы после коммутации (рис. 1.9, г) записываем систе%му независимых уравнений для мгновенных значений токов и на%пряжений:J = i 1 + i 2;Ldi1+ R 1i1 − R 2 i2 − uC = 0.dt5. В установившемся режиме (t = ∞) ток i2вын = 0, так как схемапитается от источника постоянного тока. Следовательно,16i1вын = J = 4 A;u L вын = Ldi1вын= 0; uC вын = i1вынR1 = 40 B.dt6. При t = 0+ получаем: J = i1(0+) – i2(0+). Отсюда определяемduCiC (0 + ) i2 (0 + )Bi2(0+) = J – i1(0+) = –2 A и(0 + ) === −1200 .dtCCcdi1Замечание. Если расчет ведем для тока i1, то значение(0 )dt +находим из уравненияLdi1(0 ) + R 1i1 (0 + ) − R 2 i2 (0 + ) − uC (0 + ) = 0;dt +di1R 2 i2 (0 + ) + uC (0 + ) − R 1i1 (0 + )(0 + ) == 0.dtL7.
Постоянные интегрирования определяем из системы урав%ненийuC = uCвын + uCсв = 40 + A1l –200 t + A2 l –600 t;duC вын duC свduC=+= −200 A1 l − 200 t − 600 A2 l − 600 t ,dtdtdtкоторая при t = 0+ принимает видuC (0+) = 120 = 40 + A1 + A2,duC(0 + ) = −12000 = −200 A1 − 600 A2 .dtОтсюда находим значения постоянных интегрирования: A1 = 90,A2 = –10.8. Окончательно получаем закон изменения напряжения на ем%кости uC (t) = 40 + 90 l –200 t – 10 l –600 t.9. Показываем, как определять остальные переменные:i2 = iC = CduC= −3 l − 200 t + l − 600 t ;dt17i1 = J − i2 = 4 + 3 l − 200 t − l − 600 t ;uL = Ldi1= −30 l − 200 t + 30 l − 600 t .dtПример 1.6.
Для схемы на рис. 1.10 определить закон измене%ния напряжения на емкости, если дано: E = 120 B; R1 = R2 = R0 == 10 Ом; L = 0,1 Гн; С = 100 мкФ.Рис. 1.10Решение.1. Так как цепь подключена к источнику постоянного напряже%ния, то в установившемся режиме до коммутации индуктивностьимеет нулевое сопротивление, а емкость – бесконечно большое.ПоэтомуEi3 (0 − ) = 0; u L (0 − ) = 0; i1 (0 − ) == 4 A;R 0 + R1 + R2i2 (0 − ) =E= 4 A;R 0 + R1 + R2uC (0 − ) = i2 (0 − )R 2 = 40 B.В соответствии с законами коммутацииi2(0–) = 4 A = i2(0+);uC (0–) = 40 B = uC (0+).2. Корни характеристического уравнения+Zвх(p) =R 1 (R 2 + Lp)= 0 равны p1, 2 = –δ ± jωсв = –100 ± j100.R 1 + R 2 + Lp181+CpПри комплексно%сопряженных корнях характеристическогоуравнения решение ищем в видеuC (t) = uC вын + (A1 cos ωсв t + A2 sin ωсв t) l –δ t.3. Используя уравнения для схемы после коммутации, опре%деляем требуемое для нахождения постоянных интегрированияduCзначение производной(0 + ):dtE = i1(0+)R1 + uC (0+) → i1(0+) = 8 A;i1(0+) = i2 (0+) + i3 (0+) → i3 (0+) = 4 A;duCiC (0 + ) i3 (0 + )A(0 + ) === 4000 .cdtCC4.
В установившемся режиме при t = ∞ вынужденная состав%ляющая напряжения на емкости равнаuC вын = i2 вын =ER = 60 B.R1 + R2 25. Определяем постоянные интегрирования, используя най%duCденные начальные условия uC (0 + ),(0 + ). Для чего в системуdtуравненийuC = 60 + (A1 cos 100 t + A2 sin 100 t)l − 100 t ;duC= (A1 100 sin 100 t + A2 100 cos 100 t)l − 100 t +dt+ (A1 cos 100 t + A2 sin 100 t)(−100)l − 100 tдля t = 0+ подставляем найденные значения:uC (0+) = 40 = 60 + A1;19duC(0 + ) = 4000 = A2 ⋅ 100 − A1 ⋅ 100.dtОткуда A1 = –20, A2 = 20.Следовательно,uC (t) = 60 + (20 sin 100 t − 20 cos 100 t)l − 100 t =π⎞⎛= 60 + 20 2 sin⎜100 t − ⎟ l − 100 t .⎝4⎠Пример 1.7. Рассчитать все токи в схеме на рис. 1.11, а, еслидано:E = 120 B; R1 = R2 = R3 = 10 Ом; L1 = L2 = 0,2 Гн; M0,1 Гн.RçабРис. 1.11Решение.1.
Определяем независимые начальные условия из схемы доEкоммутации i2 (0 − ) == 6 A = i2 (0 + ), i3 (0 − ) = 0 = i3 (0 + ).R1 + R22. Методом входного сопротивления составляем характеристи%ческое уравнение, устраняя предварительно магнитную связь(рис. 1.11, б):Z ( p) = R 1 − Mp +20[ R 2 + (L2 + M ) p][ R 3 + (L 3 + M ) p]= 0;R 2 + (L2 + M ) p + R 3 + (L 3 + M ) p0,03 p 2 + 10 p + 300 = 0;p =−100 1,3 c1p2 = −300 .c3. Выражение для тока i2 записываем в видеi2 = i2вын + i2св = i2вын + A1 l−100t3+ A2 l − 300 t .4. Так как R2 = R3, то вынужденная составляющая тока равнаi2вын =E⎛R2 R 3 ⎞⎟2 ⎜ R1 +R2 + R 3 ⎠⎝= 4 A.5.
Составляем систему уравнений по законам Кирхгофа для по%слекоммутационной схемы:i1 R 1 + i2 R 2 + L2i2 R 2 + L2di2di3−M= E;dtdtdi2di3di3di2−M− i3 R 3 − L 3+M= 0;dtdtdtdti 1 = i 2 + i 3.Эта система при t = 0+ принимает следующий вид:i1(0+)R1 + i2 (0+)R2 + L2i2 (0+)R2 + L2− L3di2di3(0 + ) − M(0 ) = E ;dtdt +di2di3(0 + ) − M(0 ) − i3 (0 + )R 3 −dtdt +di3di2(0 + ) + M(0 ) = 0;dtdt +i1(0+) + i2 (0+) + i3 (0+).21Учитывая, что i3(0+) = 0, i2 (0 + ) = 6 A, получаем:i1 (0 + ) = 6 A,di2A(0 + ) = 200 ,cdtdi3A(0 + ) = 400 .cdt6.
Постоянные интегрирования определяем из следующей сис%темы уравнений:i2 = 4 + A1 l−100t3−di2100=−A1 l3dt100t3+ A2 l − 300 t ;− 300 A2 l − 300 t .При t = 0+i2(0+) = 6 = 4 + A1 + A2;di2100(0 + ) = 200 = −A1 − 300 A2 .3dtОткуда А1 = 3, А2 = –1.7. Окончательно получаемi2 = 4 + 3 l−100t3− 1l − 300 t .8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
