Вредная геометрия (835791)
Текст из файла
Математика не для ЕГЭЕ. К. БелыйВредная геометрияУчебное пособие для учащихся средних школПетрозаводскИздательство ПетрГУ2017УДК 514.01ББК 22.151Б439Рецензенты:С. С. Платонов, доктор физико-математических наук, профессоркафедры математического анализа ПетрГУ;П. В. Дружинин, доктор экономических наук, ведущий научный со-трудник Отдела моделирования и прогнозирования региональногоразвития института экономики КарНЦ РАНБелый, Евгений Константинович.Б439 Вредная геометрия : учебное пособие для учащихся среднихшкол / Е. К.
Белый. – Петрозаводск : Издательство ПетрГУ, 2017.– 34, [2] с. – (Математика не для ЕГЭ).ISBN 978-5-8021-3207-4В книге в форме рассказа разобрано несколько классическихгеометрических софизмов, исследование которых способствуетразвитию логического мышления учащихся.Учебное пособие адресовано ученикам и учителям средней школы, атакже всем, кто интересуется математикой.ISBN 978-5-8021-3207-4УДК 514.01ББК 22.151c Белый Е. К., 2017○СодержаниеПредисловие4С чего все началось7Васины теоремы12Т1. Все углы прямые .
. . . . . . . . . . . . . . .13Т2. Все треугольники правильные . . . . . . . . .18Т3. Все отрезки равны . . . . . . . . . . . . . . .23Т4. Все окружности равны . . . . . . . . . . . . .26И чем все закончилось28Биографические справки30Список литературы33Геометрия – это искусство делать правильные выводыпо неправильным чертежам.ЕвклидПредисловие⇒13Дорогой читатель! Эта книга посвящена особомуклассу задач, который называют «софизмами».
Суть ихв том, что требуется найти ошибку в заведомо ложномдоказательстве. Последнее иногда оказывается довольносложно. Не случайно с греческого «софизм» можно перевести как хитрая выдумка, уловка. Некоторые софизмывозникли еще в античном мире, скорее всего в результате ошибок в серьезных рассуждениях. Но история происхождения большей их части навсегда останется тайной.В конце XIX в. замечательный российский педагог и популяризаторматематикиВасилийИвановичОбреимов,будучи преподавателем математики и физики Екатеринбургской мужской Его Императорского Величества гимназии, начал собирать такого рода задачи.
В 1884 г. увиделосвет первое издание его сборника «Математические софизмы» [1], а в 1911 г. вышла книга А. А. Лямина, преподавателяМосковскогокоммерческогоучилищаМ. А. Паршина, «Математические парадоксы и интерес-ПРЕДИСЛОВИЕ5ные задачи для любителей математики» [2], в которой автор сделал попытку «собрать в одно целое лучшие из техразнообразнейшихинтересныхзадач,которыебольшейчастью разбросаны в многочисленных учебниках, задачниках и журналах, а часто даже просто передаются изустно» [2, с. 3]. В1953г. опубликовано первое изданиекниги Якова Семеновича Дубнова «Ошибки в геометрических доказательствах» [3], в которой разобрана большая часть геометрических софизмов из вышеперечисленных книг и дана классификация ошибок в геометрических доказательствах.
В1962г. издана на русском язы-ке книга известного немецкого популяризатора математических знаний Карла Юлиуса Вальтера Литцмана «Гдеошибка?»[4]. Справедливости ради заметим, что первыйвариант книги на русском языке вышел еще до 1917 г. всоавторстве с датским математиком Вигго Триером и переиздавался несколько раз, начиная с 1919 г. Разумеется,софизмы в той или иной мере рассматривались и в другихучебных пособиях. Мы отметили здесь только самые значительные работы.Зачем нужны такие задачи? На этот вопрос ответил в предисловии к своей книге сам Литцман: «Серьезное значениеизучения ошибок и софизмов для воспитания математического мышления, как кажется автору, еще недостаточно6осознано.
Не только учитель должен иметь дело с ошибками, которые делают его ученики; сами учащиеся зачастуюнаучаются большему на примере разъясненной ошибки,чем даже при правильном выполнении по готовым образцам задач и упражнений» [4, с. 7].В этой книге мы рассмотрели всего четыре геометрическихсофизма,преследуядовольноскромнуюцель:вернуть внимание педагогического сообщества к классузадач, незаслуженно забытых в большинстве современныхшкол.
Материал изложен в форме рассказа. Объясненияошибок мы сознательно не приводим, поскольку, сразу прочитав их, мало кто захочет взять на себя труд тщательнопроверить построения с циркулем и линейкой. При желании читатель может обратиться к одному из перечисленных учебных пособий, например Я.
С. Дубнова[2].Автор выражает благодарность всем, кто проявил интереск данной серии книг. Любые замечания и предложения выможете,какиранее,направлятьпоадресу:belyi@petrsu.ru.Евгений БелыйДекабрь 2017С чего все началось4 ⇔ 13 Вася уже выскочил в коридор, когда его поймалза рукав пиджака Гриша.– Стой, Кошкин. Ты это... в кружок ходишь? При НИИ.– И что? – пытаясь вырваться, спросил Вася.Гриша, не ослабляя захвата, подвел его к окну, дабыуклониться от полного жизненной энергии, сметающеговсе на своем пути школярского потока в полномсоответствии с законами гидродинамики стремительномчащегося вниз к выходу.– Эта... Воробьева заболела, Зина. А ей в пятницу доклад делать на математическом вечере.
Через неделю. Поэтой... геометрии. Соображаешь?Вася бросил грустный взгляд в окно на залитый ослепительным солнечным светом школьный двор, на приветливо машущие ему листвой березы и машинально ответил:– Не очень.– Честь спасать надо!– Чью? – простодушно спросил Вася.– Вашего класса! 9-го «б». Ответственное мероприятиесрывается, – теряя терпение, выпалил Гриша.– А я тут при чем?За окном, радостно вертя хвостом, носился любимец8детворы дворовый пес Макарий, черный с кончиков ушейдо пят, но со светлой душой, всегда счастливый и беззаботный.
Вышла на крыльцо Лена Синичкина...– Ты, говорят, в этом деле мэтр, – не отставал Гриша.– Киломэтр, – отшутился Вася.– Так вот, киломэтр, доклад сделаешь ты! И времени наподготовку у тебя уйма. Это... целая неделя, – уже спокойно закончил мысль Гриша.– Говоришь, по геометрии. А на какую тему? – спросил,еще не потерявший надежду улизнуть Вася.Доклады он не любил даже слушать, не то что делатьсамому.– Все равно!– Все равно, – задумчиво повторил Вася и впервые с интересом посмотрел на Гришу. – А что, неплохая идея. Похоже, я тебя недооценивал.И уже совсем миролюбиво закончил:– Заметано, в следующую пятницу буду.Гриша ослабил захват, и Васю унес поток.Президенту показалось подозрительно то, что обычно упрямый Вася как-то уж слишком быстро сдался, но он отнес этот факт на счет своего организаторского таланта.Об этом таланте мы коротко, пока нам никто не мешает,расскажем.
Ученик 10-го «а» президент Школьной Акаде-С ЧЕГО ВСЕ НАЧАЛОСЬ9мии Гриша Тарасенко был невероятно целеустремленнымчеловеком. Точнее стал таким после того, как появиласьдостойная цель. В раннем детстве он хотел быть директором шоколадной фабрики и даже коллекционировал фантики, потом мечтал стать олигархом, сантехником, ревизором... Затем мечты стали мелькать совсем быстро, сменяяодна другую, как узоры в детском калейдоскопе. Однажды он даже мечтал о карьере Фреди Крюгера. Это былов пионерском лагере, летом, после того как товарищи поотряду устроили ему «темную». И тогда же он задумалсяо депутатской неприкосновенности. К осени идея созрела,как положенный в валенок помидор, и Гриша стал часамисидеть у зеркала, тренируя глубокомысленное выражениелица мудрого политика. Но пока это были лишь фантазии.Мечта становится целью только после того, как человекначнет что-то предпринимать для ее осуществления.И вот однажды на школьный вечер был приглашен старенький академик, закончивший эту школу еще до Всемирного потопа.
Никто уже не помнит, о чем он говорил,но его рассказы пробудили в Грише новую, настоящуюмечту: стать академиком. Уважение, почет, хорошая зарплата, пол жизни проходит на конференциях и симпозиумах в самых экзотических частях света. К тому же депутатов не всегда выбирают, директоров иногда снимают и10даже сажают, а академик – это навсегда! Осталось только решить, каким академиком быть лучше.
Пожалуй, таким, который руководит другими, т. е. указывает им, когдаи какие открытия надо делать. Идея так увлекла Гришу, что он в кратчайшие сроки заметно подтянулся в учебе. А насчет формулировки проблем теперь Грише простоне было равных. Так, все старшеклассники знают, что «кинетическая энергия равна половине произведения массына квадрат скорости», но только у Гриши возник вопрос,куда девается другая половина. Очень кстати РОНО спустило в школу депешу Минобраза о необходимости приобщать учащихся к научно-исследовательской работе. Поскольку, как это делать, никто точно не знал, в кабинетедиректора собрали совещание с участием администрациии старост старших классов.Гриша тогда как раз был старостой.
Вот он и предложилпервымделомсоздатьнаучноеобществои самим фактом его существования обозначить наличиенауки в школе. Общество Гриша предложил назвать Высшей Школьной Академией, но собрание решительноотклонило это название, заметив, что его аббревиатуранапоминает одно очень несимпатичное насекомое. И общество назвали просто Школьной Академией (ША). Говорят,«как корабль назовешь, так он и поплывет». В действи-С ЧЕГО ВСЕ НАЧАЛОСЬ11тельности больше всего копий ломается не вокруг вопросов: «как корабль назвать?» или «как он поплывет?».
Гораздо важней: «кто будет капитаном?». И тут Грише сноваповезло, его избрали президентом ША за инициативностьи еще потому, что другие не хотели. Теперь Гриша отвечалза проведение всех математических и физических вечеров,оформление презентаций по естественно-научной тематике и тьму других мероприятий.12Васины теоремыТот, кто хорошо знает Васю, сейчас мне не поверит, однако его и вправду увлекла навязанная тема и он с головойокунулся в работу. Математикой Вася занимался толькопотому, что она ему нравилась.
И тут уж было не до шуток. Он отобрал из своей большой, «накачанной» из Интернета библиотеки несколько подходящих книг и сел зачертежи, ловко орудуя циркулем, деревянными линейками и угольником. Все заметили, что даже на уроках Васястал какой-то рассеянный. За работой незаметно пролетела неделя, и наконец настала пятница.В белой рубашке и при галстуке Вася уверенно взобралсяна сцену в просторном актовом зале. Центральную частьзанимала специально заказанная для таких случаев большая переносная классная доска. Как и положено настоящему оратору, он внимательно осмотрел аудиторию. Первые ряды заполнил весь цвет школьной науки и... ЛенаСиничкина.
Когда Вася громко объявил тему доклада –«Все равно!», по залу прокатился ропот. Похоже, тема вызвала у публики недоумение. Гриша почувствовал, что теряет контроль над ситуацией. Однако делать было нечего.Тем временем ничуть не смутившийся докладчик сформулировал первую теорему.ВАСИНЫ ТЕОРЕМЫ13Т1. Все углы прямые12 ⇔ 18 Поскольку любой острый угол является дополнением до 180 некоторого тупого угла, то достаточно доказать, что любой тупой угол равен прямому. Для доказательствапостроимотрезок .Отлевогоконцаотрезка проведем луч под прямым углом, а от правого подтупым (рис.
1). На лучах отложим равные отрезки иРис. 1.Точка лежит ниже отрезка соответственно. Докажем, что ̸ = ̸ . Соединимточкииотрезкомпрямой.Проведем14перпендикуляры через середины отрезков и . Точку их пересечения обозначим .1) Пусть точка лежит ниже прямой . Тогда||= || по построению. ||= ||, поскольку точка лежит на перпендикуляре, проходящем через середину отрезка . ||= ||, поскольку точка лежитна перпендикуляре, проходящем через середину отрезка . Таким образом, треугольники и равны потрем сторонам.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
