Дифференциальные уравнения (831547), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Соболев. Дифференциальные уравнения22Находим первую и вторую производные:y2′ = −2 A sin 2 x + 2 B cos 2 x, y2′′ = −4 A cos 2 x − 4 B sin 2 xи подставим в уравнение (13), получим:( −4 A cos 2 x − 4 B sin 2 x ) − 2 ( −2 A sin 2 x + 2 B cos 2 x ) − 3 ( A cos 2 x + B sin 2 x ) = 13sin 2 x .приравняем слева и справа коэффициенты при cos 2x и sin 2x , получим системууравнений:4−7 A − 4 B = 0 A = 5⇒, поэтому y2 ( x) = 54 cos 2 x − 75 sin 2 x . 4 A − 7 B = 13 7=−B5Окончательно получаем:yон = yоо + yчн = yоо + y1 + y2 = С1e− x + C2e3 x + y1 ( x) −( 12 x + 94 ) e− x + 45 cos 2 x − 75 sin 2 x .Пример 11.
Не находя неопределенных коэффициентов, указать вид общего решениянеоднородного линейного дифференциального уравненияy IV − 5 y ′′ − 36 y = 3sin 2 x + xe3 x + x 2 e − 2 x .Решение. Сначала найдем общее решение соответствующего однородного линейного ДУy IV − 5 y ′′ − 36 y = 0 , для чего найдем корни характеристического уравнения:λ 4 − 5λ 2 − 36 = 0 ⇔ (λ 2 − 9)(λ 2 + 4) = 0 , λ1 = 3, λ2 = − 3, λ3,4 = ± 2i .Следовательно, общее решение есть yоо = C1e3 x + C2 e − 3 x + C3 cos 2 x + C4 sin 2 x .Правая часть исходного неоднородного ЛДУ есть сумма трех функций:f ( x ) = f1 ( x ) + f 2 ( x ) + f 3 ( x ) , где f1 ( x ) = 3sin 2 x, f 2 ( x ) = xe3 x , f 3 ( x ) = x 2 e − 2 x .
Поэтомуобщее решение неоднородного ЛДУ имеет вид yон = yоо + yчн , где yчн = y1 + y2 + y3 иyi ( x ) – частное решение неоднородного ЛДУ y IV − 5 y ′′ − 36 y = f i ( x ) , i = 1, 2, 3 .1) для неоднородного ЛДУ y IV − 5 y ′′ − 36 y = f1 ( x ) = 3sin 2 x частное решение есть:y1 = x( A1 cos 2 x + B1 sin 2 x ) ;2) для неоднородного ЛДУ y IV − 5 y ′′ − 36 y = f 2 ( x ) = xe3 x частное решение есть:y2 = x( A2 x + B2 )e3 x ;3) для неоднородного ЛДУ y IV − 5 y ′′ − 36 y = f 3 ( x ) = x 2 e − 2 x частное решение есть:y3 = ( A3 x 2 + B3 x + D2 )e − 2 x .Поэтому для всего исходного нелинейного ЛДУ общее решение имеет вид+ yон = yоо + y1 + y2 + y3 = C1e3 x + C2 e − 3 x + C3 cos 2 x + C4 sin 2 x ++ x ( A1 cos 2 x + B1 sin 2 x ) + x ( A2 x + B2 )e3 x + ( A3 x 2 + B3 x + D2 )e − 2 x .Здесь С1 , С2 , C3 , C4 – произвольные постоянные (которые всегда присутствуют вобщем решении дифференциального уравнения), Ai , Bi (i = 1, 2, 3) и D2 – конкретныечисловые постоянные, которые, в принципе, можно найти (методом неопределенныхкоэффициентов), но в данной задаче это не требуется.С.К.
Соболев. Дифференциальные уравнения4.3. Задачи для самостоятельного решения.1. Найти общие решения однородных линейных дифференциальных уравнений:(б) 27 y ′′′ + 8 y = 0 ;(в) y ′′′ + 3 y ′′ + 3 y ′ + y = 0 ;(а) y ′′′ − 3 y ′ − 2 y = 0 ;(г) y IV − 2 y ′′ + y = 0 ;(д) y IV + 8 y ′′ + 16 = 0 ;(е) y IV − 2 y ′′′ − 3 y ′′ = 0 .2. Найти общие решения неоднородных линейных дифференциальных уравненийметодом неопределенных коэффициентов:(а) y ′′ − 4 y ′ + 3 y = xe3 x ;(б) y ′′ + 4 y = x sin x ;(в) y ′′ − 4 y ′ + 4 y = e2 x sin x ;(г) y ′′ − 2 y ′ + 10 y = cos 3x .3.
Найти вид общего решения неоднородного линейного дифференциального уравнения(сами коэффициенты не находить!):(а) y ′′′ − 3 y ′′ + y ′ − 3 y = x 2 e3 x + x 2 − 5 x + 3cos x ;(б) y IV + 5 y ′′ + 4 y = x sin 2 x + e − x cos x + ( x − 2)e − x ;(в) yV − 8 y ′′ = xe2 x − x 2e − x + x 2 − 5 x + 3 + 2 cos x ;(г) y IV + 2 y ′′ − 8 y ′ + 5 y = xe x + x 2 e − x + 3cos 2 x .Контрольные вопросы1. Что такое дифференциальное уравнение?2. Что такое порядок дифференциального уравнения?3. Сколько произвольных констант имеет общее решение дифференциальногоуравнения: (а) первого порядка; (б) второго порядка; (в) п-го порядка?4. Как выглядит начальное условие (начальные условия) для дифференциальногоуравнения: (а) первого порядка; (б) второго порядка; (в) п-го порядка?5.
Что такое задача Коши для дифференциального уравнения: (а) первого порядка;(б) второго порядка?6. Что такое дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, и какего решать?7. Что такое дифференциальное уравнение с однородной правой частью и как егорешать?8. Как выглядит линейное дифференциальное уравнение первого порядка, и какиеспособы его решения вы знаете?9. Как выглядит дифференциальное уравнение типа Бернулли, и какие способы егорешения вы знаете?23С.К. Соболев. Дифференциальные уравнения2410.
Что такое дифференциальное уравнение в полных дифференциалах, и как егорешать?11. В каких случаях можно понизить порядок дифференциального уравнения второгопорядка? Как это сделать?12. Как выглядит линейное дифференциальное уравнение п-го порядка:(а) однородное; (б) неоднородное?13. Какими свойствами обладают частные решения однородного линейногодифференциального уравнения?14. Что такое фундаментальная система решений однородного линейногодифференциального уравнения?15.
Какова структура общего решения однородного линейного дифференциальногоуравнения?16. Как находить фундаментальную систему решений однородного линейногодифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: (а) второгопорядка (б) п-го порядка?17. Какова структура общего решения неоднородного линейного дифференциальногоуравнения?18. В чем состоит принцип наложения частных решений для неоднородноголинейного дифференциального уравнения?19.
В чем суть метода Лагранжа решения неоднородного линейногодифференциального уравнения? Почему этот метод также называется методомвариации постоянных?20. Какие неоднородные линейные дифференциальные уравнения можно решатьметодом неопределенных коэффициентов. В каком виде следует искать частноерешение? Как находить неопределенные коэффициенты?Литература1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. Т. 2. – М.:Интеграл-Пресс, 2006. – 544 с.2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика.
Т. 3. Дифференциальныеуравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. – М.: Дрофа,2003. – 512 с.3. Агафонов С.А., Герман А.Д., Муратова Т.В. Дифференциальные уравнения: Учеб. длявузов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. – М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана,2006.
– 352 с. (Сер. Математика в техническом университете, вып. VIII).4. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 2. Специальные разделы математическогоанализа: Учеб. пособие для втузов / Под ред. А.В. Ефремова и Б.П. Демидовича. – М.:Наука, 1986. – 368 с.5. Богомолов В.Г., Кандаурова И.Е., Шишкина С.И. Дифференциальные уравненияпервого порядка.
– М.: Изд-во МГТУ, 2001. – 37 с.6. Пелевина И.Н., Раров Н.Н., Филиновский А.В. Дифференциальные уравнения высшихпорядков. Методические указания для выполнения домашнего задания. – М.: Изд-воМГТУ, 2001. – 38 с..С.К. Соболев. Дифференциальные уравненияСодержаниеПредисловие ····························································································································21. Дифференциальные уравнения первого порядка ·······················································31.1. Введение в дифференциальные уравнения первого порядка ·······································31.2.
Основные типы дифференциальных уравнений первого порядкаи методы их решения········································································································31.3. Примеры решения дифференциальных уравнений первого порядка ························ 71.4. Задачи для самостоятельного решения ········································································102. Дифференциальные уравнения высших порядков ···················································102.1. Основные сведения ·········································································································102.2.
Методы понижения порядка ДУ второго и высших порядков ···································112.3. Задачи для самостоятельного решения ·········································································143. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка ··································143.1. Основные сведения ·········································································································143.1. Построение общего решения ОЛДУ второго порядка с постояннымикоэффициентами··········································································································· 153.2.
Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных ·············································163.3. Задачи для самостоятельного решения ········································································174. Линейные дифференциальные уравнения п-го порядка с постояннымикоэффициентами ············································································································174.1. Решение ОЛДУ п-го порядка с постоянными коэффициентами ································174.2. Метод неопределенных коэффициентов решения неоднородных линейныхдифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами иправой частью специального вида ···············································································194.3.
Задачи для самостоятельного решения ·········································································23Контрольные вопросы ······································································································· 23Литература ····························································································································24Содержание ···························································································································2525.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
