Главная » Просмотр файлов » Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения (831547), страница 2

Файл №831547 Дифференциальные уравнения (Соболев С.К. - Дифференциальные уравнения. Методические указания к решению задач) 2 страницаДифференциальные уравнения (831547) страница 22021-03-01СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Если оно не является дифференциальным уравнениемни одного из вышеуказанных четырех видов, то надо проверить, не является ливыражение P( x, y )dx + Q ( x, y )dy полным дифференциалом некоторой функции U ( x, y ) ,С.К. Соболев. Дифференциальные уравнения7т.е. проверить, существует ли такая функция U ( x, y ) , что ∂ U ≡ P ( x, y ), ∂ U ≡ Q ( x, y ) во∂x∂yвсех точках области Ω, в которой ищется решение данного дифференциальногоуравнения.

Как известно из курса дифференциального исчисления функций несколькихпеременных, если область Ω односвязна, такая функция U ( x, y ) существует тогда итолько тогда, когда и во всех точках этой области выполняется условие∂Q ∂P≡.∂x ∂yЕсли это условие выполнено, то данное ДУ P( x, y )dx + Q ( x, y )dy = 0 называетсядифференциальным уравнением в полных дифференциалах. Чтобы его решить, надонайти функцию U ( x, y ) :U ( x, y ) = ∫ P ( x, y )dxy = const= F ( x, y ) + C ( y ) .Для нахождения функции C ( y ) надо найти ∂ U = ∂ F + C ′y и приравнять функции Q ( x, y ) .∂y ∂yЕсли требуемая функция U ( x, y ) найдена, то общее решение данного ДУ имеет видU ( x, y ) = C .1.3. Примеры решения дифференциальных уравнений первого порядка.Пример 1.

Найти общее решение дифференциальных уравнений первого порядка:(а) ( x 2 + 3)dy + y x 2 + 3 dx = xydx ;(б) x( dx − dy ) = y ( dy + dx ) ;(в) x( y ′ − 1) + y = 2 x ln x ;y(г) y ′ =;x − y4 dy = 0x− y dyРешение. (а) Запишем данное ДУ в виде= f ( x, y ) :dx(д)  3 x 2 + dx +  2cos2 y −x− y 12y22dy y ( x − x 2 + 3 )=dxx2 + 3Правая часть этого ДУ имеет вид произведения двух функций: одной, зависящей толькоот х, и другой, зависящей только от у, т.е. это ДУ с разделяющимися переменными.Разделяем их (т.е. отделяем их друг от друга) и интегрируем:( x 2 + 3)dy + y x 2 + 3 dx = xydx ⇔ ( x 2 + 3)dy = y ( x −x 2 + 3) dx ⇔dy y ( x − x 2 + 3 )dy  x1=⇔= 2− dx ⇒22dxyx +3 x +3x +3x dxdydx⇒∫=−⇔ ln y = 12 ln( x 2 + 3) − ln x +y ∫ x2 + 3 ∫ x2 + 3Отсюдаlny( x +x 2 + 3)x2 + 3=C⇒y( x +x 2 + 3)x2 + 3= ± eC ⇒ y = C1x 2 + 3 + C.x2 + 3, где C1 = ± eC .2x+ x +3С.К.

Соболев. Дифференциальные уравнения(б) Запишем данное ДУ в виде8dy= f ( x, y ) :dxydy x − y 1 − x.==dx x + y 1 + yxЭто ДУ с однородной правой частью, т.к. его правая часть зависит только отyydyduотношения . Положим u = ⇒ y = x ⋅ u ⇒= u + x ⋅ , тогдаxxdxdxydy 1 − x1 − u − u − u2du 1 − udu 1 − u=⇔+⋅=⇔⋅=−=⇒uxxudx 1 + ydx 1 + udx 1 + u1+ ux(dx − dy ) = y (dy + dx ) ⇔ ( x − y ) dx = ( y + x ) dy ⇔xПолучили ДУ с разделяющимися переменными, решим его:(u + 1)du(u + 1)dudxdx=⇒ −∫ 2= ∫ ⇒ − 12 ln u 2 + 2u − 1 = ln x + ln C ⇒2xx1 − 2u − uu + 2u − 1x ⋅ u 2 + 2u − 1 = C ⇒ x ⋅( xy )2+ 2 xy − 1 = C ⇒ x 2(y2x2)+ 2 xy − 1 = C 2 ⇒ y 2 + 2 xy − x 2 = C1y+ 2ln x + 1 .xЭто линейное ДУ, т.к.

оно имеет вид y ′ = A( x ) y + B( x ) , где A( x ) = − 1x , B( x ) = 2ln x + 1 .(в) Запишем данное ДУ в виде y ′ = f ( x, y ) : x( y ′ − 1) + y = 2 x ln x ⇔ y ′ = −Решение ищем в виде y = u( x ) ⋅ v ( x ) , гдеu( x ) = e ∫v( x ) =A( x ) dx−=e ∫dxx= e − ln x = ( eln x )−11= ;xB( x )∫ u( x ) dx = ∫ (2 x ln x + x )dx = { по частям } = xСледовательно, y = u ⋅ v = 1x ⋅ ( x 2 ln x + C ) = x ln x +2ln x + C.C.xdyy=не принадлежит ни к одному из известныхdx x − y 4dx xнам типов, поэтому попробуем «перевернуть» его, получим:= − y 3 . Это линейноеdy y(г) Дифференциальное уравнениеДУ относительно неизвестной функции x( y ) , A( y ) = 1y , B( y ) = − y 3 , его решение ищем ввиде x = u ( y ) ⋅ v( y ) , где u( y ) = e∫dyy= eln y = y , v( y ) =B( y )y3dy=−∫ u( y )∫ y dy = − 13 y 3 + C ,поэтому общее решение есть x = y (C − 13 y 3 ) = Cy − 13 y 4 .(д) Если записать данное ДУ в видеdy=dx3x2 +2yx − y2dy= f ( x, y ) , то получимdx1x− y2− 2cos2 y⇔dy3x 2 x − y 2 + 1=.dx 2 y − 2 cos 2 y ⋅ x − y 2Это дифференциальное уравнение не принадлежит ни к одному из первых четырех типов.Поэтому проверим, не является ли исходное ДУС.К.

Соболев. Дифференциальные уравнения 22y1dx +  2cos2 y − 3x +2x− y x − y2уравнением в полных дифференциалах. Здесь1P( x, y ) = 3 x 2 +x−yQx′ =2, Q ( x, y ) = 2cos 2 y − dy = 02yx − y2,y= Py′ .3(x − y2 ) 2Следовательно, левая часть данного дифференциального уравнения есть полныйдифференциал некоторой функции U ( x, y ) и2y∂U1∂U= P( x, y ) = 3x 2 +,= Q ( x, y ) = 2cos 2 y −.∂xx − y 2 ∂yx − y2Найдем функцию U ( x, y ) :U ( x, y ) = ∫ P ( x, y )dxy = const=∫( 3x2+1x− y2) dx == x 3 + 2 x − y 2 + C ( y ).Но2y′∂U= x3 + 2 x − y 2 + C ( y ) =+ C ′( y ) =∂yyx − y2(= Q ( x, y ) = 2cos 2 y −)2yx − y2Следовательно, C ′( y ) = 2cos 2 y ⇒ C ( y ) = sin 2 y .Окончательно, U ( x, y ) = x 3 + 2 x − y 2 + sin 2 y , и решение нашего ДУ имеет видx 3 + 2 x − y 2 + sin 2 y = CCx2 + 3; (б) y 2 + 2 xy − x 2 = C1 ; (в) y = x ln x + ;2xx+ x +3(г) x = Cy − 13 y 4 .; (д) x 3 + 2 x − y 2 + sin 2 y = C .Ответы: (а) y = C1Пример 2.

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющееначальному условию:(а) y ′ = (4 x + y + 1)2 , y (0) = 1 ;(б) xdy + ( y − 12 y 3 x )dx = 0, y (1) =12.Решение. (а) Сделаем замену z = 4 x + y + 1 , тогда z ′x = 4 + y ′x ⇒ y ′x = z ′x − 4 , подставим висходное ДУ, получим ДУ с разделяющимися переменными:dzdzy ′ = (4 x + y + 1)2 ⇔ z ′ − 4 = z 2 ⇔= z2 + 4 ⇒ 2= dx ⇒dxz +4dzz.∫ z 2 + 4 = ∫ dx ⇒ 12 arctg 2 = x + C ⇒⇒ 4 x + y + 1 = z = 2 tg ( x + C ) ⇒ y = 2 tg ( x + C ) − 4 x − 1.9С.К. Соболев.

Дифференциальные уравнения10Подставим начальное условие ( x = 0, y = 1) и определим значение константы С:1 = 2 tg(C ) − 1 ⇒ C =π . Следовательно, y = 2 tg x + π − 4 x − 1.( 4)4(б) Запишем данное ДУ в виде y ′ = f ( x, y ) :dyxdy + ( y − 12 y 3 x )dx = 0 ⇔= y ′x = − 1x y + 21 y 3 .dxЭто ДУ типа Бернулли с показателем α = 3 . Умножим обе части этого ДУ на(1 − α ) y −α = −2 y −3 и положим z = y1−α = y −2 . Тогда z′x = −2 y −3 y ′x , и получим линейноеДУ относительно неизвестной функции z( x ) :−2 y −3 y ′x = 2x y −2 − 1 ⇔ z ′x = 2x ⋅ z − 1Решим его:z = u ( x ) ⋅ v( x ), u( x ) = e ∫2 dxx2= e 2ln x = ( eln x ) = x 2 , v( x ) = − ∫11dx = + C ,2xx111z = u ⋅ v = x 2 ( + C ) = x + Cx 2 = 2 ⇒ y = ±xyx + Cx 2Подставляем начальное условие ( x = 1, y = 1 2 ) , получаем знак «плюс» и C = 3 .1Окончательно y =x + 3x 21Ответы: (а) y = 2 tg ( x + π4 ) − 4 x − 1.

; (б) y =.x + 3x 21.4. Задачи для самостоятельного решения1. Найти общее решение дифференциального уравнения:sin y(а) y ′ = x 2 y 3 ; (б) y ′ =;(в) y ′ = e x + y ; (г) dy − 2 y ln x dx = 0 ;2x +3x2y(д) (1 + y )(e dx − e dy ) = (1 + y 2 )dy ; (е) y ′ = sin( y − x − 1)[указание: ввести новую переменную z = y − x − 1 ⇒ y = z + x + 1, y ′x = z ′x + 1 ].y(ж) y ′ = + sin xy ;(и) xdy − y cos ln( xy ) dx = 0 ;(з) y 2 dx + x 2 dy = xydy ;x(к) (sin 2 x + 2e2 x − y )dx + ( cos3 y − e 2 x − y ) dy = 0( )()2. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальномуусловию:(а) y ′ tg x = y, y ( π2 ) = 1 ;(б) ( y + x 2 + y 2 )dx − xdy = 0 , y (1) = 0 .3. Найти общее решение дифференциального уравнения:3y+ x .;(а) y ′ =(б) y ′ cos x + y sin x = 1 ;(в) (1 + y 2 )dx + ( x − arctg y )dy = 0 ;x(г) y + y ′ ln 2 y = ( x + 2ln y ) y ′ ;(д) y − y ′ = y 2 + xy ′ ; (е) ydx + dy = y 2 e x dx ;(ж) y ′x 3 sin y + 2 y = xy ′ .4. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальномуусловию:(а) x + y ′ = 2 y + e x , y (0) = 1 4 ; (б) 3dy + (1 + 3 y 2 ) y sin x dx = 0 , y ( π2 ) = 1 .С.К.

Соболев. Дифференциальные уравнения112. Дифференциальные уравнения высших порядков.2.1. Основные сведенияДифференциальное уравнение второго порядка имеет вид F ( x, y , y ′, y ′′) = 0 , гдеy = y ( x ) – неизвестная функция, которую надо найти. Общее решение такого ДУ зависитот двух произвольных констант С1 и С2, значения которых можно найти, если заданыначальные условия: значение искомой функции и её производной в некоторой точке:y ( x0 ) = y0 , y ′( x0 ) = y1 , получится частное решение. Дифференциальное уравнение видаy ′′ = f ( x, y , y ′) , где f – известная функция трех переменных, вместе с начальнымиусловиями называется задачей Коши.Теорема Коши. Если в некоторой (трехмерной) окрестности3 точки M 0 ( x0 ; y0 ; y1 )∂f∂fфункция f ( x, y , y′) и её частные производныеинепрерывны, то найдется такая∂y∂y ′(одномерная) окрестность точки x0 , в которой решение задачи Коши y ′ = f ( x, y , y ′) ,y ( x0 ) = y0 , y ′( x0 ) = y1 , существует и единственно.Дифференциальное уравнение п-го порядка имеет вид F ( x, y , y ′, y ′′, ..., y ( n ) ) = 0 , гдеy = y ( x ) – неизвестная функция.

Общее решение такого ДУ зависит от п произвольныхконстант C1, C2 , ..., Cn , значения которых можно найти, если заданы начальные условия:значение искомой функции и её производных порядка от 1 до (n − 1) включительно внекоторой точке: y ( x0 ) = y0 , y ′( x0 ) = y1, ..., y ( n −1) ( x0 ) = yn −1 , получится частное решение.2.2. Методы понижения порядка ДУ второго и высших порядков.1) Простейшее дифференциальное уравнение п-го порядка имеет вид y ( n ) = f ( x ) , гдеf ( x ) – известная функция.

Решение такого дифференциального уравнения находится пкратным последовательным интегрированием функции f ( x ) , при каждом интегрированиивозникает аддитивная постоянная.Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения y ′′′ = sin 2 x .Решение.

Характеристики

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6392
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее