Дифференциальные уравнения (831547), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Дифференциальные уравнения∆2 =cos 2x0=172cos 2x= 1 .1 + cos x cos x221 + cos x2sin 2x∆∆Следовательно, C1′ ( x ) = 1 =, C2′ ( x ) = 2 = 2 x .2x∆ cos∆ cos2− 21 sin 2x(2)Теперь, интегрируя, находим:x2sin 2x dx4 + C , C ( x) = 2 dx = 4 ln 1 + sin 2 + C ,C1 ( x) = ∫=122∫ cos xcos 2xcos 2xcos 2 2x2( )(7)где C1 , C2 = const . Подставляя полученные функции C1 ( x) и C2 ( x) (7) в (6) получимискомое общее решение неоднородного ЛДУ (5):1 + sin 2xyон = 4 x + C1 cos 2x + 4ln+ C2 sin 2x =x coscos 22x1 + sin 2 xx= 4 + 4sin x ⋅ ln + C1 cos + C2 sinx222cos 2 (yчн − частное реш.
неодн. ЛДУ)yоо −общее реш. однор. ЛДУ(черту над настоящими константами уже можно опустить).3.3. Задачи для самостоятельного решения.1. Найти общее решение дифференциальных уравнений второго порядка спостоянными коэффициентами:(а) 3 y ′′ + y ′ − 4 y = 0 ; (б) 4 y ′′ + 12 y ′ + 9 y = 0 ; (в) y ′′ − 5 y ′ = 0 ; (г) y ′′ − 9 y = 0 ;(д) y ′′ + 9 y = 0 ; (е) ; (ж) y ′′ − 4 y ′ + 13 y = 0 ;2. Найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:(а) y ′′ + y ′ − 6 y = 0 , y (0) = 1, y′(0) = 4 ;(б) y ′′ − 4 y ′ + 4 y = 0 , y (0) = −1, y′(0) = 2 ;(в) y ′′ − 4 y ′ + 5 y = 0 , y (0) = 1, y′(0) = 0 .Найти общее решение неоднородного ЛДУ второго порядка:x(а) y ′′ + 3 y ′ + 2 y = x 1 ; (б) y ′′ − 2 y ′ + y = e; (в) y ′′ + 9 y = 1 ,2sin xe +14− x4.
Линейные дифференциальные уравнения п-го порядкас постоянными коэффициентамиНеоднородное линейное дифференциальное уравнение (НЛДУ) имеет вид:a0 ( x) y ( n) + a1 ( x) y ( n−1) + ... + an−1 ( x) y′ + an ( x) y = f ( x)(8)или, символически,(8*)L [ y ] = f ( x) ,Соответствующее однородное линейное дифференциальное уравнение (ОЛДУ) имеет вид(9)a0 ( x) y ( n) + a1 ( x) y ( n−1) + ... + an−1 ( x) y′ + an ( x ) y = 0С.К. Соболев. Дифференциальные уравнения18или, символически, L [ y ] = 0Структура общего решения однородного ЛДУ п-го порядка.
Общее решение ОЛДУ (9)с непрерывными коэффициентами имеет видyоо = С1 ⋅ϕ1 ( x) + ... + С1 ⋅ϕ1 ( x) ,где ϕ1 ( x), ..., ϕ1 ( x) – линейно независимые частные решения этого ЛДУ, образующиефундаментальнуюконстанты.системурешенийэтогоОЛДУ,C1, ..., Cn–произвольные4.1. Решение ОЛДУ п-го порядка с постоянными коэффициентами.Рассмотрим ОЛДУ:a0 y ( n) + a1 y ( n−1) + ... + an−1 y′ + an y = 0 ,где ai = const ∈ R, a0 ≠ 0 .Многочлен(10)P(λ ) = a0λ n + a1λ n−1 + ...
+ a1λ + a0(11)defназывается характеристическим для ОЛДУ (3). Алгебраическое уравнение P(λ ) = 0также называется характеристическим.Построение фундаментальной системы решений для ОЛДУ с постояннымикоэффициентами п-го порядкаПусть λ1, λ2 , ..., λk – все корни (вещественные и/или комплексные)характеристического уравнения (4), а натуральные числа r1, r2 , ..., rk – соответствующиекратности этих корней. Это значит, что характеристический многочлен разлагается впроизведениеP(λ ) = a0 (λ − λ1 )r1⋅ (λ − λ2 )r2 ⋅ ...
⋅ (λ − λk )rk ,и общее количество корней с учетом их кратностей равно порядку п ОЛДУ, т.е.r1 + r2 + ... + rk = n .Заметим также, что все коэффициенты характеристического уравнения вещественны, ипоэтому его комплексные корни попарно комплексно сопряжены, т.е. если имеется кореньλ = α + i β кратности r, то имеется и корень λ = α − i β той же кратности r.(1°) Каждому вещественному корню λ j = γ ∈ R кратности r соответствуют ровно rразличных функций, составляющих ФСР уравнения (10):ϕ1 ( x) = eγ x , ϕ 2 ( x) = x ⋅ eγ x ,..., ϕ r ( x) = x r −1 ⋅ eγ x(2°) Каждой паре комплексно сопряженных корней λ j = α ± i β , где α ∈ R, β ∈ R + ,каждый из которых имеет кратность r, соответствуют r пар функций, составляющих ФСРуравнения (3) (а всего их 2r ):ϕ1 ( x) = eα x⋅ cos β x, ϕ 2 ( x) = x ⋅ eα x⋅ cos β x, ..., ϕ r ( x) = x r −1⋅ eα x⋅ cos β x;ψ 1 ( x) = eα x⋅ sin β x, ψ 2 ( x) = x ⋅ eα x⋅ sin β x, ..., ψ r ( x) = x r −1⋅ eα x⋅ sin β x .Полная фундаментальная система решений ОЛДУ (10) состоит из всех функций,построенных таким образом для всех корней характеристического уравнения.С.К.
Соболев. Дифференциальные уравнения19Пример 9. Найти общие решения следующих ОЛДУ:(а) y′′′ − 8 y = 0 ; (б) y′′′ − y′′ − 5 y′ − 3 y = 0 ; (в) y (7) − 16 y (3) = 0 .Решение. Запишем для каждого ОЛДУ характеристический многочлен P(λ ) и разложимего на множители:(а) P(λ ) = λ 3 − 8 = (λ − 2)(λ 2 + 2λ + 4) = 0 , корни λ1 = 2, λ2,3 = −1 ± i 3 , их кратностиравны 1. Поэтому yоо = C1e 2 x + C2e − x cos ( x 3 ) + C2e− x sin ( x 3 ) ;(б) P(λ ) = λ 3 − λ 2 − 5λ − 2 = (λ + 1)(λ 2 − 2λ − 3) = (λ + 1)2 (λ − 3) = 0 , корни и их кратности:λ1 = −1, r1 = 2 , λ2 = 3, r2 = 1 , поэтому yоо = C1e− x + C2 xe− x + C3e3 x .(в) P(λ ) = λ 7 − 16λ 3 = λ 3 (λ 4 − 16) = λ 3 (λ − 2)(λ + 2)(λ 2 + 4) , корни и их кратности:λ1 = 0, r1 = 3; λ2 = 2, r2 = 1, λ3 = −2, r3 = 1, λ4,5 = 0 ± 2i , r4,5 = 1 , общее решениеyоо = С1e0 x + С1x ⋅ e0 x + С1x 2 ⋅ e0 x + C4e 2 x + C5e −2 x + C6e0 x cos 2 x + C7 e0 x sin 2 x == С1 + С1 x + С1x 2 + C4e 2 x + C5e −2 x + C6 cos 2 x + C7 sin 2 x.Структура общего решения неоднородного линейногодифференциального уравнения.Общее решение неоднородного ЛДУa0 ( x) y ( n) + a1 ( x) y ( n−1) + ...
+ an−1 ( x) y′ + an ( x) y = f ( x)(8)есть сумма частного решения этого НЛДУ и общего решения соответствующегооднородного ЛДУ(9)a0 ( x) y ( n) + a1 ( x) y ( n−1) + ... + an−1 ( x) y′ + an ( x ) y = 0Символически:yон = yчн + yоо .Теорема о наложении частных решений НЛДУ).Пусть правая часть f ( x) неоднородного ЛДУ (1), т.е. L [ y ] = f ( x ) , является суммойдругих функцийf ( x ) = f1( x ) + ... + f m ( x ) ,а для каждого k = 1, ..., m функция yk ( x) является частным решением неоднородного ЛДУL [ y ] = f k ( x) .
Тогда функция yo ( x ) = y1( x ) + ... + ym ( x ) является частным решениемуравнения (8).4.2. Метод неопределенных коэффициентов решения неоднородных линейныхдифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами иправой частью специального вида.Мы умеем строить общее решение yоо ( x) однородного ЛДУ с постояннымикоэффициентами:a0 y ( n) + a1 y ( n−1) + ... + an−1 y′ + an y = 0Для этого надо составить характеристического уравненияa0λ n + a1λ n−1 + ... + a1λ + a0 = 0 ,С.К. Соболев.
Дифференциальные уравнения20найти его корни λ1, λ2 , ..., λk и определить их кратности r1, r2 , ..., rk (натуральные числа,т.е. целые положительные).Условимся считать, что если вещественное или комплексное число λ не являетсякорнем данного характеристического уравнения, то мы все равно будем считать егокорнем кратности ноль.Для нахождения общего решения yон ( x) неоднородного ЛДУa0 y ( n) + a1 y ( n−1) + ... + an−1 y′ + an y = f ( x)надо знать его какое-нибудь частное решение yчн ( x) , поскольку yон = yчн + yоо .Такое частное решение можно найти методом неопределенных коэффициентов в томслучае, если функция f ( x) имеет специальный вид первого или второго типа.Специальный вид правой части 1-го типа: f ( x ) = eα x Pm ( x) , где α ∈ R , Pm ( x) –многочлен степени т.Пусть число α является корнем кратности r характеристического уравнения. В этомслучае частное решение можно найти в виде:y = x r eα x P ( x) ,чнmгде P ( x) – многочлен степени т с неопределенными коэффициентами.
Напомним, чтомногочлены степени 0, 1 и 2 с неопределенными коэффициентами имеют видA, Ax + B, Ax 2 + Bx + D соответственно ( A, B, D, ... – неопределенные коэффициенты,которые надо найти).Чтобы найти эти коэффициенты, следует:(1) найти первую, вторую и т.д. производные функции y = x r eα x P ( x) ;чн(2) подставить их в данное НЛДУ a0 y( n)+ a1 y( n −1)m+ ... + an−1 y′ + an y = eα x P( x) , привестиподобные и сократить левую и правую части на eα x ;(3) Приравнять коэффициенты при одинаковых степенях переменной х слева и справа;получится система линейных уравнений (число этих уравнений будет равно (m + 1) –числу искомых неопределенных коэффициентов);(4) Решить полученную систему уравнений.Специальный вид правой части 2-го типа: f ( x) = eα x⋅ ( Pm ( x) cos β x + Qk ( x ) sin β x ) ,где α ∈ R , β ∈ R + , Pm ( x) и Qk ( x) – многочлены степени т и k соответственно (один изэтих многочленов может вовсе отсутствовать, т.е.
быть нулевым). Нулевой многочленбудем считать имеющим степень минус один.Пусть комплексные числа λ = α ± i β являются корнями характеристического уравнениякратности r и N = max{m, k} . В этом случае частное решение можно найти в виде :y = x r ⋅ eα x⋅ ( P ( x) cos β x + Q ( x) sin β x ) .чнNNЧтобы найти коэффициенты многочленов PN ( x) и Q N ( x ) , надо:(1) найти первую, вторую и т.д. производные функции yчн = x r eα x Pm ( x) ;(2) подставить их в данное НЛДУa0 y ( n ) + a1 y ( n −1) + ... + an −1 y′ + an y = eα x⋅ ( Pm ( x) cos β x + Qk ( x) sin β x ) , привести подобные исократить левую и правую части на eα x ;С.К. Соболев.
Дифференциальные уравнения21(3) Представить левую часть в виде в виде A( x) cos β x + B( x) sin β x , где A( x) и B ( x) –многочлены, приравнять коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа вмногочленах при cos β x (т.е. в A( x) и Pm ( x) ), а затем приравнять коэффициенты приодинаковых степенях х слева и справа в многочленах при sin β x , т.е. при B ( x) и Qk ( x) );получится система из 2( N + 1) линейных уравнений;(4) Решить полученную систему уравнений.Замечание. Часто правая часть f ( x) не имеет специального вида, но является суммойнескольких функций f ( x ) = f1 ( x) + ... + f s ( x) , где каждая из функций fi ( x) имеетспециальный вид 1-го ил 2-го типа. В этом случае, по теореме 8, частное решение имеетвид yчн = y1 ( x) + ... + ys ( x) , где yi ( x) – частное решение для НЛДУa0 y ( n ) + a1 y ( n −1) + ...
+ an −1 y ′ + an y = fi ( x) .Пример 10. Найти общее решение НЛДУ y′′ − 2 y ′ − 3 y = (4 x + 8)e − x + 13sin 2 x.Решение. Для соответствующего однородного ЛДУ y′′ − 2 y′ − 3 y = 0 характеристическоеуравнение λ 2 − 2λ − 3 = 0 имеет корни λ1 = −1 и λ2 = 3 кратности r = 1 каждый. Общеерешение ОЛДУ есть yоо = С1e − x + C2e3 x . Правая часть есть сумма двух функцийf ( x) = ( x + 2)e − x + 13sin 2 x = f1 ( x) + f 2 ( x) , имеющих специальный вид 1-го и 2-го типасоответственно. Частное решение есть сумма: yчн = y1 ( x) + y2 ( x) , гдеy1 ( x) – частное решение НЛДУ y′′ − 2 y ′ − 3 y = f1 ( x) = (4 x + 8)e− x ,y2 ( x) – частное решение НЛДУ y′′ − 2 y′ − 3 y = f 2 ( x) = 13sin 2 x .(12)(13)(1) f1 ( x) = eα x Pm ( x) = e− x ( x + 2) , α = −1 – корень кратности 1, m = 1 , следовательноy ( x) = x1e − x P ( x) = xe− x ( Ax + B) = e− x ( Ax 2 + Bx) .11Находим первую и вторую производные:y1′ = −e− x ( Ax 2 + Bx) + e− x (2 Ax + B) = e− x (− Ax 2 + (2 A − B) x + B) ,y2′′ = −e− x (− Ax 2 + (2 A − B ) x + B ) + e − x (−2 Ax + 2 A − B) == e − x ( Ax 2 + ( B − 4 A) x + (2 A − 2 B) )и подставим в уравнение (12), получим:e− x ( Ax 2 + ( B − 4 A) x + (2 A − 2 B) ) − 2e − x ( − Ax 2 + (2 A − B ) x + B ) − 3e− x ( Ax 2 + Bx) = (4 x + 8)e− xСократим на e− x , приведем слева подобные:0 x 2 − 8 Ax + (2 A − 4 B) = x + 2 и приравняем коэффициенты при x1 и x0 слева и справа, −8 A = 4 A = − 12 ,получим систему: ⇒92 A − 4 B = 8 B = − 4 .()Итак, y1 ( x) = − 12 x − 94 e − x .(2) f 2 ( x) = eα x ( Pm ( x) cos β x + Qk ( x ) sin β x ) = 3sin 2 x , α = 0, β = 2, λ = 0 ± 2i – коренькратности r = 0 , Pm ( x) = 0, Qk ( x) = 3 , m = −1, k = 0 ⇒ N = 0 , поэтомуy ( x) = x 0e0 x ( P ( x) cos 2 x + Q ( x) sin 2 x ) = A cos 2 x + B sin 2 x .200С.К.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
