Главная » Просмотр файлов » Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения (831547), страница 4

Файл №831547 Дифференциальные уравнения (Соболев С.К. - Дифференциальные уравнения. Методические указания к решению задач) 4 страницаДифференциальные уравнения (831547) страница 42021-03-01СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Дифференциальные уравнения∆2 =cos 2x0=172cos 2x= 1 .1 + cos x cos x221 + cos x2sin 2x∆∆Следовательно, C1′ ( x ) = 1 =, C2′ ( x ) = 2 = 2 x .2x∆ cos∆ cos2− 21 sin 2x(2)Теперь, интегрируя, находим:x2sin 2x dx4 + C , C ( x) = 2 dx = 4 ln 1 + sin 2 + C ,C1 ( x) = ∫=122∫ cos xcos 2xcos 2xcos 2 2x2( )(7)где C1 , C2 = const . Подставляя полученные функции C1 ( x) и C2 ( x) (7) в (6) получимискомое общее решение неоднородного ЛДУ (5):1 + sin 2xyон =  4 x + C1  cos 2x +  4ln+ C2  sin 2x =x coscos 22x1 + sin 2 xx=  4 + 4sin x ⋅ ln + C1 cos + C2 sinx222cos 2  (yчн − частное реш.

неодн. ЛДУ)yоо −общее реш. однор. ЛДУ(черту над настоящими константами уже можно опустить).3.3. Задачи для самостоятельного решения.1. Найти общее решение дифференциальных уравнений второго порядка спостоянными коэффициентами:(а) 3 y ′′ + y ′ − 4 y = 0 ; (б) 4 y ′′ + 12 y ′ + 9 y = 0 ; (в) y ′′ − 5 y ′ = 0 ; (г) y ′′ − 9 y = 0 ;(д) y ′′ + 9 y = 0 ; (е) ; (ж) y ′′ − 4 y ′ + 13 y = 0 ;2. Найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:(а) y ′′ + y ′ − 6 y = 0 , y (0) = 1, y′(0) = 4 ;(б) y ′′ − 4 y ′ + 4 y = 0 , y (0) = −1, y′(0) = 2 ;(в) y ′′ − 4 y ′ + 5 y = 0 , y (0) = 1, y′(0) = 0 .Найти общее решение неоднородного ЛДУ второго порядка:x(а) y ′′ + 3 y ′ + 2 y = x 1 ; (б) y ′′ − 2 y ′ + y = e; (в) y ′′ + 9 y = 1 ,2sin xe +14− x4.

Линейные дифференциальные уравнения п-го порядкас постоянными коэффициентамиНеоднородное линейное дифференциальное уравнение (НЛДУ) имеет вид:a0 ( x) y ( n) + a1 ( x) y ( n−1) + ... + an−1 ( x) y′ + an ( x) y = f ( x)(8)или, символически,(8*)L [ y ] = f ( x) ,Соответствующее однородное линейное дифференциальное уравнение (ОЛДУ) имеет вид(9)a0 ( x) y ( n) + a1 ( x) y ( n−1) + ... + an−1 ( x) y′ + an ( x ) y = 0С.К. Соболев. Дифференциальные уравнения18или, символически, L [ y ] = 0Структура общего решения однородного ЛДУ п-го порядка.

Общее решение ОЛДУ (9)с непрерывными коэффициентами имеет видyоо = С1 ⋅ϕ1 ( x) + ... + С1 ⋅ϕ1 ( x) ,где ϕ1 ( x), ..., ϕ1 ( x) – линейно независимые частные решения этого ЛДУ, образующиефундаментальнуюконстанты.системурешенийэтогоОЛДУ,C1, ..., Cn–произвольные4.1. Решение ОЛДУ п-го порядка с постоянными коэффициентами.Рассмотрим ОЛДУ:a0 y ( n) + a1 y ( n−1) + ... + an−1 y′ + an y = 0 ,где ai = const ∈ R, a0 ≠ 0 .Многочлен(10)P(λ ) = a0λ n + a1λ n−1 + ...

+ a1λ + a0(11)defназывается характеристическим для ОЛДУ (3). Алгебраическое уравнение P(λ ) = 0также называется характеристическим.Построение фундаментальной системы решений для ОЛДУ с постояннымикоэффициентами п-го порядкаПусть λ1, λ2 , ..., λk – все корни (вещественные и/или комплексные)характеристического уравнения (4), а натуральные числа r1, r2 , ..., rk – соответствующиекратности этих корней. Это значит, что характеристический многочлен разлагается впроизведениеP(λ ) = a0 (λ − λ1 )r1⋅ (λ − λ2 )r2 ⋅ ...

⋅ (λ − λk )rk ,и общее количество корней с учетом их кратностей равно порядку п ОЛДУ, т.е.r1 + r2 + ... + rk = n .Заметим также, что все коэффициенты характеристического уравнения вещественны, ипоэтому его комплексные корни попарно комплексно сопряжены, т.е. если имеется кореньλ = α + i β кратности r, то имеется и корень λ = α − i β той же кратности r.(1°) Каждому вещественному корню λ j = γ ∈ R кратности r соответствуют ровно rразличных функций, составляющих ФСР уравнения (10):ϕ1 ( x) = eγ x , ϕ 2 ( x) = x ⋅ eγ x ,..., ϕ r ( x) = x r −1 ⋅ eγ x(2°) Каждой паре комплексно сопряженных корней λ j = α ± i β , где α ∈ R, β ∈ R + ,каждый из которых имеет кратность r, соответствуют r пар функций, составляющих ФСРуравнения (3) (а всего их 2r ):ϕ1 ( x) = eα x⋅ cos β x, ϕ 2 ( x) = x ⋅ eα x⋅ cos β x, ..., ϕ r ( x) = x r −1⋅ eα x⋅ cos β x;ψ 1 ( x) = eα x⋅ sin β x, ψ 2 ( x) = x ⋅ eα x⋅ sin β x, ..., ψ r ( x) = x r −1⋅ eα x⋅ sin β x .Полная фундаментальная система решений ОЛДУ (10) состоит из всех функций,построенных таким образом для всех корней характеристического уравнения.С.К.

Соболев. Дифференциальные уравнения19Пример 9. Найти общие решения следующих ОЛДУ:(а) y′′′ − 8 y = 0 ; (б) y′′′ − y′′ − 5 y′ − 3 y = 0 ; (в) y (7) − 16 y (3) = 0 .Решение. Запишем для каждого ОЛДУ характеристический многочлен P(λ ) и разложимего на множители:(а) P(λ ) = λ 3 − 8 = (λ − 2)(λ 2 + 2λ + 4) = 0 , корни λ1 = 2, λ2,3 = −1 ± i 3 , их кратностиравны 1. Поэтому yоо = C1e 2 x + C2e − x cos ( x 3 ) + C2e− x sin ( x 3 ) ;(б) P(λ ) = λ 3 − λ 2 − 5λ − 2 = (λ + 1)(λ 2 − 2λ − 3) = (λ + 1)2 (λ − 3) = 0 , корни и их кратности:λ1 = −1, r1 = 2 , λ2 = 3, r2 = 1 , поэтому yоо = C1e− x + C2 xe− x + C3e3 x .(в) P(λ ) = λ 7 − 16λ 3 = λ 3 (λ 4 − 16) = λ 3 (λ − 2)(λ + 2)(λ 2 + 4) , корни и их кратности:λ1 = 0, r1 = 3; λ2 = 2, r2 = 1, λ3 = −2, r3 = 1, λ4,5 = 0 ± 2i , r4,5 = 1 , общее решениеyоо = С1e0 x + С1x ⋅ e0 x + С1x 2 ⋅ e0 x + C4e 2 x + C5e −2 x + C6e0 x cos 2 x + C7 e0 x sin 2 x == С1 + С1 x + С1x 2 + C4e 2 x + C5e −2 x + C6 cos 2 x + C7 sin 2 x.Структура общего решения неоднородного линейногодифференциального уравнения.Общее решение неоднородного ЛДУa0 ( x) y ( n) + a1 ( x) y ( n−1) + ...

+ an−1 ( x) y′ + an ( x) y = f ( x)(8)есть сумма частного решения этого НЛДУ и общего решения соответствующегооднородного ЛДУ(9)a0 ( x) y ( n) + a1 ( x) y ( n−1) + ... + an−1 ( x) y′ + an ( x ) y = 0Символически:yон = yчн + yоо .Теорема о наложении частных решений НЛДУ).Пусть правая часть f ( x) неоднородного ЛДУ (1), т.е. L [ y ] = f ( x ) , является суммойдругих функцийf ( x ) = f1( x ) + ... + f m ( x ) ,а для каждого k = 1, ..., m функция yk ( x) является частным решением неоднородного ЛДУL [ y ] = f k ( x) .

Тогда функция yo ( x ) = y1( x ) + ... + ym ( x ) является частным решениемуравнения (8).4.2. Метод неопределенных коэффициентов решения неоднородных линейныхдифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами иправой частью специального вида.Мы умеем строить общее решение yоо ( x) однородного ЛДУ с постояннымикоэффициентами:a0 y ( n) + a1 y ( n−1) + ... + an−1 y′ + an y = 0Для этого надо составить характеристического уравненияa0λ n + a1λ n−1 + ... + a1λ + a0 = 0 ,С.К. Соболев.

Дифференциальные уравнения20найти его корни λ1, λ2 , ..., λk и определить их кратности r1, r2 , ..., rk (натуральные числа,т.е. целые положительные).Условимся считать, что если вещественное или комплексное число λ не являетсякорнем данного характеристического уравнения, то мы все равно будем считать егокорнем кратности ноль.Для нахождения общего решения yон ( x) неоднородного ЛДУa0 y ( n) + a1 y ( n−1) + ... + an−1 y′ + an y = f ( x)надо знать его какое-нибудь частное решение yчн ( x) , поскольку yон = yчн + yоо .Такое частное решение можно найти методом неопределенных коэффициентов в томслучае, если функция f ( x) имеет специальный вид первого или второго типа.Специальный вид правой части 1-го типа: f ( x ) = eα x Pm ( x) , где α ∈ R , Pm ( x) –многочлен степени т.Пусть число α является корнем кратности r характеристического уравнения. В этомслучае частное решение можно найти в виде:y = x r eα x P ( x) ,чнmгде P ( x) – многочлен степени т с неопределенными коэффициентами.

Напомним, чтомногочлены степени 0, 1 и 2 с неопределенными коэффициентами имеют видA, Ax + B, Ax 2 + Bx + D соответственно ( A, B, D, ... – неопределенные коэффициенты,которые надо найти).Чтобы найти эти коэффициенты, следует:(1) найти первую, вторую и т.д. производные функции y = x r eα x P ( x) ;чн(2) подставить их в данное НЛДУ a0 y( n)+ a1 y( n −1)m+ ... + an−1 y′ + an y = eα x P( x) , привестиподобные и сократить левую и правую части на eα x ;(3) Приравнять коэффициенты при одинаковых степенях переменной х слева и справа;получится система линейных уравнений (число этих уравнений будет равно (m + 1) –числу искомых неопределенных коэффициентов);(4) Решить полученную систему уравнений.Специальный вид правой части 2-го типа: f ( x) = eα x⋅ ( Pm ( x) cos β x + Qk ( x ) sin β x ) ,где α ∈ R , β ∈ R + , Pm ( x) и Qk ( x) – многочлены степени т и k соответственно (один изэтих многочленов может вовсе отсутствовать, т.е.

быть нулевым). Нулевой многочленбудем считать имеющим степень минус один.Пусть комплексные числа λ = α ± i β являются корнями характеристического уравнениякратности r и N = max{m, k} . В этом случае частное решение можно найти в виде :y = x r ⋅ eα x⋅ ( P ( x) cos β x + Q ( x) sin β x ) .чнNNЧтобы найти коэффициенты многочленов PN ( x) и Q N ( x ) , надо:(1) найти первую, вторую и т.д. производные функции yчн = x r eα x Pm ( x) ;(2) подставить их в данное НЛДУa0 y ( n ) + a1 y ( n −1) + ... + an −1 y′ + an y = eα x⋅ ( Pm ( x) cos β x + Qk ( x) sin β x ) , привести подобные исократить левую и правую части на eα x ;С.К. Соболев.

Дифференциальные уравнения21(3) Представить левую часть в виде в виде A( x) cos β x + B( x) sin β x , где A( x) и B ( x) –многочлены, приравнять коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа вмногочленах при cos β x (т.е. в A( x) и Pm ( x) ), а затем приравнять коэффициенты приодинаковых степенях х слева и справа в многочленах при sin β x , т.е. при B ( x) и Qk ( x) );получится система из 2( N + 1) линейных уравнений;(4) Решить полученную систему уравнений.Замечание. Часто правая часть f ( x) не имеет специального вида, но является суммойнескольких функций f ( x ) = f1 ( x) + ... + f s ( x) , где каждая из функций fi ( x) имеетспециальный вид 1-го ил 2-го типа. В этом случае, по теореме 8, частное решение имеетвид yчн = y1 ( x) + ... + ys ( x) , где yi ( x) – частное решение для НЛДУa0 y ( n ) + a1 y ( n −1) + ...

+ an −1 y ′ + an y = fi ( x) .Пример 10. Найти общее решение НЛДУ y′′ − 2 y ′ − 3 y = (4 x + 8)e − x + 13sin 2 x.Решение. Для соответствующего однородного ЛДУ y′′ − 2 y′ − 3 y = 0 характеристическоеуравнение λ 2 − 2λ − 3 = 0 имеет корни λ1 = −1 и λ2 = 3 кратности r = 1 каждый. Общеерешение ОЛДУ есть yоо = С1e − x + C2e3 x . Правая часть есть сумма двух функцийf ( x) = ( x + 2)e − x + 13sin 2 x = f1 ( x) + f 2 ( x) , имеющих специальный вид 1-го и 2-го типасоответственно. Частное решение есть сумма: yчн = y1 ( x) + y2 ( x) , гдеy1 ( x) – частное решение НЛДУ y′′ − 2 y ′ − 3 y = f1 ( x) = (4 x + 8)e− x ,y2 ( x) – частное решение НЛДУ y′′ − 2 y′ − 3 y = f 2 ( x) = 13sin 2 x .(12)(13)(1) f1 ( x) = eα x Pm ( x) = e− x ( x + 2) , α = −1 – корень кратности 1, m = 1 , следовательноy ( x) = x1e − x P ( x) = xe− x ( Ax + B) = e− x ( Ax 2 + Bx) .11Находим первую и вторую производные:y1′ = −e− x ( Ax 2 + Bx) + e− x (2 Ax + B) = e− x (− Ax 2 + (2 A − B) x + B) ,y2′′ = −e− x (− Ax 2 + (2 A − B ) x + B ) + e − x (−2 Ax + 2 A − B) == e − x ( Ax 2 + ( B − 4 A) x + (2 A − 2 B) )и подставим в уравнение (12), получим:e− x ( Ax 2 + ( B − 4 A) x + (2 A − 2 B) ) − 2e − x ( − Ax 2 + (2 A − B ) x + B ) − 3e− x ( Ax 2 + Bx) = (4 x + 8)e− xСократим на e− x , приведем слева подобные:0 x 2 − 8 Ax + (2 A − 4 B) = x + 2 и приравняем коэффициенты при x1 и x0 слева и справа, −8 A = 4 A = − 12 ,получим систему: ⇒92 A − 4 B = 8  B = − 4 .()Итак, y1 ( x) = − 12 x − 94 e − x .(2) f 2 ( x) = eα x ( Pm ( x) cos β x + Qk ( x ) sin β x ) = 3sin 2 x , α = 0, β = 2, λ = 0 ± 2i – коренькратности r = 0 , Pm ( x) = 0, Qk ( x) = 3 , m = −1, k = 0 ⇒ N = 0 , поэтомуy ( x) = x 0e0 x ( P ( x) cos 2 x + Q ( x) sin 2 x ) = A cos 2 x + B sin 2 x .200С.К.

Характеристики

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6392
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее