1612725063-eb24d9660fd97b365f78091f0a818088 (828996), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Волновая лрарода лсатзряа. Тзорая дп-Бройлэя Эта дилемма приобрела еще более острый характер, когда де-Бройль (1925 г,) выдвинул гипотезу о том, что корпускулярно-волновой дуализм, который присущ свету, распространяется и на вещество. По де-Бройлю, с частицей вещества связана волна материи, точно так же как с квантом света связана световая волна, причем соответствие между волновым икорпускулярным аспектами вновь устанавливается соотношением Е ттт.
Далее, из теории относительностиследует, что энергия и импульс представляют собой родственные друг другу величины (импульс— это пространственная часть релятивистского 4-вектора, временнйя часть которого есть энергия). Поэтому ясно, что ради внутренней согласованности следует положить р Йт, где т — число длин волн„приходящихся на единицу длины (поскольку ив число колебаний в единицу времени). Иначе говоря, т — величина, обратная Х-длине, связанной с движением частицы-волны. Таким образом, р Ь/Э. э" д. Вол«ив«я иаир«да иат«рии Теория д«-Брод«я 111 Идею волны, заимствованную из оптики, можно перенести е механику вполне последовательно.
Однако, прежде чем заняться этим, подчеркнем «иррациональность» (как говорил Бор) такой попытки объединения волной и корпускулярной точек зрения. Действительно, Е и р относятся к точечной, т. е. обладающей пренебрежимо малыми размерами, массе. Напротив, ч н т характеризует бесхонечно протяженную во еременн и пространстве волну. Трудно представить себе более далекие и несовместимые друг с другом идеи, чем эти две концепции, которые квантовая теория должна объединить в одно целое. К разрешению этого парадокса мы обраткмся позже.
Сначала же попробуем развить теорию де-Бройля чисто формально. Итак, частицу с импульсом р и энергией Е, движу» щуюся е направлении оси х, нужно ассоциировать при помощи двух соотношений Е=йч, р=йт с бесконечно протяженной волной м (х с) — яда«Ф (м- »ч Эта волна распространяется вдоль оси х с определенной скоростью — 4>адовой скоростью и.
Значение и можно найти сразу же, рассмотрев поверхности постоянной фазы (плоскости). Из равенства ф — ч1 — тх=сопз1 или х=-с+-сопз1 ч т следует, что п=(~ ) аг ии В силу того что ч, вообще говоря, зависит от Х (и наоборот), это уравнение содержит в себе закон дисперсии волн. Следует отметить, однако, что фазовая скорость есть чисто искусственное понятие, так как ее нельзя измерить на опыте. В самом деле, для ее измерения необходимо как-то «пометить» определенную часть бесконечной и плавной волны и затем проследить, с какой скоростью будет перемещаться «метка». Но единственный способ сделать такую «метку» состоит в том, чтобы наложить на исходную волну другую группу волн, так чтобы в результате интерфЬренции на ранее гладкой волновой функции возник какой-либо горб.
Таким образом, приходится измерять не фазовую скорость первоначальной волны, а скорость движения созданного горба. Последняя же называется групповой скоростью. Г*. 3У. Волны — «астицы Общий метод вычисления групповой скорости дан в приложении 11. Здесь же мы ограничимся простым случаем, который приводит к тем же результатам и особенно наглядно демонстрирует различия между групповой и фазовой скоростями.
На исходную волну и(х, 1), где и — определенная выше функция, наложим другое колебание с той же амплитудой, но слегка измененными частотой ч' и длиной волны Л'. В этом случае, как известно, возникают «биения». Максимумом «биения» мы воспользуемся как «пометкой» на полученной группе волн. Теперь выясним, с какой скоростью перемещается этот максимум.
Математически суперпозиция двух этих' волн соответствует колебанию вида ~) еъкс (м-чк) ) Евы (чч-ч'к) Это выражение можно переписать как ( ч+ч' ч+ч' ) ) ( ч-ч' ч-ч' +е -ьп(ч" с- к) 1 Г ч+ч' ч+ч' =2 сов 2п~:~ — Ф вЂ” — — лн — х) в Очевидно, что оно соответствует колебанию с частотой (ч+ЧР и длиной волны 2/(т+т'), амплитуда которого медленно изменяется сравнительно с самим колебанием (испытывает биения).
Как легко вывести из формулы, фаза волны движется со - скоростью (ч+-ч')/(т+т'). С другой стороны, максимум амплитуды перемешается со скоростью (ч — ч')Д(т — т'). В пределе, когда ч' стремится к ч, а потому и т' стремится к т, мы получим для фазовой скорости уже известное выражение: тогда как групповая скорость определяется предельным переходом / (У= 11ш ч',»ч « — ч Но по определению это просто проиаводная частоты ч но волновому числу т, если считать ч функцией т (закон дисперсии). Мы получаем поэтому В б. Эссссримситесыюс докаэатвлвство Как будет показано е приложении 11, эта формула для групповой скорости выполняется во всех случаях. Применим теперь все это к случаю свободной частит(и, движущейся со скоростью и.
Обозначая о/с через В и пользуясь релятивистскими формулами для энергии и импульса (приложе ние 5), получаем В гво4 с Р стсс В з ь у(Г:~5)' ь а М(à — 55)' Фазовая скорость дается равенством ч с сй т з е и оказывается поэтому больше скорости света с, когда о<с. Следовательно, фаза волны материи распространяется со скоростью, превосходящей скорость света, — это также свидетельствует о том, что фазовая скорость лишена определенного фи. зического смысла.
Для групповой скорости мы получаем б~lдВ е бт7дВ ' Это выражение в точности равно скорости частицы, так как еч асс сВ ей а (1 — В~) ь дт асс 1 3 Ф еВ з (1 — В*)'ь откуда У=сй о. Полученное соотношение чрезвычайно привлекательно, в частности велико искушение попытаться интерпретировать материальную частицу как волновой пакет, образованный супер- позицией некоторой группы волн. Однако эта соблазнительная интерпретация наталкивается на непреодолимые трудности,ибо такого рода волновой пакет, вообще говоря, неустойчив и очень скоро расплывется.
Достаточно вспомнить аналогичное явление для волн на воде: если создать горб в любой точке гладкой водной поверхности, то он просуществует совсем недолго — возникнет расходящаяся волна и горб исчезнет. ф 6. Экекерименткальное доказаткеласгкво еущеспьвоваккк волк мапзерак Ввиду смелости и необычности гипотезы де-Бройля о волновой природе вещества сразу же возникает естественный вопрос: можно ли и если можно, то каким именно образом проверить эту гипотезу эксперяментальнот Первый ответ на этот вопрос 8 м зссн Гл. 1У.
Яолнсч — частица был даи Эйнштейном (1925 г.), который указал, что идея волны позволяет без труда объяснить вырождение элекгроное е металле — экспериментальный факт, известный теоретикам еще до де-Бройля и проявляющийся в непонятном с точки зрения обычных представлений аномальном поведении тепловмкости металлов. Подробно эту тему мы обсудим в $7 гл.
МП. Далее, благодаря исследованиям Дэвиссона и Джермера (1927 г.) было установлено, что при отражении электронных пучков от металлов имеют место отклонения от той картины, которую предсказывает классическая теория: число электронов, отраженных в некоторых направлениях, оказывается больше, а в некоторых — меныпе, чем следовало ожидать, так что можно говорить о своего рода избирательном отражении на определенные углы. В 1925 году Эльзассер выдвинул гипотезу о том, что здесь мы' имеем дело с дифракцией электронных волн на атомной решетке металлов — эффектом, напоминающим дифракцию рентгеновских лучей в кристалле (стр.
100). Точные эксперименты, предпринятые тогда же Дзвнссоном и Джермером, действительно обнаружили интерференцию электронов. При этом по своей форме явление оказа.чось полностью аналогичным известной интерференции рентгеновских лучей (Лауэ). Последующие опыты Дж. П. Томсона, Руина н др. показали, что прохождение электронов сквозь тонкие пленки (металлические, слюдяные) сопровождается появлением характерной дифракционной картины точно того же вида, что и рентгеновские интерференциоиные кольца Дебая — Шеррера. Более того, если провести расчет, исходным пунктом которого являются заданные внешние условия процесса, окончательный результат процесса и известные параметры кристаллической решетки, то полностью подтверждается формула де-Бройля для длины волны н нмп льса электрона.
8 порядке длин волн, с которыми мы встречаемся в электронных пучках, позволяет судить следующий грубый расчет. Согласно де-Бройлю, длина волны равна Х Ыр, или, если„ ограничиться не очень бысгрымн электронами, так чтобы релятивистскими попрзвками можно было пренебречь, Х=й/то. Но скорость электронов определяется величиной потенциала приложенного к катодной трубке: 'Ьтоэ еУ.
Следовательно, 3,~ в 7 2йюу или, если подставить численные значения е=4,80 10-м ед. СОЗЕ, т 9,1 ° 10-" е, 6=6,62 ° 10-гг эре сек, К о. Эквовримвитовьнов оокаватввьвтво где потенциал У выражен в вольтах. Поэтому ускоряющему потенциалу 10000 в отвечает длина волны Х 0,122 А, Таким образом, длины волн применяемых на практике электронных. пучков лежат примерно в той же области, что и длины волн жестких рентгеновских лучей, Хотя и удивительно, что дифракция электронов не была открыта раньше, этот факт все же следует считать чрезвычайно счастливой случайностью для зарождавшейся в то время атомной теории.
Какая растерянность овладела бы учеными, если сразу вслед за открытием катодных лучей вдруг были бы одновременно поставлены эксперименты и по определению их заряда и способности к отклонению, и по изучению их способности к интерференции! Ведь и сама боровская теория атома, которой впоследствии суждено было послужить исходным рубежом для построения волновой механики, существенно базировалэсь на предположении, что электрон представляет собой электрически заряженную корпускулу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
