1612725170-875f1dc1af30a046ee4b954c4f0d36bd (828896)
Текст из файла
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТМЕХАНИКО–МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТкафедра теории вероятностей и математической статистикиИ. С. БОРИСОВЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕНовосибирск – 2010ВведениеМатематическая статистика – раздел математики, который посвящен методамобработки результатов реальных стохастических экспериментов.
Математическая статистика тесно связана с теорией вероятностей, поскольку также имеет дело со стохастическим экспериментом. Однако математическая статистика занимается в известном смысле обратнымизадачами теории вероятностей. Как нам хорошо известно, в теории вероятностей исходнымобъектом было вероятностное пространство (Ω, F, P), и мы могли говорить о вероятностяхпоявления тех или иных событий, связанных, скажем, с последовательностью независимыхиспытаний.
В то же время, исходными данными в математической статистике являются конечные наборы результатов уже проведенных в одних и тех же условиях стохастических экспериментов (стало быть, независимых и одинаково распределенных) x1 = ξ1 (ω),..., xn = ξn (ω),где ω – некоторый элементарный исход вероятностного пространства Ω, описывающего всюсерию проводимых испытаний, а величины xi могут принимать значения в любом измеримомпространстве X. При этом распределение отдельного эксперимента P (A) = P(ξ1 ∈ A)предполагается неизвестным частично или полностью. Задача математической статистики как раз и состоит в восстановлении (или оценке) распределения P (·) как можно болееточно.Курс состоит из двух разделов:1. Теория построения оценок неизвестных параметров наблюдаемых распределений.2.
Проверка статистических гипотез.Определение. Вектор X = (x1 , . . . , xn ) называется выборкой объема n из неизвестного распределения. Декартова степень Xn с соответствующей σ-алгеброй подмножеств называется выборочным пространством.Замечание.Как мы видим, с одной стороны, выборка – неслучайный вектор X = (x1 , . .
. , xn ) =(ξ1 (ω), . . . , ξn (ω)), представляющий собой обычную n-ку чисел или элементов более сложнойприроды. Повторно проведя n раз эксперимент в тех же условиях, получим новые значения000(ξ1 (ω ), . . . , ξn (ω )), для которых, вообще говоря, ξi (ω ) 6= ξi (ω) хотя бы при одном i. Так чтоесли нас будут интересовать всевозможные значения выборочного вектора и их распределение (если иметь в виду многократные серии одних и тех же испытаний), то выборку X будеминтерпретировать как n-мерный случайный вектор с независимыми одинаково распределенными координатами.
При этом, следуя традиции математической статистики, в этомслучае мы оставим прежнее обозначение и для случайного выборочного вектора. Так что запись типа P(x1 ∈ A1 , . . . , xn ∈ An ) не должна приводить к недоразумению.Стоит также отметить, что по большому счету суть всех статистических процедур сводитсяк поиску “почти достоверных” измеримых подмножеств в выборочном пространстве (т.
е. подмножеств, в которые выборочный вектор X попадает с вероятностью, близкой к 1). При этомприменяется основной принцип статистики: имеющаяся в вашем распоряжении “неслучайная” выборка (x1 , . . . , xn ) наверняка находится именно в этом подмножестве.Определение. Эмпирическое распределение, построенное по выборке объема n:P∗n (A) =#{ xi | xi ∈ A }.nЛегко видеть, что P∗n – дискретная вероятностная мера с атомами в точках {xi ; i ≤ n}.Определение. Выборочной характеристикой называется измеримый k-мерный (принимающий значения в пространстве Rk ) функционал G(P∗n ).1Пример. G(P∗n ) =Rf (x) P∗n (dx) – выборочный момент “порядка f ”, где f (x) – скалярнаяXизмеримая функция.
Очевидно, G(P∗n ) =1nnPf (xi ). В математической статистике для этойi=1величины используется обозначение f (x). Пусть X = R. Если f (x) = xk , то говорят о k-омвыборочном моменте. При этом x традиционно называют выборочным средним.Приведем еще пару примеров:G1 (P∗n ) = g1 (f1 (x), . . . fk (x), x),G2 (P∗n ) = g2 (f1 (x) − f2 (x)),где gj (·) и fj (t) – произвольные измеримые функции, заданные на соответствующих пространствах.
Скажем, выборочные центральные моменты (x − x)k , в частности, выборочnPная дисперсия S 2 = n1 (xi − x)2 = x2 − (x)2 имеют как раз указанную структуру.i=1Понятие неизвестного параметра.Определение. Параметром наблюдаемого распределения называется значение того илииного функционала от этого распределения: θ = G(Px1 ) ∈ Rk , где Px1 (A) = P(x1 ∈ A).Определение. Параметрическое семейство распределений {Pθ }θ∈Θ – это класс распределений известной функциональной формы, содержащей один или несколько скалярныхпараметров.
При этом множество Θ называется параметрическим.Ясно, что два эти определения тесно связаны между собой.Примеры. {πλ }λ>0 – семейство пуассоновских распределений с параметром θ = λ. Дляэтого семейства λ = Ex1 – интегральный функционал от наблюдаемого распределения. Аналогичные представления имеют место для параметров нормального распределения. Квантильпорядка t неизвестного распределения F при любом фиксированном t ∈ [0, 1] также являетсяпримером такого вида функционалов.Определение. Оценка θn∗ = θn∗ (x1 , . . .
, xn ) неизвестного параметра θ – это выборочная характеристика θn∗ = G(P∗n ), которая в том или ином смысле приближает неизвестныйпараметр θ.→ θ при n → ∞.Определение. Оценка θn∗ называется состоятельной, если θn∗ −pОпределение. Оценка θn∗ называется сильно состоятельной, если θn∗ −−→ θ∗ при n→∞.п.н.Замечание. Пусть X∞ – пространство последовательностей (x1 , x2 , . . .), а X∞ – выборка бесконечного объема. Будем считать, что вектор Xn получен в результате проектированияX∞ на первые n координат.
Сходимость почти наверное понимается относительно распределения P в (X∞ , B ∞ , P). В силу теоремы Колмогорова о согласованных распределениях, такоераспределение всегда существует.Пример. Пусть E|f (x1 )| < ∞. Используя ЗБЧ в форме Хинчина, получаем:n1X→ Ef (x1 ) = θ.f (x1 ) = f (x) = θn∗ −pn i=1Замечание. В курсе теории вероятностей УЗБЧ был доказан в предположении существования E|ξ1 |4 .
Верна более сильнаяТеорема (УЗБЧ Колмогорова). Для того, чтобы Snn −−→ a, необходимо и достаточп.н.но, чтобы существовало Eξ1 = a.Следовательно, выборочное среднее является сильно состоятельной оценкой для теоретического среднего (математического ожидания), если только E|f (x1 )| < ∞. Выборочная дисперсия S 2 – сильно состоятельная оценка для истинной дисперсии, если Ex21 < ∞.2Замечание.
Далее x1 ∈ (X, B), где X – любое измеримое множество, а B – σ-алгебра егоподмножеств.Теорема (ЗБЧ для эмпирического распределения). Для каждого множества A из Bверно: P∗n (A) −−→ Px1 (A).п.н.nPД ОКАЗАТЕЛЬСТВО . Заметим, что #{ xi | xi ∈ A } =I(xi ∈ A), где I(xi ∈ A) –i=1nP#{ xi | xi ∈ A }I(xi ∈A)бернуллиевские случайные величины. Тогда=−−−→ P(xi ∈ A) ≡nУЗБЧni=1≡ Px1 (A). Другими словами, для любого фиксированного множества A эмпирическая мераявляется сильно состоятельной оценкой для неизвестного распределения.
Замечание. Покажем, что равномерная аппроксимация в теореме , вообще говоря, невозможна. Условие равномерной аппроксимации означает, что sup |P∗n (A)−Px1 (A)| −−→ 0. БудемA∈Bп.н.предполагать, что B содержит все конечные подмножества X, и x1 имеет неатомарное распределение. Пусть A∗ = { x1 , x2 , . . . , xn }, тогда P∗n (A∗ ) = 1 и Px1 (A∗ ) = 0. Следовательно,sup |P∗n (A∗ ) − Px1 (A∗ )| ≡ 1.A∈BТеоремы Гливенко – Кантелли.Пусть x1 ∈ (X, B), и A ⊆ B - класс измеримых подмножеств. Будем говорить, что длякласса A выполняется теорема Гливенко – Кантелли, еслиsup |P∗n (A) − Px1 (A)| −−→ 0 при n → ∞.п.н.A∈AОпределение.
Класс A имеет конечную двустороннюю ε-энтропию относительноN (ε)распределения Px1 , если ∀ε > 0 существует конечный набор {A±i }i=1 ∈ B со следующим−++−свойством: ∀A ∈ A ∃ A±i0 такие, что Ai0 ⊆ A ⊆ Ai0 и Px1 (Ai0 \ Ai0 ) 6 ε.Замечание. Вспомним некоторые определения анализа. Пусть (S, %) – метрическое пространство. Множество M ⊆ S называется ε-сетью для S, если для любой точки x ∈ S существует хотя бы одна точка y ∈ M такая, что %(x, y) 6 ε.Множество X ⊆ S называется вполне ограниченным, если при любом ε > 0 для негосуществует конечная ε-сеть. При этом определяется число H(ε) = log min N (ε), называемоеε-энтропией множества S.Пример. Пусть S = {A} ≡ A – класс множеств.
Это пространство можно сделать метрическим, введя бинарный функционал %(A, B) = Px1 (A4B), где A4B ≡ (A \ B) ∪ (B \ A).Упражнение. Проверить, что введенный функционал %(A, B) удовлетворяет всем аксиомам метрики, кроме одной: %(A, B) = 0 ⇔ A = B. Чтобы получить метрику, надо провестифакторизацию пространства, отождествив все множества A и B такие, что Px1 (A4B) = 0.Заметим, что определение класса A с двусторонней ε-энтропией похоже на определениевполне ограниченного класса множеств. Отличие только в слове “двусторонняя”.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
