1612725555-77fc4bd1e4c9735dc7e3c7a4481f831f (828616)
Текст из файла
Вариант № 11. Какая группа порождается элементамиP1,2√13= − σ̂0 ± iσ̂2 , P3 = σ̂3 ,22где σ̂0 — единичная матрица 2×2, σ̂i — матрицы Паули?2. Порождают ли алгебру Ли операторыM̂11 = a†1 a1 ,M̂22 = a†2 a2 ,M̂12 = a†1 a2 − a†2 a1 ,где [ai , a†j ] = δij , [ai , aj ] = [a†i , a†j ] = 0?3. Молекула SO3 имеет симметрию треугольника C3v . Найти кратности вырождения нормальных колебаний.4. Найти функцию Грина и выписать решение задачиy 00 − y = f (x),y(−∞) = a,y(∞) = b.5.
Решить задачуut = uxx , 2x1u(x, 0) = √ exp − 2 .aa πВариант № 31. Повороты и отражения правильного треугольника в плоскости (x, y) индуцируют линейные преобразования коэффициентов a, b, c в пространстве квадратичных формP(x, y) = ax2 + 2bxy + cy 2 .Найти характер получившегося представления.2. Построить алгебру Ли группы преобразований, оставляющих инвариантной квадратичную форму x2 + y 2 − z 2 .3.
Сколько независимых компонент имеет тензор инерции Iij жесткого невесомогоквадрата с одинаковыми грузами в вершинах:XIij =ma xi xj − r2 δij ?a4. Решить краевую задачу y 00 + y = x2 на отрезке x ∈ [0, π/2]; y(0) = y(π/2) = 0.5. Третья краевая задача для уравнения Лапласа:∂u+ αu = h(r)∂n4u = 0,может быть решена с помощью функции Грина второго родаZu(r) =Gs (r, r0 )h(r0 ) dr0 .SВыразить функцию Грина второго рода Gs через функцию Грина первого родаG(r, r 0 ).Вариант № 41.
Группа порождается элементами0 −1a=,1 0b=01.−1 −1Показать, что a4 = b3 = 1. Найти порядок элемента ab.2. Координаты (x, y) двух частиц преобразуются по двумерному неприводимомупредставлению T группы D4 . Произведения координат x1 x2 , x1 y2 , y1 x2 , y1 y2 преобразуются по прямому произведению представлений T ⊗ T . С помощью проекторов найти комбинации этих произведений, которые преобразуются по неприводимым представлениям.3.
Найти число независимых компонент тензора третьего ранга, инвариантного относительно группы симметрии квадрата.4. Найти функцию Грина для краевой задачиu00 + k 2 u = f (x),ku(0) + u0 (1) = u(1) = 0,k 6= πn.5. Найти функцию Грина второго рода одномерного уравнения теплопроводностиut = uxx .
Решить задачу Коши с начальным условием u(x, 0) = exp(−x2 ).Вариант № 121. Найти нетривиальные подгруппы D3v , группы состоящей из вращений треугольника на ±2π/3 относительно оси, перпендикулярной плоскости треугольника ипроходящей через точку пересечения медиан, вращений на π вокруг медиан иотражений в плоскостях, проходящих через медианы и ось C3 .2. Образуют ли матрицы Паули группу Ли или алгебру Ли?3. Сколько компонент в симметричной части тензора 3-го ранга в 4-мерном пространстве?4. Найти функцию Грина задачи41y 00 + y 0 − 2 y = f (x),xxy(0) = y(∞) = 0.5.
Найти фундаментальное решение уравнения Пуассона в n-мерном пространстве.Вариант № 171. Представление D(g) группы подстановок P3 состоит из матриц 3 × 31 0 00 1 00 0 11 → 0 1 0 , p → 1 0 0 , r → 1 0 0 .0 0 10 0 10 1 0Разложить на неприводимые представления D(g) ⊗ D(g).2.
Найти генераторы группы трансляций в плоскости и их коммутатор.3. Сколько линейно независимых компонент имеет тензор 3-го ранга, инвариантный относительно группы SO(3) или D4 ?4. Найти функцию Грина задачиy 00 +π2y = f (x),4y(0) = 0, y 0 (1) = a.При каких a задача разрешима?5. Построить функцию Грина двумерного уравнения ШрёдингераiΨt + 4Ψ = 0,Ψ(r, 0) = g(r).Вариант № 181.
Построить таблицу неприводимых характеров группы C5v .2. Построить алгебру Ли группы Ли невырожденных действительных верхнетреугольных матриц 2 × 2. Выразить генераторы через матрицы Паули.3. Найти правила отбора дипольного перехода в молекуле с симметрией T.4. Найти функцию Грина уравненияx2 y 00 + 3xy 0 + y = f (x),y 0 (1) = y(2) = 0.5. Построить функцию Грина трехмерного уравнения Шрёдингераi∂Ψ+ 4Ψ = 0;∂tΨ(r, 0) = g(r).Вариант № 191. Разложить прямое произведение двумерных неприводимых представлений D3 ⊗D3 группы D3 по неприводимым представлениям.2. Доказать, что всякая двумерная алгебра Ли изоморфна алгебре [e1 , e2 ] = 0, либо[e1 , e2 ] = e1 .3.
Сколько независимых компонент имеет симметричный тензор второго ранга в4-мерном пространстве?4. Найти функцию Грина задачи:ut = uxx + uyy ,u(x, y, 0) = g(x, y).5. Найти распределение u(x, t) температуры в бесконечном стержне, еслиu(x, 0) = 0 при |x| > h, −T при − h < x < 0, T при 0 < x < h.Вариант № 221. Пусть ϕ — представление группы T матрицами 3 × 3 из SO(3). Доказать, чтотакое представление неприводимо.2. Найти генераторы алгебры Ли группы невырожденных линейных преобразований плоскости x0 = ax + by + c, y 0 = dx + ey + f в представлении на функцияхg(x, y).3. Найти кратности вырождения нормальных колебаний молекулы NH3 .4. Найти функцию Грина задачиy 00 + 4y 0 + 3y = f (x),y(0) = y(1) = 0.5.
Найти функцию Грина уравнения Пуассона в единичном шаре, которая обращается в нуль на границе.Вариант № 251. В полной группе тетраэдра Th рассмотрим подмножество элементов H, состоящее из единичного преобразования и вращений на угол π. Доказать, что H C Th .Найти фактор-группу Th /H.2. Пусть x фиксированный элемент группы G. Централизатором C(x) назовем множество g ∈ G, которые коммутируют с x. Рассмотрим матрицу0 −1A=∈ SL(2, R).1 0Найти централизатор C(A) и проверить, является ли он подгруппой.3.
Вершины квадрата заменили одинаковыми грузиками, а стороны — пружинками. Найти кратности вырождения нормальных колебаний. Как изменится ответ,если колебания происходят в плоскости квадрата?4. Найти функцию Грина краевой задачи u0 (0) = a, u(1) = b для L = d2 /dx2 .5. Какую особенность вблизи точки r = r0 имеет функция Грина G(r, r0 ) уравнения4 4 G − k 2 G = δ(r − r0 )?(4 — двумерный оператор Лапласа).Вариант № 271. Может ли у группы из 48 элементов быть 7-мерное неприводимое представление?2. Сферические гармоники Ylm при l = 3 преобразуются друг через друга под действием преобразований группы D3 .
Разложить представление на неприводимые.3. Атом с моментом J = 1 помещен в кристаллическое поле с симметрией T, D2 , C3 .Как изменится кратность вырождения?4. Найти функцию Грина задачи u(0) + u0 (0) = 0, u(∞) = 0 для L = d2 /dx2 − q 2 .5. Найти фундаментальное решение трехмерного уравнения Гельмгольца(4 + k 2 )G = δ(r − r0 ).Вариант № 281. Образуют ли матрицы1 0 01 000 1 0 , 0 −1 0 ,0 0 10 0 −1−1 0 0 0 1 0 ,0 0 −1−1 0 0 0 −1 000 1группу? Если да, построить ее таблицу неприводимых характеров.2.
Вычислить exp(iµn·σ)σz exp(−iµn·σ), где n — единичный вектор, σ = (σ1 , σ2 , σ3 ),σi — матрицы Паули, µ — параметр.3. Сколько независимых компонент имеет тензор ранга 4, инвариантный относительно группы SO(3)?4. Найти функцию Грина уравненияy 00 + 4y 0 + 4y = f (x),y(0) = y(1) = 0.5. Третья краевая задача для уравнения Лапласа:∂u+ αu = h(r)∂n4u = 0,может быть решена с помощью функции Грина второго родаZGs (r, r0 )h(r0 ) dr0 .u(r) =SВыразить функцию Грина второго рода Gs через функцию Грина первого родаG(r, r 0 ).Вариант № 311. Имеются ли в группе куба O инвариантные подгруппы? Перечислите их.2. Порождают ли алгебру Ли операторыM̂11 = a†1 a1 ,M̂22 = a†2 a2 ,M̂12 = a†1 a2 − a†2 a1 ,где [ai , a†j ] = δij , [ai , aj ] = [a†i , a†j ] = 0?3.
Сколько независимых компонент у тензора третьего ранга, инвариантного относительно группы вращений куба?4. Найти общее решение уравнения xy 00 + y 0 = δ(x − x0 ).5. Найти фундаментальное решение трехмерного уравнения Гельмгольца(4 − k 2 )u = f (r).Вариант № 371. Доказать, что подгруппа индекса 2 инвариантна.2. Разложить на неприводимые компоненты симметричный тензор четвертого ранга в группе SO(3).3. Сколько независимых компонент имеет тензор инерции Iij жесткого невесомогоквадрата с одинаковыми грузами в вершинах:XIij =ma xi xj − r2 δij ?a4. Найти функцию Грина задачи:26y 00 + y 0 − 2 y = f (x),xxx > 0,y(0), y(∞) < ∞.5.
Найти фундаментальное решение уравнения Пуассона в n-мерном пространстве.Вариант № 431. Найти все подгруппы группы A4 четных перестановок из 4 объектов. Какая изних инвариантная?2. Рассмотрим матрицы 4 × 4 вида1 00 z30 e−z3 0 z2 0 0 ez3 z1 .0 00 1Показать, что они образуют группу Ли. Найти генераторы алгебры Ли и ихкоммутаторы.3. Найти кратности вырождения нормальных колебаний молекулы CH3 Cl.4.
Найти функцию Грина краевой задачи u0 (0) = 0, u(∞) = 0 для L = d2 /dx2 − q 2 .5. Построить функцию Грина трехмерного уравнения Шрёдингераi∂Ψ+ 4Ψ = 0;∂tΨ(r, 0) = g(r).Вариант № 521. Найти правые смежные классы группы квадрата D4 по подгруппе вращенийквадрата вокруг диагонали.2. Найти генераторы алгебры Ли группы невырожденных линейных преобразований плоскости x0 = ax + by + c, y 0 = dx + ey + f в представлении на функцияхg(x, y).3.
Найти правила отбора дипольного перехода в молекуле с симметрией T.4. Найти функцию Грина задачи u(−∞) = u0 (∞) = 0 для оператора d2 /dx2 − q 2 .5. Найти фундаментальное решение трехмерного уравнения Гельмгольца(4 + k 2 )G = δ(r − r0 ).Вариант № 601. Пусть ϕ — представление группы T матрицами 3 × 3 из SO(3). Доказать, чтотакое представление неприводимо.2. При каких a(x, y), b(x, y)∂∂∂∂exp aexp b= exp a+b?∂x∂y∂x∂y3. Вершины куба заменили одинаковыми грузиками, а ребра — пружинками. Найтикратности вырождения нормальных колебаний.4.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
