1611690427-4a1f112bb11951135e48ad8733a840e2 (826910), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Особенно те, где используются мгновенные характеристики. Необходимо оченьаккуратно подходить к использованию и обобщению теорем. Но без них не обойтись при решении!ДинамикаДифференциальные уравнения движения точки(проекции 2-го закона Ньютона на оси ортогональных систем координат)Естественная формаmv̇=XFkτ– касательноеkXv2mFkn=ρkX0 =Fkbk– нормальное– бинормальноеЦилиндрическая система координатXm r̈ − rϕ̇2=FkrkXm (rϕ̈ + 2 ṙϕ̇) =FkϕkXFkzmz̈=– радиальное– трансверсальное– осевоеkнаправленияОбщие теоремы динамики (всего 3!)I.

Теорема об изменении количества движения (импульса) системы.II. Теорема об изменении момента количества движения (момента импульса, кинетического момента) системы точек (тел)а) относительно неподвижного центра;б) относительно центра масс.III. Теорема об изменении кинетической энергии тела или системы тел(в частном случае – закон сохранения полной механической энергии).20I. Теорема об изменении количества движения (импульса) системы точек или тел.−→ X−→edQ=Fkdt−→eF k – только внешние силыk−→VCM−→−→ X→mν −v ν = MV CQ=гдеν– скорость центра масс,– масса тела (системы тел или точек)=⇒ Теорема об движении центра масс системы точек или тел: M−→X−→edV C=FkdtkЗадачи на использование теоремы об изменении количества движения решают проектируя теорему на оси декартовой системы координат. А вытекающую из неё теорему о движении центра масс проектируют также на цилиндрические оси (полярные в плоском случае) или на естественные оси (по отношению к траектории центра масс).−→→→r A+−r B +−rC→rD=Центр масс D треугольника ABC: −3Центр масс D кругового конуса высотой H: zD =H4II.

Теорема об изменении момента количества движения (момента импульса, кинетического момента)тела или системы тел (точек).относительно произвольной точки A пространства−→X−→dLA→→−→= M−vC ×−vA+m A ( F ek )dtk−→−→m A ( F ek ) – моменты внешних сил относительно центра A;−→→v C, −v A – скорости центра масс C и точки A.−а) относительно неподвижной точки A (→v A = 0)б) относительно центра масс C−→X−→dLA−→m A ( F ek )=dt−→X−→dLC−→m C ( F ek )=dt−→−→m A ( F ek ) – моменты внешних сил относительноX неподвижной точки A−→−→→r ν × mν −v ν – для системы точек,LA =νZ−→−→→r ×−v dm – для тела,LA =−→−→m C ( F ek ) – моменты внешних сил относительноцентра масс CX−→−→→LC =ρ ν × mν −v ′ν – для системы точек,νZ−→−→→LC =ρ ×−v ′ dm – для тела,kk(M )X−−→→LA =L An(M )X−−→→LC =L Cn– для системы.n→Радиус-векторы −r проводятся из неподвижной точки A.– для системы.n→→Радиус-векторы −ρ и скорости −v ′ — по отношениюк поступательно движущейся системе координат→→→с началом в центре масс (−v′=−ω ×−ρ для тела)(кенигова система кординат).−→−→−→ −→−→−→Зависимость между L A и L C : L A = L C + AC × Q−→→где Q = M −v C – импульс системы.Для тел, движущихся вокругa) неподвижной точки A−→→L =J −ωAAJ A – тензор (оператор) инерции тела относительно AJC21б) центра масс C−→→L C = JC−ω– тензор (оператор) инерции тела относительно Cв кениговой системе координат.Задачи на применение теоремы об изменении момента импульса (относительно неподвижной точки или центрамасс) решаются в проекциях на оси неизменного направления, проходящие через рассматриваемую точку, т.е.

путем−→получения дифференциальных уравнений на моменты импульса относительно оси: Lz = прz L , являющихся−→компонентами вектора L в данной системе осей:X−→dLzA=mzA ( F ek )dtилиkX−→dLzC=mzC ( F ek )dtkВажно: для определения Lz можно (проще) взять также любую точку на оси z — результат будет одинаковым!Если вращательная часть движения тела (системы тел) происходит вокруг направления (оси) z – мгновенной оси→вращения (вдоль которой направлен вектор угловой скорости, т.е. −ω = (0, 0, ωz )), тогдаLzA = IzA ωzилиLzC = IzC ωzОсевые моменты инерции тела IzA и IzC могут изменяться со временем, если1) мгновенная ось вращения движется (изменяет свое направление);2) изменяется положение тела (системы тел) относительно оси вращения;Если движение тела чисто вращательное вокруг неподвижной оси z (IzA = const) или вокруг оси неизменного направления, проходящей через центр масс (IzC = const), тогда дифференциальные уравнения на моменты импульсаотносительно этой оси переходят вдифференциальные уравнения вращательного движения телаа) относительно неподвижной оси zIzб) относительно оси z, проходящейчерез центр масс CX−→dωz=mzC ( F ek )IzCdtX−→dωz=mz ( F ek )dtkkИз теорем о движении центра масс тела и теоремы об изменении момента импульса относительно оси, проходящейчерез центр тела получаютсяXeM ẍC =Fkxдифференциальные уравненияkXплоского движения телаeFkyM ÿC =X kxC , yC − декартовы координаты центра масс C тела в плоскости;−→IzC ϕ̈ =mzC ( F ek )ϕ − угол поворота тела вокруг оси z, перпендикулярной плоскости движения.kТеорема Гюйгенса-Штейнера (Связь между осевыми моментами инерции тела относительно параллельныхосей l k lC , где ось lC проходит через центр масс тела C)Il = IlC + M d2— M - масса тела, d - расстояние между осями.Осевые моменты инерции важных тел относительно главных центральных осей инерцииТонкий прямолинейный стержень (длины 2l) Iz =Кольцо (радиуса R)M R2,Ix = Iy =2M l23Диск (тонкий)Iz = M R2Ix = Iy =Круглый цилиндр (сплошной) 2RM R2l2Ix = Iy = M, Iz =+43222M R2,4Iz =M R22ШарIx = Iy = Iz =2M R25III.

Теорема об изменении кинетической энергииинтегральная форма(за конечный промежуток времени от t2 до t1 )T2 − T1 =Xkдифференциальная форма(за элементарный промежуток времени dt)X −→−→A( F ik )A( F ek ) +dT =kXk−→−→A( F ek ), A( F ik ) – работа внешних и внутренних силX−→−→δA( F ik )δA( F ek ) +k−→−→δA( F ek ), δA( F ik ) – элементарная работа внешних ивнутренних силВажный случай применения теоремы об изменении кинетической энергии:→e−→X δA(−dTF k ) X δA( F ik )=+dtdtdtkkИз интегральной формы — получается после замены конечного момента времени t2 некоторым текущим (произвольным) t и дальнейшим дифференцированием полученного выражения по t.

В правой части этого выражения вчислителях стоят элементарные работы сил а не дифференциалы, потому что работа сил на элементарном промежутке времени не является дифференциалом.Вариант теоремы об изменении кинетической энергииX−X−→i −→e −dTF k→vkF k→vk+=dtkk−→−→ →−→→где −v k – скорость точки к которой приложена сила F k . Величина F k −v k – называется мощностью силы F k .В основном применяется для систем точек.Кинетическая энергияТеорема Кёнига:T =T′ =1M VC2 + T ′2NX1mν (vν′ )22 ν=1T ′ – кинетическая энергия в кёниговой системе координат, т.е.в поступательно двигающейся системе с началом в центре масс C.Z1(v ′ )2 dm – для тела.– для системы точек,T′ =2(M )−ω:При вращательном движении тела вокруг неподвижной точки A с угловой скоростью →T =1JωA ω 22илиT =1→→(JA −ω )−ω2илиT =→ −1−L A→ω2→JωA – осевой момент инерции относительно мгновенной оси вращения (вдоль −ω ), проходящей через точку A,−→JA – оператор инерции относительно точки A, L A – момент импульса тела относительно точки A.Важно: В качестве неподвижной точки A можно рассматривать мгновенный центр скоростей P.Поэтому для кинетической энергии тела, вместо теоремы Кёнига, можно использовать формулу при1вращательном движении вокруг мгновенного центра скоростей T = IωP ω 22Важно: Для тела кинетическую энергию относительного движения (вращения) вокруг центра масс - T ′1из теоремы Кёнига - можно (проще) определить из формулы T ′ = IωC ω 22Простейшие типы движений тела1Поступательное движение тела: T = M v 2v – скорость любой точки тела.21Iz ω 22Вращательное движение телавокруг неподвижной оси z:T =Плоское движение тела:(из теоремы Кёнига)112M vC+ IzC ω 222T =ω – угловая скорость тела.IzC – осевой момент инерции тела относительно оси,проходящей через центр масс.23Определение работы сил и моментов необходимо осуществлять используя формулы для элементарной работы– аналогично методике, изложенной в принципе возможных перемещений.−→∂ΠЕсли силы (внешние и внутренние) потенциальны F ν = − −и потенциал не зависит от времени,∂→rνXX−→−→δA( F ik ) = −dΠ, и справедливδA( F ek ) +то работа является полным дифференциалом:kkЗакон сохранения полной механической энергии системыE = T + Π = constилиT1 + Π1 = T2 + Π2Требование потенциальности всех сил, для справедливости закона сохранения механической энергии, необязательноДостаточно чтобы потенциальными были силы, работа которых на действительном перемещении системы отличнаот нуля.

Например работа реакций идеальных стационарных связей равна нулю (гладкие поверхности, гибкиенерастяжимые нити, невесомые недеформируемые стержни). Поэтому всегда следует проводить анализ «идеальности» связей (особенно для внутренних сил). И если остальные силы потенциальны и получаемый потенциалсистемы не зависит явно от времени, то для такой системы выполняется закон сохранения механической энергии.Если присутствует трение – никакого потенциала и закона сохранения энергии – не существует.Тогда работу сил ищем через элементарные перемещения и используем теорему об изменении кинетической энергии.Уравнения Лагранжа второго рода∂Td ∂T−= Qσdt ∂ q̇σ∂qσQσ – обобщенная сила (соответствующая обобщ. координате qσ ), T – должна быть в обобщенных координатах.Определяется Qσ через элементарную работу обычных сил и моментов как коэффициент при соответствующихXXX−→−→∂ΠδA( F ek ) +обобщ.

возможных перемещениях:δA( F ik ) =Qσ δqσ а для потенциальных сил Qσ = −∂qσσkkСледует обязательно пробовать использовать уравнения Лагранжа в каждой задаче на динамику.Потому что количество получаемых дифференциальных уравнений минимально (равно числу степеней свободы,т.е. независимых координат), а выводы (например первые интегралы ) можно получить очень быстро.Особенно хорошо применяются уравнения Лагранжа в задачах где достаточно легко выражается кинетическаяэнергия системы через обобщенные координаты (какие-нибудь расстояния, углы) и просто определяются обобщенные силы. Если обобщенные силы найти сложно, выражение кинетической энергии в любом случае пригодится –её можно использовать в теореме об изменении кинетической энергии.Относительное движение тела и точкиФактически это – движение в неинерциальной системе отсчета, связанной с каким-то телом.Следует: к обычным силам (активным и реакциям) добавить «фиктивные» силы инерции (переносные икориолисовы), учитывающие движение системы отсчета - противоположно соответствующим ускорениям( −)→→Je = −m−a e – переносная−→−→−→−→Для точки: a a = a e + a r + a c =⇒силы инерции−→→Jc = −m−a c – кориолисоваДифференциальные уравнения относительного движения точкиX−→−→ −→→m−ar =F k + Je + Jck→−Важный случай Jc = 0:−→→→Jc = −m(2−ωe ×−v r)⇒−→ ωe = 0−→vr=0 −→→ωe k −vr−→Jc = 0 при−Разложение переносного ускорения →a e:−→→→ae =−a eτ + −a en→ц−→вр −−→→ae =−aOe +ae +ae−→ −→−→Je = Jeτ + Jen⇒⇒где– поступательное переносное движение,– относительный покой,– колинеарность векторов.( −→→Jeτ = −m−a eτ−→→Jen = −m−a en→−→−→ −→ −Je = Je O +Je вр +Je цгде– касательная– нормальная −→O−→O Je = −m a e−→вр−−→→Je = −m−ε × OM→ц−−→ −Je = m ω 2 OM24)переносные силы инерции– полюсная– вращательная– центробежная переносныесилы инерцииПриведение сил инерции, действующих на телоПоступательное движение тела: Силы инерции приводятся к равнодействующей, приложенной к центру масс:−→(J)→→R= −M −aгде M – масса тела, −a – ускорение любой точки телаВращение плоской фигуры вокруг перпендикулярной к ней неподвижной оси z:−→→aCСилы инерции приводятся к главному вектору сил инерции V (J) = −M −−→(J)= −Iεzи к главному моменту сил инерции M−→(J)Точка приложения Vи осевой момент инерции I — в точке приведения.На рисунке – точкой приведения сил инерции является точка O на оси вращения.Плоское движение Силы инерции приводятся к главному вектору сил инерции прило−→−→→a C и к главному моменту сил инерции M (J) = −IC εzженному к центру масс V (J) = −M −Общее уравнение динамики (принцип Даламбера-Лагранжа)XkX−→−→δA(Jk ) = 0δA( F k ) +k−→δA( F k ) – элементарная работа активных сил на возможном перемещении системы−→δA(Jk ) – элементарная работа сил инерции на возможном перемещении системыПреимущество – отсутствие реакций идеальных связейИдеальные связи — гладкие поверхности, гибкие нерастяжимые нити, невесомые недеформируемые стержни.Если связи неидеальны (силы трения) – тогда добавляем их к активным силам.Определение работ активных сил и сил инерции, действующих на телоXX−→−→δA( F k )δA(Jk )Поступательное движение тела−→ −F · δ→r−→ X−→FkF =−→(J) −R· δ→r→− (J )−R= −M →a−→−→(J)F – главный вектор системы силR– равнодействующая сил инерции−→−→δ r - возможное перемещение и a - ускорение — любой точки телаВращение вокруг неподвижной оси zMz(J) · δϕMz · δϕX−→Mz =mz ( F k )Mz(J ) = −Iz εz(J)Mz – главный момент системы силMz – главный момент сил инерцииотносительно оси вращения zотносительно оси вращения zδϕ – возможное угловое перемещение тела, εz – угловое ускорение телаIz – осевой момент инерции тела относительно оси вращения zПлоское движение тела−→ −F · δ r→+ MzO · δϕOX−→ X−→−→F =F k , MzO =mzO ( F k )−→(J) −· δϕ+ Mz(J)V C · δ r→CC→− (J )−V C = −M →a C,)Mz(J= −IzC εzC−→F – главный вектор системы сил−→(J)V C – главный вектор сил инерцииMzO - главный момент системы силотносительно оси z, проходящей через полюс O тела,перпендикулярно плоскости движенияδ−r→ - возможное перемещение полюса OMzC – главный момент сил инерцииотносительно оси z, проходящей через центр масс C тела,перпендикулярно плоскости движения−→δ r - возможное перемещение центра масс CO(J)Cδϕ – возможное угловое перемещение тела,25−→a C – ускорение центра масс телаОпределение направлений и величин возможных перемещений(для принципа возможных перемещений и общего уравнения динамики — при определении работ)→Основной метод определения направлений возможных перемещений δ −r а также зависимости их величин от возможного углового перемещения δϕ (а через δϕ и между собой) — при повороте вокруг шарнира O:−→→δ−r A ⊥ OA−−→→δ−r B ⊥ OBδrA = OAδϕδrB = OBδϕ=⇒δrA =OAδrBOBСреди возможных перемещений системы есть и действительное перемещение (определяемое наличием конкретныхсил в данный момент времени и в данном положении), поэтому возможные перемещения всегда направлены каквозможные скорости точек системы.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)