1611689219-34138cb19538412e83350f6586eb365d (826743), страница 7
Текст из файла (страница 7)
, x z.+Φz, xz , . . . , x zi+1Äîêàçàëè øàã èíäóêöèè.  ðåçóëüòàòå, (**) ïðè òàêîé çàìåíå ñòàíåòG 1, z, αz + xz 0 , . . . , Φn z, xz 0 , . . . , xn z (n) = 0,38ýòî ìîæíî ïåðåîáîçíà÷èòüW z, xz 0 , . . . , xn z (n) = 0,ïîëó÷èëè óðàâíåíèå âèäà V.Ïðèìåð. Ðåøèì çàäà÷ó Êîøè 4 00 x y − xyy 0 + 2y 2 − 2x2 y = 0,y(1) = 2, 0y (1) = 4, 5.Ýòî äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå îáîáù¼ííî-îäíîðîäíîå, äåéñòâèòåëüíî,(λx)4 (λα−2 y 00 ) − (λx)(λα y)(λα−1 y 0 ) + 2(λα y)2 − 2(λx)2 (λα y) =λα+2 x4 y 00 − λ2α xyy 0 + λ2α 2y 2 − λα+2 2x2 y = λδ (x4 y 00 − xyy 0 + 2y 2 − 2x2 y)y(x)ïðè λ = 2 è δ = 4.
Çíà÷èò, ïðîäåëàâ çàìåíó z(x) = α , ìû ïîëó÷èì óðàâíåíèå òèïàxV.y(x)Çàìåíà 1. z(x) = x2 ,òîãäày(x) = x2 z(x),y 0 (x) = 2xz(x) + x2 z 0 (x),y 00 (x) = 2z(x) + 4xz 0 (x) + x2 z 00 (x),ïðè ýòîì èç íà÷àëüíûõ äàííûõz(1) =y(1)= 2,12y 0 (x) − 2xz(x) z (1) == y 0 (1) − 2z(1) = 4, 5 − 2 · 2 = 0, 5,2xx=10òîãäà íàøå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ïåðåïèøåòñÿ â âèäåx4 (2z + 4xz 0 + x2 z 00 ) − x(x2 z)(2xz + x2 z 0 ) + 2(x2 z)2 − 2x2 (x2 z) = 0,ïîñëå ïðèâåäåíèÿ ïîäîáíûõ ñëàãàåìûõx2 z 00 + 4xz 0 − z · xz 0 = 0,ó÷èòûâàÿ íà÷àëüíûå óñëîâèÿ, ïîëó÷èì íîâóþ çàäà÷ó Êîøè 2 00 x z + 4xz 0 − z · xz 0 = 0,z(1) = 2, 0z (1) = 0, 5.Ýòî äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå òèïà V, ïðîâåä¼ì çäåñü çàìåíó, ïðèâîäÿùóþ êóðàâíåíèþ âèäà IV.39Çàìåíà 2.
x = et(çäåñü ìû ìîæåì âûáðàòü èç äâóõ çàìåí x = et , åñëè x > 0, è x = −et , åñëè x < 0,ïåðâóþ, ïîñêîëüêó çàäà÷à Êîøè çàäàíà â òî÷êå x = 1, ýòî âõîäèò èìåííî â ñëó÷àéx > 0)òîãäàz(x) = z(et ) = u(t) = u(lnx),è, êàê ìû óæå âûñ÷èòûâàëè,xz 0 = u0 , x2 z 00 = u00 − u0 ,è èç íà÷àëüíûõ äàííûõ2 = z(1) = u(ln1) = u(0),00u (lnx) = xz (x) = 0, 5,x=1x=1à äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ïåðåïèøåòñÿ â âèäå(u00 − u0 ) + 4u0 − u · u0 = 0,ó÷èòûâàÿ íà÷àëüíûå óñëîâèÿ, ïîëó÷èì íîâóþ çàäà÷ó Êîøè 00 u + 3u0 − uu0 = 0,u(0) = 2, 0u (0) = 0, 5.Íîâîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå òèïà IV, îíî íå çàâèñèò â ÿâíîì âèäå îò ïåðåìåííîé t.Çàìåíà 3.
p(u) = u0Êàê ìû óæå âû÷èñëÿëè, u00 = p0 p, à èç íà÷àëüíûõ óñëîâèé p(2) = 0, 5, äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ïåðåïèøåòñÿ â âèäå pp0 + 3p − up = 0, çàäà÷à Êîøè ïîëó÷èòñÿñëåäóþùåé 0pp + 3p − up = 0,p(2) = 0, 5.Ðåøèì å¼. Ïîñêîëüêó p(u) = 0 ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ, íîíå óäîâëåòâîðÿåò íà÷àëüíîìó óñëîâèþ, òî ìîæåì ïîäåëèòü íà p. Ïîëó÷èì p0 = u−3 óðàâíåíèå ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè, åãî îáùåå ðåøåíèåp(u) =u2− 3u + C0 ,2èñïîëüçóÿ íà÷àëüíîå óñëîâèå 0, 5 = 2 − 6 + C0 , C0 = 4, 5, ðåøåíèå çàäà÷è Êîøèu2 − 6u + 9(u − 3)2u2p(u) =− 3u + 4, 5 ==.222Òåïåðü ïðîâîäèì îáðàòíûå çàìåíû.Èç çàìåíû 3(u − 3)2u (t) =.2040Ýòî óðàâíåíèå ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè, ãäå u(t) = 3 ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåìóðàâíåíèÿ, íî íå óäîâëåòâîðÿåò íà÷àëüíûì äàííûì u(0) = 2, u0 (0) = 0, 5, ïîýòîìóìîæíî äåëèòü íà u − 3 :ZZdudt,=2(u − 3)2−1t= + C1 .(u − 3)2Èñïîëüçóÿ íà÷àëüíîå óñëîâèå u(0) = 2, ïîëó÷èìu(t) = 3 −−1(2−3)=0+ C1 , C1 = 1, òîãäà23t + 42=.t+2t+2Èç çàìåíû 2z(x) =3lnx + 4.lnx + 2Èç çàìåíû 13lnx + 4y(x)=.2xlnx + 2Ïîëó÷àåì îòâåò èñõîäíîé çàäà÷è Êîøè:y(x) = x23lnx + 4.lnx + 2ÃËÀÂÀ II.
ÑÈÑÒÅÌÛ ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÛÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉÎáùàÿ òåîðèÿ: Êîðîáêîâ Ì.Â. Ëåêöèè ïî äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì. Ñåìåñòð I. Ñòð. 1622Îáùàÿ òåîðèÿ ëèíåéíûõ ñèñòåì: Êîðîáêîâ Ì.Â. Ëåêöèè ïî äèôôåðåíöèàëüíûìóðàâíåíèÿì. Ñåìåñòð I. Ñòð. 2530Ëèíåéíûå ñèñòåìû ä.ó. ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè Êîðîáêîâ Ì.Â. Ëåêöèèïî äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì. Ñåìåñòð I.
Ñòð. 3739ÃËÀÂÀ III. ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÂÛÑØÈÕ ÏÎÐßÄÊÎÂÓðàâíåíèÿ âûñøèõ ïîðÿäêîâ. Ñâåäåíèå ê ñèñòåìå Êîðîáêîâ Ì.Â. Ëåêöèè ïî äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì. Ñåìåñòð I. Ñòð. 2223Ëèíåéíîå óðàâíåíèå n-ãî ïîðÿäêà: Êîðîáêîâ Ì.Â. Ëåêöèè ïî äèôôåðåíöèàëüíûìóðàâíåíèÿì. Ñåìåñòð I. Ñòð. 3032Ëèíåéíîå óðàâíåíèå n-ãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè Êîðîáêîâ Ì.Â.Ëåêöèè ïî äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì. Ñåìåñòð I. Ñòð.
3437ÃËÀÂÀ IV. ÊÐÀÅÂÛÅ ÇÀÄÀ×ÈÎáùàÿ òåîðèÿ êðàåâûõ çàäà÷: ×åðåñèç Â.Ì. Ëåêöèè ïî äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì. Ñòð. 16Çàäà÷à Øòóðìà-Ëèóâèëëÿ: ×åñðåñèç Â.Ì. Ëåêöèè ïî äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì. Ñòð. 68, 111441.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
