1611689219-34138cb19538412e83350f6586eb365d (826743)
Текст из файла
Ïðîãðàììà êóðñà phys.nsu.ru/ok03/programs.htmlÑïèñîê ëèòåðàòóðû.[1] Êîðîáêîâ Ì.Â. Ëåêöèè ïî äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì. Ñåìåñòð I.[2] Ðîìàíêî Â.Ê. Êóðñ îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé è âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ.[3] Ýëüñãîëüö Ë.Ý. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ è âàðèàöèîííîå èñ÷èñëåíèå.[4] Ïåòðîâñêèé È.Ã. Ëåêöèè ïî òåîðèè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.[5] Ïîíòðÿãèí Ë.Ñ. Îáûêíîâåííûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ.[6] Àðíîëüä Â.È. Îáûêíîâåííûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ.[7] Áàëàêèíà Å.Þ.
Ñèñòåìû ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé: íåìíîãîòåîðèè è ðåøåíèÿ çàäà÷Çàäà÷íèêè[1] Ôèëèïïîâ À.Ô. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì.[2] Ñáîðíèê çàäà÷ ïî äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì è âàðèàöèîííîìó èñ÷èñëåíèþ. Ïîä ðåä. Ðîìàíêî Â.Ê.ÃËÀÂÀ I. ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÏÅÐÂÎÃÎ ÏÎÐßÄÊÀ1. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿÍà÷í¼ì ñ òîãî, ÷òî òàêîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå (ä.ó.).Îïðåäåëåíèå.Îáûêíîâåííûì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì 1-îãî ïîðÿäêà íà-çûâàåòñÿ ñîîòíîøåíèå ñëåäóþùåãî âèäà:G(x, y, y 0 ) = 0,ãäå x íåçàâèñèìàÿ ïåðåìåííàÿ, x ∈ ha, bi, y(x) íåèçâåñòíàÿ ôóíêöèÿ, y 0 =ïåðâàÿ ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè y.Ðàññìàòðèâàåìñëó÷àé, êîãäà x ∈ R, y(x) âåùåñòâåííîçíà÷íàÿ.dydxÎáîçíà÷àåì ÷åðåç ha, bi ïðîìåæóòîê âåùåñòâåííîé ïðÿìîé R, êîãäà íå âàæíî,âêëþ÷åíû ãðàíè÷íûå òî÷êèâ íåãî èëè íåò, ò.å.
ýòî ìîæåò îçíà÷àòü âñå âàðèàíòû:[a, b], (a, b), [a, b), (a, b].Îïðåäåëåíèå.Îáûêíîâåííûì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì n-îãî ïîðÿäêà íà-çûâàåòñÿ ñîîòíîøåíèå ñëåäóþùåãî âèäà:G x, y, y 0 , . . . , y (n) = 0,ãäå x íåçàâèñèìàÿ ïåðåìåííàÿ, x ∈ ha, bi, y(x) íåèçâåñòíàÿ ôóíêöèÿ, y (i) =i-àÿïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè y, i = 1, . . .
, n.di ydxi òåîðèè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé âûäåëÿþò âñåãî äâà òèïà óðàâíåíèé.Ïåðâûå ýòî îáûêíîâåííûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. Ýòî òå, â êîòîðûõ íåèçâåñòíàÿ ôóíêöèÿ y çàâèñèò îò îäíîé ïåðåìåííîé (ó íàñ x ∈ ha, bi ⊂ R) è, ñîîòâåòñòâåííî, ïðèñóòñòâóþò ïîëíûå ïðîèçâîäíûå y 0 , y 00 , y 000 . . . Âòîðûå ýòî óðàâíåíèÿ ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè. Ýòî â ñëó÷àå, êîãäà íåèçâåñòíàÿ ôóíêöèÿ y çàâèñèò1îò íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ x1 , x2 , x3 è ò.ä, à â óðàâíåíèè òîãäà èìåþòñÿ ÷àñòíûåïðîèçâîäíûå ïî ýòèì ïåðåìåííûì. Ïî÷òè âåñü íàø êóðñ ïîñâÿù¼í îáûêíîâåííûìäèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì.Ïðèâåä¼ì íåñêîëüêî ïðîñòåéøèõ ïðèìåðîâ âîçíèêíîâåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõóðàâíåíèé ïðè îïèñàíèè ôèçè÷åñêèõ ïðîöåññîâ.Ïðîöåññ ðàñïàäà ðàäèîàêòèâíîãî âåùåñòâà.
Ïóñòü y(t) êîëè÷åñòâî âåùåñòâà, íåðàñïàâøåãîñÿ ê ìîìåíòó âðåìåíè t. Èçâåñòíî, ÷òî ñêîðîñòü ðàñïàäà ïðàïîðöèîíàëüíà êîëè÷åñòâó âåùåñòâà, ïîýòîìó ïîëó÷àåì çàêîí ïðîöåññà ðàñïàäà:dy= −γy,dtãäå γ êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè, γ = const. Çíàê ìèíóñ â ïðàâîé ÷àñòèñòîèò, ïîñêîëüêó êîëè÷åñòâî âåùåñòâà óìåíüøàåòñÿ.Ïîëó÷èëè äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå 1-îãî ïîðÿäêà. Ðåøåíèå åãî y(t) = Ce−γt ,ãäå C ïðîèçâîëüíàÿ êîíñòàíòà.Óðàâíåíèå êîëåáàíèÿ. Ðàññìîòðèì äâèæåíèå òî÷êè ìàññû m ïî ãîðèçîíòàëüíîé ïðÿìîé ïîä äåéñòâèåì ñèëû óïðóãîñòè ïðóæèíû æ¼ñòêîñòè k .
Îòêëîíåíèå òåëàâ ìîìåíò âðåìåíè t îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ îáîçíà÷èì ÷åðåç x(t), òîãäà â ñèëóâòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà óðàâíåíèå äâèæåíèÿ òî÷êè áóäåò ñëåäóþùèì:mẍ = −kx.Îáû÷íî ýòî óðàâíåíèå çàïèñûâàåòñÿ â âèäåmẍ + kx = 0.Åãî ðåøåíèårx(t) = C1 cos!r !kkt + C2 sint ,mmãäå C1 , C2 ïðîèçâîëüíûå êîíñòàíòû. Âîñïîëüçîâàâøèñü òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìóëîé ñèíóñà ñóììû, ðåøåíèå ìîæíî çàïèñàòü èíà÷å!rkx(t) = A sint+α .mÀìïëèòóäó A è íà÷àëüíóþ ôàçó α ìîæíî îäíîçíà÷íî îïðåäåëèòü èç íà÷àëüíûõ óñëîqkâèé, ò.å. îò ïîëîæåíèÿ è ñêîðîñòè â ìîìåíò t = 0. ×àñòîòà êîëåáàíèé ω =mîïðåäåëÿåòñÿ ìàññîé òåëà è æ¼ñòêîñòüþ ïðóæèíû.{íóæåí ðèñóíîê}Óðàâíåíèå ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà. Ïîä äåéñòâèåì ñèëû òÿæåñòè òî÷êà ìàññû m, ïîäâåøåííàÿ íà íåðàñòÿæèìîé íèòè äëèíû l, äâèæåòñÿ ïî îêðóæíîñòè. Óãîë îòêëîíåíèÿ â ìîìåíò âðåìåíè t îò âåðòèêàëüíîãî ïîëîæåíèÿ ϕ(t).
Ñèëàòÿæåñòè, äåéñòâóþùàÿ íà òåëî, ðàñïàäàåòñÿ íà äâå ñîñòàâëÿþùèå. Ñîñòàâëÿþùàÿ,2íàïðàâëåííàÿ ïî ðàäèóñó, óðàâíîâåøèâàåòñÿ ñèëîé íàòÿæåíèÿ íèòè, ñîñòàâëÿþùàÿïî êàñàòåëüíîé ðàâíà −mg sin ϕ (åñëè çà ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå íà êàñàòåëüíîé ïðèíÿòü íàïðàâëåíèå, ñîîòâåòñòâóþùåå âîçðàñòàíèþ óãëà ϕ). Ïî âòîðîìó çàêîíóÍüþòîíàmẍ = −mg sin ϕ,ãäå x(t) äëèíà äóãè îêðóæíîñòè, ò.å.
x(t) = lϕ(t), òàêèì îáðàçîì ïîëó÷àåìlϕ̈ + g sin ϕ = 0.Ýòî óðàâíåíèå íå èìååò ðåøåíèé â âèäå ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé, íî èõ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû áåñêîíå÷íûõ ðÿäîâ. Åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî óãîë ϕ â ïðîöåññåäâèæåíèÿ ìàë, òî ìîæíî çàìåíèòü sin ϕ íà ϕ, òîãäà óðàâíåíèå ïðèìåò âèä óðàâíåíèÿêîëåáàíèÿ èç ïðåäûäóùåãî ïðèìåðà:lϕ̈ + gϕ = 0.{íóæåí ðèñóíîê}Èòàê, ïåðåéä¼ì ê òåîðèè. íàøåì êóðñå ìû â îñíîâíîì áóäåì èçó÷àòü äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ, ðàçðåø¼ííûå îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîäíîé.Âîçüì¼ì ôóíêöèþ f : D → R, ÷òî îçíà÷àåò âåùåñòâåííîçíà÷íóþ ôóíêöèþ ñ îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ D. Ìíîæåñòâî D äâóìåðíîå, ò.å. D ⊂ R2 . Ðàññìîòðèì óðàâíåíèåâèäày 0 = f (x, y).(1)Ýòî äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ïåðâîãî ïîðÿäêà, ðàçðåø¼ííîå îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííîé.Îïðåäåëåíèå.
Ôóíêöèÿ y : ha, bi → R íàçûâàåòñÿäèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (1), åñëè ïðè ïîäñòàíîâêå ýòîé ôóíêöèè â (1) ïîëó÷èì òîæåñòâî, ò.å.y 0 (x) = f (x, y(x)) äëÿ âñåõ x ∈ ha, bi.ðåøåíèåìÇàìå÷àíèå ê îïðåäåëåíèþ.îäíîìà) Ñðàçó áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ðåøåíèå îïðåäåëåíî íàèíòåðâàëå.
Ýòîóäîáíî áóäåò â äàëüíåéøåì: âî-ïåðâûõ, ðåøåíèÿ íóæíû áóäóò íåïðåðûâíûå, âîâòîðûõ, êîãäà áóäåì èñêàòü ðåøåíèÿ, óäîâëåòâîðÿþùèå íà÷àëüíûì äàííûì, ýòîóñëîâèå ïîçâîëèò íàõîäèòü åäèíñòâåííîå ðåøåíèå.á) Ôóíêöèÿ f äîëæíà áûòü îïðåäåëåíà â òî÷êå (x, y(x)) äëÿ âñåõ x ∈ ha, bi, çíà÷èò,(x, y(x)) äëÿ âñåõ x ∈ ha, bi ïðèíàäëåæèò D îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè f . Èíà÷åãîâîðÿ, ãðàôèê ôóíêöèè y(x) äëÿ x ∈ ha, bi ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó D.â) Äîëæíà ñóùåñòâîâàòü ïðîèçâîäíàÿ y 0 (x) äëÿ âñåõ x ∈ ha, bi, à ñëåäîâàòåëüíî,y ∈ (ha, bi), ò.å. ôóíêöèÿ y(x) íåïðåðûâíà íà ha, bi.C2. Íåïðîäîëæàåìûå ðåøåíèÿ.
Çàäà÷à Êîøè. Òåîðåìà Ïåàíî. ÒåîðåìàÏèêàðà.Ðàññìîòðèì ïðîñòîé ïðèìåðy 0 = y.3Ìîæíî óêàçàòü äâà ðåøåíèÿ: y(x) = ex , x ∈ (−12, 12], è y(x) = ex , x ∈ [−5, 3). Ýòî äâåðàçëè÷íûå ôóíêöèè (ïîñêîëüêó îáëàñòè îïðåäåëåíèé ðàçëè÷íû, íåñìîòðÿ íà òî, ÷òîîíè ñîâïàäàþò íà îáùåì èíòåðâàëå ñóùåñòâîâàíèÿ), çíà÷èò, ýòî äâà ðàçëè÷íûõ ðåøåíèÿ. Èç èõ ïðåäñòàâëåíèÿ âèäíî, ÷òî ïåðâîå êàê áû "ïðîäîëæàåò" âòîðîå. Ìîæíîñôîðìóëèðîâàòü ýòî áîëåå ñòðîãî.Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü ôóíêöèÿ ϕ : ha, bi → R ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ä.ó. (1), ôóíêöèÿ ψ : hc, di → R òàêæå ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ä.ó. (1).
Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ðåøåíèå ϕψ , åñëèà) hc, di ⊂ ha, bi,á) ϕ(x) = ψ(x) äëÿ âñåõ x ∈ hc, di.{íóæåí ðèñóíîê}Òàêèì îáðàçîì ìîæíî îïðåäåëèòü "ñàìîå äëèííîå ðåøåíèå" , òî, êîòîðîå íåëüçÿïðîäîëæèòü íè âëåâî, íè âïðàâî.Îïðåäåëåíèå. Ðåøåíèå ϕ : ha, bi → R ä.ó. (1) , åñëè íå ñóùåñòâóåò íè îäíîãî ïðîäîëæàþùåãî åãî ðåøåíèÿ. äàëüíéøåì ðåøåíèÿ ñðàçó áóäåì ïðåäïîëàãàòü íåïðîäîëæàåìûìè.Ïðèìåð.
Ðàññìîòðèì ä.ó.y.y0 = 2x −yïðîäîëæàåòíåïðîäîëæàåìîåÇäåñü f (x, y) = x2y−y , å¼ îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ D = R2 \ {y = x2 }. Òîãäày(x) = 0, x ∈ R, íå ðåøåíèå, ïîñêîëüêó ïðè x = 0 èìååì y = 0, à â òî÷êå (0, 0)ôóíêöèÿ f íå îïðåäåëåíà;y(x) = 0, x ∈ R \ {0}, íå ðåøåíèå, ïîñêîëüêó îïðåäåëåíî íå íà îäíîì èíòåðâàëå;y(x) = 0, x ∈ (3, 9], ïðîäîëæàåìîå ðåøåíèå;y(x) = 0, x ∈ (0, +∞), íåïðîäîëæàåìîå ðåøåíèå.Âåðí¼ìñÿ ê ä.ó.y 0 = y.Ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ðåøåíèé äàæå ñðåäè íåïðîäîëæàåìûõ.
Ýòî, íàïðèìåð, y(x) = ex , x ∈ R, è y(x) = 2ex , x ∈ R, è, âîîáùå, y(x) = Cex , x ∈ R, ãäå C ïðîèçâîëüíàÿ êîíñòàíòà.{íóæåí ðèñóíîê}Ñðåäè ýòîãî áåñêîíå÷íîãî êîëè÷åñòâà ðåøåíèé ìîæíî âûáðàòü îñîáåííîå, íàïðèìåð òî, êîòîðîå ïðîõîäèò ÷åðåç êîíêðåòíóþ òî÷êó. Çàäà÷à î íàõîæäåíèè òàêîãî ðåøåíèÿ íàçûâàåòñÿ çàäà÷åé Êîøè.Îïðåäåëåíèå. Âîçüì¼ì òî÷êó (x0 , y0 ) ∈ D.äëÿ óðàâíåíèÿ (1) ñíà÷àëüíûì óñëîâèåì y(x0 ) = y0 ýòî çàäà÷à îá îòûñêàíèè ðåøåíèÿ ä.ó. (1), ïðîõîäÿùåãî ÷åðåç òî÷êó (x0 , y0 ): 0y = f (x, y),(ÇÊ(x0 , y0 ))y(x0 ) = y0 .Çàäà÷à ÊîøèÏðèìåð.y 0 = y,y(0) = 3.4Îáùåå ðåøåíèå ä.ó. y(x) = Cex , x ∈ R, ãäå C ïðîèçâîëüíàÿ êîíñòàíòà. Ïîäñòàâèìíà÷àëüíîå óñëîâèå y(0) = 3 â ýòî îáùåå ïðåäñòàâëåíèå: 3 = Ce0 .
Çíà÷èò, C = 3, àðåøåíèå çàäà÷è Êîøè åäèíñòâåííîå: y(x) = 3ex , x ∈ R.Íî êàê ïîêàæóò ïðèìåðû, ó çàäà÷è Êîøè ìîæåò áûòü êàê åäèíñòâåííîå ðåøåíèå,òàê è ñîâñåì íå áûòü ðåøåíèé, ëèáî èõ ìîæåò áûòü áåñêîíå÷íîå êîëè÷åñòâî. Ýòî çàâèñèò îò ñàìîãî ä.ó., à òàêæå îò òîãî, ãäå âûáèðàåì íà÷àëüíóþ òî÷êó.  íåêîòîðûõñëó÷àÿõ èç âèäà ä.ó., íå ðåøàÿ åãî, ìîæíî ñäåëàòü âûâîä î ïðîõîæäåíèè ðåøåíèÿ÷åðåç íà÷àëüíóþ òî÷êó.
 äâóõ òåîðåìàõ, ïðèâåä¼ííûõ íèæå, óêàçûâàþòñÿ óñëîâèÿ,ïðè âûïîëíåíèè êîòîðûõ ñðàçó ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå ðåøåíèÿ, îäíàêî ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî ïðè íàðóøåíèè ýòèõ óñëîâèé íèêàêèõ âûâîäîâ î ðåøåíèè íåëüçÿ ñäåëàòü.Òåîðåìà Ïåàíî.Ïóñòü(ò.å. ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà íà ìíîæåñòâå D), íåïóñòîå îòêðûòîå ìíîæåñòâî,òîãäàäëÿ ëþáîé òî÷êè (x0, y0) ∈ D ñóùåñòâóåò íåïðîäîëæàåìîå ðåøåíèå ÇÊ(x0, y0),âîçìîæíî, íå îäíî,è ëþáîå íåïðîäîëæàåìîå ðåøåíèå ÇÊ(x0, y0) îïðåäåëåíî íà îòêðûòîì èíòåðâàëå.f ∈ C(D)D ⊂ R2Òåîðåìà Ïèêàðà.Ïóñòü, ∂f∂y ∈ C(D) (ò.å. ôóíêöèè f è ∂f∂y íåïðåðûâíà íà ìíîæåñòâå D), íåïóñòîå îòêðûòîå ìíîæåñòâî,òîãäàäëÿ ëþáîé òî÷êè (x0, y0) ∈ D ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå íåïðîäîëæàåìîå ðåøåíèå ÇÊ(x0, y0),è îíî îïðåäåëåíî íà îòêðûòîì èíòåðâàëå (α(x0, y0), ω(x0, y0)).f ∈ C(D)D ⊂ R2Òåîðåìû óòâåðæäàþò, ÷òî åñëè ïðàâàÿ ÷àñòü ä.ó. (1) íåïðåðûâíà â íåêîòîðîìíåïóñòîì îòêðûòîì ìíîæåñòâå D, òî ÷åðåç ëþáóþ òî÷êó ýòîãî ìíîæåñòâà îáÿçàòåëüíî ïðîõîäèò ãðàôèê íåïðîäîëæàåìîãî ðåøåíèÿ ä.ó(1), ïðè÷¼ì, ìîæåò ïðîõîäèòüíåñêîëüêî ãðàôèêîâ ðåøåíèé (òåîðåìà Ïåàíî).
Åñëè, êðîìå ýòîãî, åù¼ è ÷àñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè f ïî ïåðåìåííîé y íåïðåðûâíà â D, òî ÷åðåç ëþáóþ òî÷êó ýòîãîìíîæåñòâà ïðîõîäèò åäèíñòâåííûé ãðàôèê íåïðîäîëæàåìîãî ðåøåíèÿ ä.ó(1) (òåîðåìà Ïèêàðà).Ïðèìåð.  ä.ó.yy0 =xïðàâàÿ ÷àñòü èìååò âèä f (x, y) = xy , êîòîðàÿ íå îïðåäåëåíà íà ïðÿìîé x = 0. ×àñòíàÿïðîèçâîäíàÿ ∂f= x1 òàêæå íå îïðåäåëåíà íà ïðÿìîé x = 0. Ïîýòîìó äëÿ ïðèìåíå∂yíèÿ òåîðåìû Ïèêàðà â êà÷åñòâå ìíîæåñòâà D ìîæíî âçÿòü, íàïðèìåð, ëåâóþ èëèïðàâóþ ïîëóïëîñêîñòü.  ïåðâîì ñëó÷àå èìååì f ∈ C({x < 0}), ∂f∈ C({x < 0}),∂yD = {x < 0} íåïóñòîå îòêðûòîå ìíîæåñòâî. Òîãäà ïî òåîðåìå Ïèêàðà ÷åðåç êàæäóþ òî÷êó ïîëóïëîñêîñòè {x < 0} ïðîõîäèò ãðàôèê åäèíñòâåííîãî íåïðîäîëæàåìîãîðåøåíèÿ.
Ïðî ïðÿìóþ x = 0 ìîæíî ñðàçó ñêàçàòü, ÷òî ÷åðåç íå¼ ðåøåíèÿ íå ïðîõîäÿò,ïîñêîëüêó îíà íå âõîäèò â îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ïðàâîé ÷àñòè f .5Åñëè íàéòè ðåøåíèå â ÿâíîì âèäå, òî ýòî ïîëóïðÿìûå y(x) = Cx, îïðåäåë¼ííûåíà (−∞, 0) èëè (0, +∞). Îòñþäà òîæå âèäíî, ÷òî ÷åðåç êàæäóþ òî÷êó ëåâîé èëèïðàâîé ïîëóïëîñêîñòè ïðîõîäèò ïî îäíîé ïîëóïðÿìîé.Ïðèìåð.  ä.ó.py 0 = 2 |y|pïðàâàÿ ÷àñòü èìååò âèä f (x, y) = 2 |y|, êîòîðàÿ íåïðåðûâíà íà âñ¼ì R2 , à ÷àñòíàÿ= sign(y) √1 íå îïðåäåëåíà íà ïðÿìîé y = 0.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
