1611689219-34138cb19538412e83350f6586eb365d (826743), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî âûïðîèçâîäíàÿ ∂f∂y|y|ïîëíÿåòñÿ òåîðåìà Ïåàíî ñ D = R2 , çíà÷èò, ÷åðåç êàæäóþ òî÷êó ïëîñêîñòè òî÷íîïðîõîäèò ðåøåíèå, íî ïðî åäèíñòâåííîñòü ïîêà íå ÿñíî. Òåïåðü îáðàùàåìñÿ ê òåîðåìåÏèêàðà.  âåðõíåé è íèæíåé ïîëóïëîñêîñòè íå òîëüêî f íåïðåðûâíà, íî è å¼ ÷àñòíàÿïðîèçâîäíàÿ ïî ïåðåìåííîé y íåïðåðûâíà, à çíà÷èò, ÷åðåç êàæäóþ òî÷êó ïëîñêîñòèR2 êðîìå ïðÿìîé y = 0 ïðîõîäèò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå.
Ïðî ñàìó ïðÿìóþ y = 0 èçòåîðåìû Ïèêàðà íèêàêèõ óòâåðæäåíèé ñäåëàòü íåëüçÿ, òàì ìîæåò áûòü ÷òî óãîäíî,íàäî èññëåäîâàòü äðóãèìè ñïîñîáàìè.Âîçüì¼ì êîíêðåòíóþ òî÷êó (0,0). Ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî ÷åðåç íå¼ ïðîõîäÿò ñëåäóþùèå ðåøåíèÿ ðåøåíèÿ:y(x) = 0, x 2∈ R,x , x > 0,y(x) = 0,2x < 0, x , x > 0,0, −3 < x < 0,y(x) =+ 3), −3 6 x, −(x2x , x > 0,y(x) =−x2 , x < 0,òàêèì îáðàçîì ìîæíî ïîñòðîèòü áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ðåøåíèé, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç (0,0),äà è âîîáùå ÷åðåç ëþáóþ òî÷êó íà ïðÿìîé y = 0.Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì ä.ó.y 0 = 0,ãäå â êà÷åñòâå ìíîæåñòâà D âîçüì¼ì çàìêíóòûé êðóã D = {x2 + y 2 6 1}, òîãäàóñëîâèÿ òåîðåì íå âûïîëíÿþòñÿ. ×åðåç òî÷êè (0, 1) è (0, −1) ìíîæåñòâà D íå ïðîõîäèò íè îäíîãî ðåøåíèÿ, ÷åðåç ëþáóþ òî÷êó D\{(0, 1), (0, −1)} ïðîõîäèò ãðàôèêåäèíñòâåííîãî íåïðîäîëæàåìîãî ðåøåíèÿ.3.
Ãåîìåòðè÷åñêàÿ èíòåðïðèòàöèÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ. Èçîêëèíû.Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå ïåðâîãî ïîðÿäêà, ðàçðåø¼ííîå îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîäíîé:y 0 = f (x, y), f : D → R.(1)∈ C(D), D Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ òåîðåìû Ïèêàðà: f, ∂f∂yîòêðûòîå íåïóñòîå.Âîçüì¼ì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó (x0 , y0 ) ∈ D.
×åðåç íå¼ îáÿçàòåëüíî ïðîéä¼ò ãðàôèêíåêîòîðîãî ðåøåíèÿ y(x), ïðè ýòîì y 0 (x0 ) = f (x0 , y0 ). Èç êóðñà ìàòåìàòè÷åñêîãî6àíàëèçà èçâåñòíî, ÷òî óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ê y(x) â òî÷êå (x0 , y0 ) åñòü y = y0 +y 0 (x0 )(x − x0 ). Òàíãåíñ óãëà α(x0 ,y0 ) , îáðàçîâàííîãî êàñàòåëüíîé è îñüþ ÎÕ, ðàâåíçíà÷åíèþ ïðîèçâîäíîé â òî÷êå x0 : tgα(x0 ,y0 ) = y 0 (x0 ).
Òàêèì îáðàçîì, â êàæäîé òî÷êå(x0 , y0 ) ìíîæåñòâà D ìîæíî íàïèñàòü óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ê ãðàôèêó ðåøåíèÿ ä.ó.,ïðîõîæÿùåãî ÷åðåç ýòó òî÷êó, ïîëüçóÿòü òîëüêî äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì:y = y0 + f (x0 , y0 )(x − x0 ). Åñëè òåïåðü â êàæäîé òî÷êå D îïðåäåëèòü êàñàòåëüíûå êãðàôèêàì ðåøåíèé, òî ìîæíî îòîáðàçèòü è ñàìè ãðàôèêè ðåøåíèé.Îïðåäåëåíèå. Êàæäîé òî÷êå (x, y) ∈ D ñîïîñòàâèì ïðÿìóþ, óãîë íàêëîíà êîòîðîé α(x,y) , ò.÷.
tgα(x,y) = f (x, y). Ýòî ìíîæåñòâî ïðÿìûõ íàçîâ¼ìy 0 = f (x, y).Ïîëó÷àåì èç îïðåäåëåíèÿ, ÷òî êàñàòåëüíûå ê ãðàôèêó ðåøåíèÿ ä.ó. (1) ñîâïàäàþòñ ïîëåì íàïðàâëåíèé.Îïðåäåëåíèå. Ãðàôèê ðåøåíèÿ ä.ó. íàçûâàþò òàêæå.Îïðåäåëåíèå.k ìíîæåñòâî òî÷åê, â êîòîðûõ ïîëå íàïðàâëåíèéèìååò îäèíàêîâûé íàêëîí α, ãäå tgα = k , ò.å. "èçîêëèíà k "= {(x, y) ∈ D : f (x, y) = k}.{íóæåí ðèñóíîê}Ïðèìåð. Ïîñòðîèì êàðòèíó ðåøåíèé ä.ó.ïîëåì íàïðàâëåíèéä.ó.èíòåãðàëüíîé êðèâîéÈçîêëèíày 0 = x + y."Èçîêëèíà 0": íà ìíîæåñòâå x + y = 0 êàñàòåëüíûå èìåþò tgα = 0, ò.å.
íà ïðÿìîéy = −x êàñàòåëüíûå ê ðåøåíèþ îáðàçóþò óãîë α = 0 ñ îñüþ ÎÕ."Èçîêëèíà 1": íà ìíîæåñòâå x + y = 1 êàñàòåëüíûå èìåþò tgα = 1, ò.å. íà ïðÿìîéy = 1 − x êàñàòåëüíûå ê ðåøåíèþ îáðàçóþò óãîë α = π4 ñ îñüþ ÎÕ."Èçîêëèíà -1": íà ìíîæåñòâå x + y = −1 êàñàòåëüíûå èìåþò tgα = −1, ò.å. íàïðÿìîé y = −1 − x êàñàòåëüíûå ê ðåøåíèþ îáðàçóþò óãîë α = − π4 ñ îñüþ ÎÕ."Èçîêëèíà 2": íà ìíîæåñòâå x + y = 2 êàñàòåëüíûå èìåþò tgα = 2, ò.å.
íà ïðÿìîéy = 2 − x êàñàòåëüíûå ê ðåøåíèþ îáðàçóþò óãîë α = arctg2 ñ îñüþ ÎÕ."Èçîêëèíà -2": íà ìíîæåñòâå x + y = −2 êàñàòåëüíûå èìåþò tgα = −2, ò.å. íàïðÿìîé y = −2 − x êàñàòåëüíûå ê ðåøåíèþ îáðàçóþò óãîë α = −arctg2 ñ îñüþ ÎÕ.Ìîæíî åù¼ áîëüøå èçîêëèí èçîáðàçèòü, íî çäåñü óæå ïðèìåðíî ïîíÿòíà ñèòóàöèÿ: ÷åì âûøå ïðÿìàÿ, òåì íàêëîí êðó÷å ñî çíàêîì "+" , ÷åì íèæå, òåì êðó÷å ñîçíàêîì "−".Äàëåå âñïîìíèì ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç è ïîéì¼ì, ãäå îáëàñòè âîçðàñòàíèÿ èóáûâàíèÿ ðåøåíèé è îáëàñòè âûïóêëîñòè ââåðõ è âíèç.Íàì èçâåñòíî, ÷òî ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò â òî÷êàõ, ãäå å¼ ïðîèçâîäíàÿ ïîëîæèòåëüíà. Èç ä.ó. ñðàçó ïîíÿòíî, ÷òî y 0 > 0 äëÿ x + y > 0, y 0 < 0 äëÿ x + y < 0.Ôóíêöèÿ âûïóêëà âíèç â òî÷êàõ, ãäå å¼ âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ ïîëîæèòåëüíà.
Âíàøåì ñëó÷àå y 00 = (x + y)0 = 1 + y 0 = 1 + x + y. Çíà÷èò, â òî÷êàõ x + y + 1 < 0 èìååìy 00 < 0 è ðåøåíèÿ âûïóêëû âíèç, â òî÷êàõ x + y + 1 > 0 èìååì y 00 > 0 è ðåøåíèÿâûïóêëû ââåðõ. Ïðÿìàÿ y = −1 − x ÿâëÿåòñÿ ëèíèåé ïåðåãèáà.Òåïåðü, ó÷èòûâàÿ ýòè çíàíèÿ, ìîæíî íàðèñîâàòü êàðòèíó ðåøåíèé.Íåïîñðåäñòâåííîé ïîäñòàíîâêîé ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî ïðÿìàÿ y = −1 − x ÿâëÿåòñÿêî âñåìó ïðî÷åìó åù¼ è ðåøåíèåì ä.ó. Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî âûäåëèòü òðè òèïàðåøåíèé. Ó ïåðâîãî ãðàôèê íàõîäèòñÿ ïîä ïðÿìîé y = −1 − x, ýòî âûïóêëûå ââåðõ7óáûâàþùèå ôóíêöèè. Âòîðîé òèï ñàìà ïðÿìàÿ y = −1 − x.
Òðåòèé íàõîäèòñÿ íàäïðÿìîé y = −1−x è èìååò îäèí ìèíèìóì. Ïîñêîëüêó âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ òåîðåìûÏèêàðà âî âñåé ïëîñêîñòè R2 , òî ÷åðåç êàæäóþ òî÷êó ïëîñêîñòè ïðîõîäèò ãðàôèêòîëüêî îäíîãî ðåøåíèÿ, çíà÷èò, ðåøåíèÿ ýòèõ òð¼õ òèïîâ íå ïåðåñåêàþòñÿ, ðåøåíèÿïåðâîãî è è òðåòüåãî òèïîâ ñòðåìÿòñÿ ê ïðÿìîé y = −1 − x ïðè x → −∞, íî íåêàñàþòñÿ å¼.{íóæåí ðèñóíîê}4. Óðàâíåíèÿ ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè.À. Ðàññìîòðèì ä.ó. âèäày 0 = h(x)g(y),îíî íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè. Áóäåì ïðåäïîëàãàòü,÷òî ôóíêöèÿ h ∈ C((a, b)) çíàêîïîñòîÿííà, g ∈ C((c, d)).Êàê îáû÷íî, äëÿ ðåøåíèÿ òàêèõ óðàâíåíèé âñ¼ ñ ôóíêöèåé y ïåðåíîñÿò â ëåâóþ÷àñòü, ñ x îñòàâëÿþò ñïðàâà, ò.å. íàäî ïîäåëèòü íà g(y), íî ïåðåä ýòèì óáåäèòüñÿ, ÷òîíå ïðîèñõîäèò äåëåíèÿ íà íóëü.1. Åñëè ñóùåñòâóåò ÷èñëî y ∗ òàêîå, ÷òî g(y ∗ ) = 0, òî y(x) = y ∗ , x ∈ (a, b) ðåøåíèå.2. Ïóñòü äëÿ y ∈ (c, y ∗ ) ∪ (y ∗ , d) ôóíêöèÿ g íå îáðàùàåòñÿ â íóëü, ò.å.
çíàêîïîñòîÿííà, òîãäà ìîæåì ä.ó. ðàçäåëèòü íà g(y):y 0 (x)= h(x).g(y(x))Ïðîèíòåãðèðóåì ïîëó÷åííîå ðàâåíñòâî ïî x â ïðåäåëàõ îò x0 ∈ (a, b) äî x ∈ (a, b),ïðè ýòîì ïåðåìåííóþ èíòåãðèðîâàíèÿ îáîçíà÷èì ÷åðåç ξ :Zxy 0 (ξ)dξ =g(y(ξ))x0Zxh(ξ)dξ.x0 èíòåãðàëå ñëåâà ñäåëàåì çàìåíó η = y(ξ), òîãäà ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ x0 è xçàìåíÿòñÿ íà y(x0 ) è y(x), äèôôåðåíöèàë dη = y 0 (ξ)dξ :Zy(x)dη=g(η)Zxh(ξ)dξ.x0y(x0 )Ïîëó÷èëè ðåøåíèå, çàäàííîå â íåÿâíîì âèäå, èíòåãðàëû ìîãóò áðàòüñÿ, à ìîãóò èíåò. Îäíàêî ìîæåì òî÷íî ñêàçàòü, ÷òî èç íåÿâíîãî âèäà ôóíêöèÿ y(x) âûðàæàåòy(x)R dηRxñÿ.
Òàê, åñëè îáîçíà÷èì G(y) =èH(x)=h(ξ)dξ , òî ðåøåíèå óðàâíåíèÿ:g(η)x0y(x0 )G(y(x)) = H(x). Èç ââåä¼ííûõ îãðàíè÷åíèé, ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå çíàêîïîñòîÿííî, çíà÷èò, ôóíêöèÿ G ìîíîòîííà îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííîé y , ñóùåñòâóåòîáðàòíàÿ ê íåé, è òîãäà y(x) = G−1 (H(x)) ðåøåíèå âûðàæàåòñÿ ÿâíî.8Ïðèìåð. Ðåøèì óðàâíåíèåy 0 = yx + x.Ýòî óðàâíåíèå ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ íåðåìåííûìè: yx + x = x(y + 1) = h(x)g(y). Ôóíêöèÿ h(x) = x íåïðåðûâíà äëÿ ëþáîãî x, çíàêîïîñòîÿííà â ëåâîé ëèáî ïðàâîé ïîëóïëîñêîñòè, áóäåì ðàññìàòðèâàòü, íàïðèìåð, x > 0. Ôóíêöèÿ g(y) = y + 1 íåïðåðûâíàäëÿ ëþáîãî y .1.
Ïðè y = −1 g(y) = 0, çíà÷èò, y(x) = −1, x > 0 ðåøåíèå.2. Äëÿ y 6= −1y0= x,y+1Zy(x)dη=η+1Zxξdξ,x0y(x0 )ln |y(x)| − ln |y(x0 )| =Îáîçíà÷èì C0 = ln |y(x0 )| −x20,2x2 x20− .22C0 ∈ R:ln |y(x)| = C0 +x2,2x2x2|y(x)| = eC0 e 2 = C1 e 2 , C1 > 0,x2x2y(x) = ±C1 e 2 = C2 e 2 , C2 ∈ R\{0}.Ó÷èòûâàÿ, ÷òî y(x) = −1, x > 0, òîæå ðåøåíèå, òî, îáúåäèíÿÿ îáà ñëó÷àÿ, ïîëó÷àåìðåøåíèåx2y(x) = Ce 2 , C ∈ R, x > 0.Ïðîäåëûâàÿ òî æå ñàìîå äëÿ ëåâîé ïîëóïëîñêîñòè, ïîëó÷èì òî÷íî òàêîå æå âûðàæåíèå. À ïî òåîðåìå Ïèêàðà ÷åðåç òî÷êè ïðÿìîé {x = 0} òîæå ïðîõîäÿò òåøåíèÿ.Ïîëó÷àåì íåïðîäîëæàåìûå ðåøåíèÿx2y(x) = Ce 2 , C ∈ R, x ∈ R.Á.
Ñëåäóþùåå óðàâíåíèåy 0 = φ(αx + βy + γ)çàìåíîé z(x) = αx+βy(x)+γ ñâîäèòñÿ ê óðàâíåíèþ ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè.Äåéñòâèòåëüíî, ïîñêîëüêóz 0 (x) = α + βy 0 (x) = α + βφ(αx + βy(x) + γ) = α + βφ(z(x)),òî ä.ó. íà ôóíêöèþ z :z 0 = α + βφ(z).9Ïðèìåð.Ðåøèì óðàâíåíèåy 0 = y + x.Çàìåíà z(x) = y(x) + x ñâîäèò óðàâíåíèå êz 0 = z + 1.1.
Ïðè z = −1 ïðàâàÿ ÷àñòü îáðàùàåòñÿ â íóëü, çíà÷èò, z(x) = −1, x ∈ R ðåøåíèå.2. Ïóñòü z 6= −1, òîãäàz0= x,z+1Zz(x)dη=η+1Zxdξ,x0z(x0 )ln |z(x) + 1| − ln |z(x0 ) + 1| = x − x0 ,z(x) + 1 = C0 ex , C0 ∈ R\{0}, x ∈ R.Îáúåäèíÿÿ îáà ñëó÷àÿ, ïîëó÷àåì îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ íà z :z(x) = −1 + Cex , C ∈ R, x ∈ R.Ïåðåõîäÿ îáðàòíî ê y , çàïèøåì îáùåå ðåøåíèå ïåðâîíà÷àëüíîãî ä.ó.:y(x) = −1 − x + Cex , C ∈ R, x ∈ R.Â. Óðàâíåíèåy 0 = f (x, y)íàçûâàåòñÿ îäíîðîäíûì óðàâíåíèåì, åñëè ôóíêöèÿ f îäíîðîäíàÿ ñòåïåíè 0, ò.å.
äëÿïðîèçâîëüíîãî íåíóëåâîãî λ âåðíî f (λx, λy) = f (x, y). Åñëè â êà÷åñòâå λ ïîäñòàâèòü1, òî ïîëó÷èì f (1, xy ) = f (x, y), çíà÷èò, â îäíîðîäíîé ôóíöèè àðãóìåíòû x è y âõîäÿòxñðàçó îòíîøåíèåì. Ïîýòîìó ìîæåì ââåñòè ôóíêöèþ ψ : ψ( xy ) = f (1, xy ) = f (x, y), èòîãäà îäíîðîäíîå óðàâíåíèå ìîæíî çàïèñàòü â âèäåyy0 = ψ.xÄëÿ åãî ðåøåíèÿ ñäåëàåì çàìåíó z(x) =ïðîèçâåäåíèå â ä.ó., ïîëó÷èìy(x),xòîãäà y(x) = xz(x) è, ïîäñòàâèâ ýòîz(x) + xz 0 (x) = ψ(z(x)).Ðàçðåøàåì åãî îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîäíîé:z0 =ψ(z) − z,x10è ïîëó÷àåì óðàâíåíèå ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
