1611689219-34138cb19538412e83350f6586eb365d (826743), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Çàïîìíèì, ÷òî w(x) = 0 ðåøåíèå,è äëÿ w 6= 0 ïîäåëèì ä.ó. íà w2 :w01= x + 1,2ww 011= x + 1.−ww1Òåïåðü äåëàåì âòîðóþ çàìåíó z(x) =, óðàâíåíèå ñòàíåòw(x)z 0 = −xz − 1.Ýòî ëèíåéíîå íåîäíîðîäíîå óðàâíåíèå. Îáùåå ðåøåíèå îäíîðîäíîãîz 0 = −xzx2x2åñòü zîî (x) = Ce− 2 , C ∈ R. ×àñòíîå ðåøåíèå èùåì â âèäå z÷àñò (x) = u(x)e− 2 .Ïîäñòàâëÿåì åãî â íåîäíîðîäíîå óðàâíåíèå z 0 = −xz − 1:x2x22u0 e− 2 − xue−x = −xue− 2 − 1,x2u0 = −e 2 ,Zx 2ξ0u = − e 2 dξ + u0 .0Ìîæíî âçÿòü u0 = 0, è îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ z 0 = −xz − 1 èìååò âèäZx 2Zx 2222ξξxxxz(x) = Ce− 2 − e 2 dξ · e− 2 = e− 2 C − e 2 dξ  .00Ïðîäåëàâ îáðàòíóþ çàìåíó w = z1 , ïîëó÷àåì îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ w0 = xw + w2 :x2e2 w(x) =Rx ξ2 ,C − e 2 dξ0w(x) = 0.17È ïîñëåäíÿÿ çàìåíà y = w + x äàñò ðåøåíèå èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ Ðèêêàòè y 0 =−xy + y 2 + 1:x2e2 y(x) = x +Rx ξ2 ,e 2 dξC−0y(x) = x.Ñòîèò çàìåòèòü, ÷òî ðåøåíèå y(x) = x íå ïîëó÷àåòñÿ èç ïåðâîãî ñåìåéñòâà íè äëÿêàêèõ êîíñòàíò C ∈ R.Ÿ7.

Óðàâíåíèÿ â ñèììåòðè÷íîé ôîðìåÈíîãäà äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ çàïèñûâàþò â äèôôåðåíöèàëüíîé ôîðìå:P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0.(4)Ýòà çàïèñü âêëþ÷àåò â ñåáÿ äâà óðàâíåíèÿ:P (x,y), íåèçâåñòíàÿ ôóíêöèÿâ ñëó÷àå, êîãäà Q(x, y) 6= 0, ìîæåì âûðàçèòü y 0 = − Q(x,y)y = y(x);â ñëó÷àå, êîãäà P (x, y) 6= 0, ìîæåì âûðàçèòü x0 = − Q(x,y), íåèçâåñòíàÿ ôóíêöèÿP (x,y)x = x(y).Ïðèìåð. Ðåøèì óðàâíåíèåxydx + (x + 1)dy = 0.Çäåñü P (x, y) = xy , Q(x, y) = x + 1.Äëÿ x 6= −1 èìååì óðàâíåíèå íà y :y0 = −xy.x+1Ýòî óðàâíåíèå ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè. Ðåøåíèå y ≡ 0 çàïîìèíàåì è ðàçäåëÿåì ïåðåìåííûå:ZZdyxdx=−,yx+1ln|y(x)| = ln|x + 1| − x + C0 , C0 ∈ R,y(x) = C1 (x + 1)e−x , C1 ∈ R\{0}.Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ, ðàçðåø¼ííîãî îòíîñèòåëüíî y 0 : y(x) = C(x + 1)e−x , C ∈ R.Äëÿ x 6= 0 è y 6= 0 èìååì óðàâíåíèå íà x:x0 = −x+1.xyÝòî îïÿòü óðàâíåíèå ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè.

Ðåøåíèå x = −1 çàïîìèíàåì è ðàçäåëÿåì ïåðåìåííûå:ZZxdxdy−=,x+1y18(x(y) + 1)e−x(y) = C1 y, C1 ∈ R\{0}. Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ, ðàçðåø¼ííîãî îòíîñèòåëüíîx0 çàäà¼òñÿ íåÿâíî:(x(y) + 1)e−x(y) = Cy, C ∈ R.Âèäíî, ÷òî â ïåðâîå ñåìåéñòâî ðåøåíèé íå âõîäèò x = −1, ïîñêîëüêó ýòî íå ôóíöèÿ îò x, à âî âòîðîå ñåìåéñòâî ðåøåíèé íå âõîäèò y = 0, ïîñêîëüêó ýòî íå ôóíêöèÿîò y . Ðåøåíèå èçíà÷àëüíîãî óðàâíåíèÿ â ñèììåòðè÷íîé ôîðìå äîëæíî âêëþ÷àòü âñåðåøåíèÿ îáîèõ ýòèõ óðàâíåíèé, çíà÷èò, îòâåò çäåñü(x + 1)e−x = Cy, C ∈ R,y = 0,ëèáî â äðóãîé çàïèñèy = C(x + 1)e−x , C ∈ R,x = −1.Ÿ8. Óðàâíåíèå â ïîëíûõ äèôôåðåíöèàëàõÊðîìå âûäåëåíèÿ â óðàâíåíèè â ñèììåòðè÷íîé ôîðìå äâóõ óðàâíåíèé ðàçðåø¼ííûõ îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîäíûõ, ðåøàòü åãî ìîæíî è äðóãèìè ñïîñîáàìè.Ïóñòü â óðàâíåíèèP (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0(4)ôóíêöèè P (x, y) è Q(x, y) ãëàäêèå (P, Q ∈ C 1 (D), ò.å. îíè ñàìè íåïðåðûâíû è íåïðåðûâíû âñå èõ ïåðâûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå).Îïðåäåëåíèå.

Óðàâíåíèå (4) , åñëè ñóùåñòâóåò ôóíêöèÿ u(x, y) êëàññà C 2 (u ∈ C 2 , ò.å. íåïðåðûâíà ôóíêöèÿ, âñå å¼ ïåðâûå∂u(x, y)∂u(x, y)= P (x, y),= Q(x, y).è âòîðûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå) òàêàÿ, ÷òî∂x∂yÅñëè (4) âïîëíûõ äèôôåðåíöèàëàõ, òî åãî ìîæíî çàïèñàòü â âèäåóðàâíåíèå â ïîëíûõ äèôôåðåíöèàëàõ∂u(x, y)∂u(x, y)dx +dy = 0∂x∂yè ñâåðíóòü çäåñü ïîëíûé äèôôåðåíöèàëdu(x, y) = 0.Òàêèì îáðàçîì, u(x, y) = C åñòü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ, âîçìîæíî, ðåøåíèå â íåÿâíîìâèäå, C êîíñòàíòà.Îïðåäåëåíèå. Ôóíêöèÿ u íàçûâàåòñÿ,èëèóðàâíåíèÿ (4).∂P (x,y)Ëåììà 1.=∂yèíòåãðàëîì∂Q(x,y)∂x.ïîòåíöèàëîì èíòåãðàëîìïåðâûìÏóñòü (4) óðàâíåíèå â ïîëíûõ äèôôåðåíöèàëàõ, òîãäàÄîêàçàòåëüñòâî.

Óðàâíåíèå (4) â ïîëíûõ äèôôåðåíöèàëàõ, òîãäà ñóùåñòâóåò u ∈C òàêàÿ, ÷òî∂u(x, y)= P (x, y),∂x∂u(x, y)= Q(x, y).∂y219Ïðîäèôôåðåíöèðóåì ïåðâîå ðàâåíñòâî ïî y , à âòîðîå ïî x: 2∂ u(x, y)P (x, y)=,∂y∂x∂y∂ 2 u(x, y)Q(x, y)=.∂x∂y∂xÏîñêîëüêó u ∈ C 2 , òî å¼ ñìåøàííûå ïðîèçâîäíûå ðàâíû:P (x, y)Q(x, y)=.∂y∂x×ÒÄÓòâåðæäåíèå â îáðàòíóþ ñòîðîíó òîæå èìååòñÿ, íî íàäî íàêëàäûâàòü óñëîâèÿ íàìíîæåñòâî D, ãäå âñ¼ ïðîèñõîäèò.Îïðåäåëåíèå.

Òî÷êà (x∗ , y∗ ) ∈ D íàçûâàåòñÿ, åñëè P (x∗ , y∗ ) = Q(x∗ , y∗ ) =0.Îïðåäåëåíèå. Ìíîæåñòâî D íàçûâàåòñÿ, åñëè ëþáàÿ çàìêíóòàÿêðèâàÿ â í¼ì ñòÿãèâàåòñÿ â òî÷êó â D.Ëåììà 2.D∂Q(x, y)∂P (x, y)=(x, y) ∈ D∂y∂xîñîáîéîäíîñâÿçíûìÏóñòü îäíîñâÿçíîå ìíîæåñòâî, íå ñîäåðæàùåå îñîáûõ òî÷åê,äëÿ, òîãäà óðàâíåíèå (4) óðàâíåíèå â ïîëíûõèäèôôåðåíöèàëàõ.Ïðèìåð. Ðåøèì óðàâíåíèå â ñèììåòðè÷íîé ôîðìå1y− 2y xdx +x1−+ 2y dy = 0.x y2Çäåñü P (x, y) = y1 − xy2 , Q(x, y) = x1 − yx2 + 2y , îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ýòèõ ôóíêöèéD = R2 \ {{x = 0} ∪ {y = 0}}. Íàéä¼ì îñîáûå òî÷êè: x = 0, x=y, y = 0, 1y−=0,P (x, y) = 0,x = −i,yx2 2y = 0,x1x=−y,−+2y=0,Q(x, y) = 0,xy2 y = i,2+ 2y = 0, x = i,yy = −i.Ýòè òðè òî÷êè íå ïðèíàäëåæàò ìíîæåñòâó D = R2 \ {{x = 0} ∪ {y = 0}}.

Âûáåðåìòåïåðü â D îäíîñâÿçíîå ìíîæåñòâî. Ýòî ìîæåò áûòü ëþáàÿ èç ÷åòâåðòåé, íàïðèìåð,ïåðâàÿ.Èòàê, ìíîæåñòâî {x > 0, y > 0} îäíîñâÿçíîå, íå ñîäåðæèò îñîáûõ òî÷åê, è â í¼ìP (x, y)11= − 2 − 2,∂yyxQ(x,y)11= − 2 − 2,∂xyx20çíà÷èò, ïî ëåììå 2, ñóùåñòâóåò ôóíêöèÿ u ∈ C 2 òàêàÿ, ÷òîu(x, y)1y= − 2,∂xy x1xu(x,y)= − 2 + 2y,∂yx yÏðîèíòåãðèðóåì ïåðâîå óðàâíåíèå ýòîé ñèñòåìû ïî x:u(x, y) =x y+ + u0 (y).y xÇàìåòèì, ÷òî "êîíñòàíòà" èíòåãðèðîâàíèÿ ìîæåò çàâèñèòü îò y . Òåïåðü îò ïîëó÷åííîãî âûðàæåíèÿ âîçüì¼ì ÷àñòíóþ ïðîèçâîäíóþ ïî y :u(x, y)x1= − 2 + + u00 (y).∂yyxÑðàâíèì ýòî âûðàæåíèå ñî âòîðûì óðàâíåíèåì ñèñòåìû.

Ïîëó÷àåòñÿ, ÷òîu00 (y) = 2y,u0 (y) = y 2 + u1 .Çäåñü u1 êîíñòàíòà, íå çàâèñÿùàÿ íè îò x, íè îò y .  ðåçóëüòàòå,u(x, y) =x y+ + y 2 + u1 ,y xà ðåøåíèå óðàâíåíèÿ çàïèñûâàåòñÿ â íåÿâíîì âèäå:x y+ + y 2 = C.y xŸ9. Èíòåãðèðóþùèé ìíîæèòåëü ñëó÷àå, åñëè óðàâíåíèå (4) íå â ïîëíûõ äèôôåðåíöèàëàõ, ò.å.∂P (x, y)∂Q(x, y)6=,∂y∂xåãî ìîæíî ïîïûòàòüñÿ ñäåëàòü òàêîâûì, äîìíîæèâ íà íåêîòîðóþ íåíóëåâóþ ãëàäêóþôóíêöèþ µ(x, y).

Ò.å. èùåì íåíóëåâóþ ôóíêöèþ µ òàêóþ, ÷òîáû óðàâíåíèåµ(x, y)P (x, y)dx + µ(x, y)Q(x, y)dy = 0ñòàëî óðàâíåíèåì â ïîëíûõ äèôôåðåíöèàëàõ:∂ µ(x, y)P (x, y)∂ µ(x, y)Q(x, y)=.∂y∂x21Ðàñêðûâ ïðîèçâîäíûå ïîëó÷àåì óðàâíåíèå c ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè:µy P + µPy = µx Q + µQx .Ðåøàòü òàêèå óðàâíåíèÿ ìû ïîêà íå óìååì, íà äàííîì ýòàïå ìîæåì òîëüêî ïûòàòüñÿóãàäàòü åãî ðåøåíèÿ.Îïðåäåëåíèå. Òàêàÿ ôóíêöèÿ µ íàçûâàåòñÿ.Òåîðåìà.(x0 , y0 )DeeD D ⊂ Dµµ ∈ C2µ(x, y)P (x, y)dx+µ(x, y)Q(x, y)dy =0Ïðèìåð. Ðåøèì óðàâíåíèå â ñèììåòðè÷íîé ôîðìåèíòåãðèðóþùèì ìíîæèòåëåìÅñëè òî÷êàèç ìíîæåñòâà íåîñîáàÿ, òî ñóùåñòâóåò å¼îêðåñòíîñòü ,, â êîòîðîé ñóùåñòâóåò èíòåãðèðóþùèé ìíîæèòåëü ,ò.å. ñóùåñòâóåò, äëÿ êîòîðîãî óðàâíåíèåâ ïîëíûõ äèôôåðåíöèàëàõ.2xydx + (y 2 − x2 )dy = 0.Çäåñü Py (x, y) = 2x, Qx (x, y) = −2x, è ýòî óðàâíåíèå íå â ïîëíûõ äèôôåðåíöèàëàõ.Áóäåì èñêàòü íåíóëåâóþ ôóíêöèþ µ, äëÿ êîòîðîé óðàâíåíèåµ(x, y)2xydx + µ(x, y)(y 2 − x2 )dy = 0â ïîëíûõ äèôôåðåíöèàëàõ, ò.å.∂ µ(x, y)2xy∂y∂22µ(x, y)(y − x )=∂x.2xyµy + 2xµ = µx (y 2 − x2 ) − 2xµ,2xyµy + 4xµ = µx (y 2 − x2 ).Ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî åñëè áóäåì èñêàòü ôóíêöèþ µ, çàâèñÿùóþ òîëüêî îò y , òîóðàâíåíèå óïðîñòèòñÿ2xyµy + 4xµ = 0,yµy = −2µ,dµ2µ=− ,dyyè ñòàíåò îáûêíîâåííûì äèôôåðåíöèàëüíûì ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè.

ÅãîCðåøåíèÿ µ(y) = 2 . Ïîñêîëüêó íàì äîñòàòî÷íî îäíîãî èíòåãðèðóþùåãî ìíîæèòåëÿ,y1òî âîçüì¼ì, íàïðèìåð, µ(y) = 2 . Äîìíîæèì íà íåãî èñõîäíîå óðàâíåíèå:y2xx2dx + 1 − 2 dy = 0.yy222x ∂∂ 2x= − 2,Çäåñü∂y yy ∂xöèàëàõ, çíà÷èò,x22x1 − 2 = − 2 , ïîëó÷èëè óðàâíåíèå â ïîëíûõ äèôôåðåíyy2x∂u(x, y)=,∂xy∂u(x, y)x2= 1 − 2,∂yyÏðîèíòåãðèðóåì ïåðâîå óðàâíåíèå ýòîé ñèñòåìû ïî x:u(x, y) =x2+ u0 (y).yÒåïåðü îò ïîëó÷åííîãî âûðàæåíèÿ âîçüì¼ì ÷àñòíóþ ïðîèçâîäíóþ ïî y :x2∂u(x, y)= − 2 + u00 (y).∂yyÑðàâíèì ýòî âûðàæåíèå ñî âòîðûì óðàâíåíèåì ñèñòåìû. Ïîëó÷àåòñÿ, ÷òîu00 (y) = 1,u0 (y) = y + u1 .Çäåñü u1 êîíñòàíòà, íå çàâèñÿùàÿ íè îò x, íè îò y .

 ðåçóëüòàòå, u(x, y) =à ðåøåíèå óðàâíåíèÿ çàïèñûâàåòñÿ â íåÿâíîì âèäå:x2+y+u1 ,yx2+ y = C.yŸ10. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Ïèêàðà.Äîêàæåì òåïåðü òåîðåìó Ïèêàðà. Ìû ðàññìàòðèâàåì çàäà÷ó Êîøè 0y = f (x, y),(ÇÊ(x0 , y0 ))y(x0 ) = y0 ,ãäå f : D → R, D ⊂ R2 .Òåîðåìà Ïèêàðà.Ïóñòü, ∂f∂y ∈ C(D) (ò.å. ôóíêöèè f è ∂f∂y íåïðåðûâíà íà ìíîæåñòâå D), íåïóñòîå îòêðûòîå ìíîæåñòâî,òîãäàäëÿ ëþáîé òî÷êè (x0, y0) ∈ D ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå íåïðîäîëæàåìîå ðåøåíèå ÇÊ(x0, y0),è îíî îïðåäåëåíî íà îòêðûòîì èíòåðâàëå (α(x0, y0), ω(x0, y0)).f ∈ C(D)D ⊂ R2Äîêàçàòåëüñòâî ñîñòîèò èç ÷åòûð¼õ ÷àñòåé, â êàæäîé èç êîòîðûõ ìû äîêàæåì ïîëåììå:23I. Ñâåäåíèå ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè ê ðåøåíèþ èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ;II. Ëîêàëüíîå ñóùåñòâîâàíèå ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè;III. Ëîêàëüíàÿ åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè;IV. Íåïðîäîëæàåìîå ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè îïðåäåëåíî íà îòêðûòîì èíòåðâàëå.I.

Ñâåäåíèå ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè ê ðåøåíèþ èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿËåììà 1. Ôóíêöèÿ y : hα, ωi → R ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è Êîøè ÇÊ(x0 , y0 )òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ôóíêöèÿ y(x) êëàññà C ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿZxy(x) = y0 + f (ξ, y(ξ))dξ ïðè x ∈ hα, ωi.x0Äîêàçàòåëüñòâî.Íåîáõîäèìîñòü. Ïóñòü y : hα, ωi → R ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è Êîøè ÇÊ(x0 , y0 ),òîãäày(x)0 = f (x, y(x)) ïðè x ∈ hα, ωi,y(x0 ) = y0 .Ïðîèíòåãðèðóåì äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ïî x: xx R y(ξ)0 dξ = R f (ξ, y(ξ))dξ ïðè x, x ∈ hα, ωi,0x0x0y(x0 ) = y0 ,âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé Íüþòîíà-Ëåéáíèöà:x y(x) − y(x ) = R f (ξ, y(ξ))dξ ïðè x, x ∈ hα, ωi,00x0y(x0 ) = y0 ,è â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì òðåáóåìîå ðàâåíñòâî:Zxy(x) = y0 +f (ξ, y(ξ))dξ ïðè x ∈ hα, ωi.x0Êàê ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè ôóíêöèÿ y(x) êëàññà C 1 , à çíà÷èò, è êëàññà C .Äîñòàòî÷íîñòü. Ïóñòü íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ y(x) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿZxy(x) = y0 + f (ξ, y(ξ))dξx0ïðè x ∈ hα, ωi.

Îòñþäà ñðàçó æåZx0y(x0 ) = y0 +f (ξ, y(ξ))dξ = y0 .x024Ïðîäèôôåðåíöèðóåì èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå ïî x:y 0 (x) = f (x, y(x))ïðè x ∈ hα, ωi. Ìû ìîæåì äèôôåðåíöèðîâàòü, ïîñêîëüêó f íåïðåðûâíà, y íåïðåRxðûâíà, çíà÷èò, f (x, y(x)) íåïðåðûâíà ïðè x ∈ hα, ωi, òîãäà f (ξ, y(ξ))dξ íåïðåðûâíîx0äèôôåðåíöèðóåìà, ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî è ëåâàÿ ÷àñòü èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ íåïðåðûâíîäèôôåðåíöèðóåìà, ò.å. y ∈ C 1 (hα, ωi).  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èëè y 0 (x) = f (x, y(x)) ïðèx ∈ hα, ωi è y(x0 ) = y0 , ò.å. ôóíêöèÿ y : hα, ωi → R ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è ÊîøèÇÊ(x0 , y0 ).Ëåììà 1 äîêàçàíà.II. Ëîêàëüíîå ñóùåñòâîâàíèå ðåøåíèÿ çàäà÷è ÊîøèÇäåñü ââåä¼ì îáîçíà÷åíèÿ.Çàôèêñèðóåì òî÷êó (x0 , y0 ) ∈ D. Ïîñêîëüêó D îòêðûòîå ìíîæåñòâî, òî âìåñòåñ ýòîé òî÷êîé â D âõîäèò íåêîòîðàÿ å¼ îêðåñòíîñòü, âûáåðåì å¼ çàìêíóòûì ïðÿìîóãîëüíèêîì ñ öåíòðîì (x0 , y0 ), ñòîðîíàìè 2a è 2b è îáîçíà÷èì ÷åðåç Ï:Ï = (x, y) ∈ R2 : |x − x0 | 6 a, |y − y0 | 6 b .×èñëà a è b ïîäîáðàíû òàê, ÷òî Ï ∈ D.Ïîñêîëüêó f ∈ C(D), òî f ∈ C(Ï) è ïî òåîðåìå Âåéåðøòðàññà ñóùåñòâóåòF = max |f (x, y)| .(x,y)∈ÏÏîñêîëüêó∂f∂y∈ C(D), òî∂f∂y(∗)∈ C(Ï) è ïî òåîðåìå Âåéåðøòðàññà ñóùåñòâóåò ∂f(∗∗)L = max (x, y) .(x,y)∈Ï ∂yÈç òåîðåìû î ñðåäíåì: åñëè (x, y1 ) ∈ Ï, (x, y2 ) ∈ Ï, y1 < y2 , òî ñóùåñòâóåò c:y1 6 c 6 y2 , äëÿ êîòîðîãîf (x, y2 ) − f (x, y1 ) =∂f(x, c)(y2 − y1 ),∂yòîãäà ∂f|f (x, y2 ) − f (x, y1 )| 6 (x, c) |(y2 − y1 )|,∂yè ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâî, êîòîðîå ïîíàäîáèòñÿ â äàëüíåéøåì:|f (x, y2 ) − f (x, y1 )| 6 L|(y2 − y1 )|.È ââåä¼ì åù¼ îäíî îáîçíà÷åíèå:bh = min a,.F25(∗ ∗ ∗)Ïóñòü f ∈ C(D), ∂f∂y ∈ C(D), D íåïóñòîå îòêðûòîå ìíîæåñòâî,òîãäà äëÿ ëþáîé òî÷êè (x0, y0) ∈ D ñóùåñòâóåò ðåøåíèå ÇÊ(x0, y0), îïðåäåë¼ííîåíà çàìêíóòîì ïðîìåæóòêå [x0 − h, x0 + h].Ëåììà 2.Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ëåììû ïðåäúÿâèì ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè, ïðåäîñòàâèì ìåòîäåãî íàõîæäåíèÿ.

Характеристики

Список файлов лекций