1611688890-f641c9ec8276824e4686da772eb56520 (826652), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Тем не менее, прикидочные оценки и качественные выводы на основе теоремыБауэра-Файка делать можно.Важнейший частный случай применения теоремы Бауэра-Файка относится к симметричным матрицам. Они имеют простую структуру и,кроме того, собственные векторы симметричных матриц ортогональны друг другу.
Как следствие, матрица собственных векторов V может быть взята ортогональной, с числом обусловленности 1. Получаемследующий результат: если λi (A) — собственные числа симметричнойматрицы A, а λ̃ — собственное число возмущённой матрицы A + ∆A,тоmin λ̃ − λi (A) ≤ k∆Ak2 .iИными словами, при возмущении симметричных матриц их собственные числа изменяются на величину, не превосходящую спектральнойнормы возмущения, т. е. гораздо более умеренно, чем для матриц общего вида.Предложение 3.16.1 Матрицы простой структуры образуют открытое всюду плотное подмножество во множестве всех квадратныхматриц.Набросок доказательства таков: если для произвольного малого ε кканонической жордановой форме n × n-матрицы прибавить возмущающую матрицу вида diag { ε, ε/2, ε/3, .
. . , ε/n }, то получающаяся треугольная матрица будет иметь различные собственные числа, т. е. сделается диагонализуемой. Требуемое возмущение исходной матрицы мы3.16. Проблема собственных значений411можем получить из diag { ε, ε/2, ε/3, . . . , ε/n } путём преобразования подобия, обратного по отношению к тому, которое переводит исходнуюматрицу к жордановой нормальной форме.Как следствие, матрицы с нелинейными элементарными делителями, которые соответствуют жордановым клеткам размера 2 и более,составляют множество первой бэровской категории во множестве всехматриц. Подобные множества, называемые также тощими, являютсяв топологическом смысле наиболее разреженными и бедными множествами (см.
[18, 48]). Но на долю таких матриц приходятся главныетрудности, с которыми сталкиваются при решении проблемы собственных значений. В этом отношении задача нахождения сингулярных чисел и сингулярных векторов является принципиально другой, так каксимметричная матрица A⊤A (эрмитова матрица A∗A в комплексномслучае) всегда имеет простую структуру, т. е. диагонализуема.3.16вКоэффициенты перекоса матрицыЦелью этого пункта является детальное исследование устойчивости решения проблемы собственных значений в упрощённой ситуации,когда все собственные значения матрицы A различны. Именно в этомслучае, как было отмечено в §3.16б, собственные векторы непрерывнозависят от элементов матрицы и, более того, существуют их конечныедифференциалы.Пусть A — данная матрица и dA — дифференциал (главная линейная часть) её возмущения, так что A + dA — это близкая к A возмущённая матрица.
Как изменятся собственные значения и собственныевекторы матрицы A + dA в сравнении с собственными значениями исобственными векторами A?ИмеемAxi = λi xi ,(A + dA)(xi + dxi ) = (λi + dλi )(xi + dxi ),где через λi обозначены собственные значения A, xi — собственные векторы, i = 1, 2, . . . , n, причём последние образуют базис в Rn , коль скоропо предположению A является матрицей простой структуры. Пренебрегая членами второго порядка малости, можем выписать равенство(dA) xi + A (dxi ) = λi (dxi ) + (dλi ) xi .(3.147)4123. Численные методы линейной алгебрыПусть y1 , y2 , . .
. , yn — собственные векторы эрмитово-сопряжённойматрицы A∗ , соответствующие её собственным значениям λ1 , λ2 , . . . ,λn . Умножая скалярно равенство (3.147) на yj , получимh(dA) xi , yj i + hA (dxi ), yj i = λi hdxi , yj i + (dλi )hxi , yj i.(3.148)В частности, при j = i имеемh(dA) xi , yi i + hA (dxi ), yi i = λi hdxi , yi i + (dλi )hxi , yi i,где соседние со знаком равенства члены можно взаимно уничтожить:они оказываются одинаковыми, коль скороhA(dxi ), yi i = hdxi , A∗ yi i = hdxi , λi yi i = λi hdxi , yi i.Следовательно,h(dA) xi , yi i = (dλi )hxi , yi i,и потомуdλi =h(dA) xi , yi i.hxi , yi iПусть теперь j 6= i.
Тогда hxi , yj i = 0 в силу биортогональностисистем векторов {xi } и {yj } (Предложение 3.2.2), и потомуhA(dxi ), yj i = h dxi , A∗ yj i = h dxi , λj yj i = λj h dxi , yj i.Подставляя этот результат в (3.148), будем иметьh(dA) xi , yj i + λj h dxi , yj i = λi h dxi , yj i.Поэтомуh dxi , yj i =h(dA) xi , yj i.λi − λjРазложим dxi по базису из собственных векторов невозмущённойматрицы A:nXαij xj .dxi =j=1Так как собственные векторы задаются с точностью до множителя,то в этом разложении коэффициенты αii содержательного смысла не4133.16.
Проблема собственных значенийимеют, и можно считать, что αii = 0 (напомним, что мы, в действительности, ищем возмущение одномерного инвариантного подпространстваматрицы). Для остальных коэффициентов имеем h dxi , yj i = αij h xj , yj i,опять таки в силу Предложения 3.2.2. Следовательно, для i 6= jαij =h(dA) xi , yj i.(λi − λj )hxj , yj iПерейдём теперь к оцениванию возмущений собственных значенийи собственных векторов. Из формулы для дифференциала dλi и изнеравенства Коши-Буняковского следует|dλi | ≤где посредствомνi =kdAk2 kxk2 kyk2= νi kdAk2 ,hxi , yi ikxi k2 kyi k2,hxi , yi ii = 1, 2, . . . , n,обозначены величины, называемые коэффициентами перекоса матрицы A, отвечающие собственным значениям λi , i = 1, 2, .
. . , n.Ясно, что νi ≥ 1, и можно интерпретировать коэффициенты перекоса как1,νi =cos ϕiгде ϕi угол между собственными векторами xi и yi исходной и сопряжённой матриц. Коэффиценты перекоса характеризуют, таким образом, обусловленность проблемы собственных значений в смысле второго подхода §1.3.Для симметричной (или, более общо, эрмитовой) матрицы коэффициенты перекоса равны 1. В самом деле, сопряжённая к ней задача насобственные значения совпадает с ней самой, и потому в наших обозначениях xi = yi , i = 1, 2, .
. . , n. Следовательно, hxi , yi i = hxi , xi i =kxi k2 kyi k2 , откуда и следует νi = 1.Это наименьшее возможное значение коэффициентов перекоса, такчто численное нахождение собственных значений симметричных (эрмитовых в комплексном случае) матриц является наиболее устойчивым.Что касается возмущений собственных векторов, то коэффициентыαij их разложения оцениваются сверху как|αij | ≤kdAk2k(dA) xi k2 kyj k2≤νj ,|λi − λj | · |hxj , yj i||λi − λj |4143.
Численные методы линейной алгебрыи потому имеет место общая оценкаkdxi k2 ≤ kdAk2 · kxk2 ·Xj6=iνj.|λi − λj |(3.149)Отметим значительную разницу в поведении возмущений собственных значений и собственных векторов матриц. Из оценки (3.149) следует, что на чувствительность отдельного собственного вектора влияют коэффициенты перекоса всех собственных значений матрицы, ане только того, которое отвечает этому вектору. Кроме того, в знаменателях слагаемых из правой части (3.149) присутствуют разностиλi − λj , которые могут быть малыми при близких собственных значениях матрицы. Как следствие, собственные векторы при этом оченьчувствительны к возмущениям в элементах матрицы.
Это мы моглинаблюдать в Примере 3.16.2. В частности, даже для симметричных(эрмитовых) матриц задача отыскания собственных векторов можетоказаться плохообусловленной.Пример 3.16.4 Вещественная 20 × 20-матрица20 2019 2018ε020.....2.,20 1в которой ненулевыми являются две диагонали — главная и верхняяпобочная, а также первый в последней строке элемент ε, называетсяматрицей Уилкинсона (см. [42]). При ε = 0 эта матрица имеет, очевидно, различные собственные значения 1, 2, .
. . , 18, 19, 20. Но в общемслучае характеристическое уравнение матрицы Уилкинсона есть(20 − λ)(19 − λ) . . . (1 − λ) − 2019 ε = 0,и его свободный член, который равен 20! − 2019 ε, зануляется при ε =20−19 · 20! ≈ 4.64 · 10−7 . Как следствие, матрица будет иметь при этомнулевое собственное значение, т. е. сделается особенной.4153.16.
Проблема собственных значенийВеличина возмущения, изменившего в рассмотренном примере наименьшее собственное значение с 1 до 0, примерно равна одинарнойточности представления на цифровых ЭВМ машинных чисел в районе единицы согласно стандартам IEEE 754/854. Как видим, несмотряна то, что все собственные числа матрицы различны и, следовательно,являются гладкими функциями от элементов матрицы, скорость их изменения настолько велика, что практически мы как будто имеем делос разрывными функциями.3.16гКруги ГершгоринаПусть A = (aij ) — квадратная матрица из Rn×n или Cn×n .
Еслиλ ∈ C — её собственное значение, то(3.150)Av = λvдля некоторого собственного вектора v ∈ Cn . Предположим, что в vнаибольшее абсолютное значение имеет компонента с номером l, такчто |vl | = max1≤j≤n |vj |.Рассмотрим l-ую компоненту векторного равенства (3.150):nXalj vj = λ vl ,j=1что равносильноnXj=1j6=lalj vj = (λ − all ) vl .По этой причинеXXalj vj ≤|λ − all | |vl | = |alj vj |j6=l=Xj6=lj6=l|alj | |vj | ≤ |vl |Xj6=l|alj |,потому что |vj | ≤ |vl |.
Наконец, поскольку v 6= 0, мы можем сократитьобе части полученного неравенства на положительную величину |vl |.Это даётX|λ − all | ≤|alj |.j6=l4163. Численные методы линейной алгебрыНе зная собственного вектора v, мы не располагаем и номером l егонаибольшей по модулю компоненты. Но можно действовать наверняка,рассмотрев дизъюнкцию (объединение) соотношений выписанного выше вида для всех l = 1, 2 . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
