1611688890-f641c9ec8276824e4686da772eb56520 (826652), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Нона самом деле можно замкнуть её, к примеру, каким-нибудь условием нормировки собственных векторов (kvk = 1 в какой-то норме) илитребованием, чтобы какая-либо компонента v принимала бы заданноезначение. Последнее условие иногда даже более предпочтительно ввиду своей линейности.Даже если рассматриваемая матрица A имеет все элементы вещественными, могут не существовать вещественные λ и v, удовлетворяющие соотношению (3.144). По этой причине целесообразно рассматривать задачу определения собственных чисел λ и собственных векторовv в поле комплексных чисел C, которое алгебраически замкнуто.30 Изкурса линейной алгебры читателю должно быть известно, что задача нахождения собственных значений матрицы A эквивалентна задаченахождения корней уравненияdet(A − λI) = 0,называемого характеристическим (или «вековым») уравнением дляматрицы A.Иногда при упоминании этой задачи подчёркивают — «алгебраическая проблема собственных значений», чтобы уточнить, что речь идёто матрицах конечных размеров, конечномерной ситуации и т.
п. в отличие, скажем, от аналогичной задачи нахождения собственных значенийоператоров в бесконечномерных пространствах функций. Слово «проблема» также уместно в этом контексте, поскольку рассматриваемаязадача сложна и имеет много аспектов.Различают полную проблему собственных значений и частичнуюпроблему собственных значений.
В полной проблеме требуется нахождение всех собственных чисел и собственных векторов. Частичная проблема собственных значений — это задача нахождения некоторых собственных чисел матрицы и/или некоторых собственных векторов. Кпримеру, наибольшего по модулю собственного значения, или нескольких наибольших по модулю собственных значений и соответствующихим собственных векторов.30 Напомним, что алгебраически замкнутым называется поле, в котором всякиймногочлен ненулевой степени с коэффициентами из этого поля имеет хотя бы одинкорень.3.16. Проблема собственных значений405Собственные значения матриц нужно знать во многих приложениях.
Например, задача определения частот собственных колебаний механических систем (весьма актуальная при проектировании различныхконструкций) сводится к нахождению собственных значений так называемых матриц жёсткости этих систем. Особую важность собственнымзначениям придаёт то обстоятельство, что соответствующие им частоты собственных колебаний являются непосредственно наблюдаемымииз опыта физическими величинами. Это тон звучания тронутой гитарной струны и т. п.Пример 3.16.1 Линейные динамические системы с дискретным временем видаx(k+1) = Ax(k) + b(k) ,k = 0, 1, 2 .
. . ,(3.145)служат моделями разнообразных процессов окружающего нас мира, отбиологии до экономики.Общее решение такой системы есть сумма частного решения исходной системы (3.145) и общего решения однородной системы x(k+1) =Ax(k) без свободного члена. Если искать нетривиальные решения однородной системы в виде x(k) = λk h, где λ — ненулевой скаляр и h— n-вектор, то нетрудно убедиться, что λ должно быть собственнымзначением A, а h — собственным вектором матрицы A.Ясно, что собственные векторы матрицы определяются неоднозначно, с точностью до скалярного множителя.
В связи с этим часто говорят о нахождении одномерных инвариантных подпространств матрицы. Инвариантные подпространства матрицы могут иметь и бо́льшуюразмерность, и в любом случае их знание доставляет важную информацию о рассматриваемом линейном операторе, позволяя упроститьего представление. Пусть, например, S — это p-мерное инвариантноеподпространство матрицы A, так что Ax ∈ S для любого x ∈ S, ибазисом S являются векторы v1 , v2 , . . .
vp . Беря базис всего пространства Rn так, чтобы его последними векторами были v1 , v2 , . . . vp (это,очевидно, можно сделать всегда), получим в нём блочно-треугольноепредставление рассматриваемого линейного оператора:!A11 A120A22с p × p-блоком A22 . В последние десятилетия задача определения для4063. Численные методы линейной алгебрыматрицы тех или иных инвариантных подпространств, не обязательноодномерных, также включается в «проблему собственных значений».Помимо необходимости выхода в общем случае в комплексную плоскость C, даже для вещественных матриц, ещё одной особенностью проблемы собственных значений, осложняющей её решение, является нелинейный характер задачи, несмотря на традицию отнесения её к «вычислительной линейной алгебре».
Это обстоятельство нетрудно осознатьиз рассмотрения основного соотношения (3.144)Av = λv,которое является системой уравнений относительно λ и v, причём в егоправой части суммарная степень неизвестных переменных равна двум:2 = (1 при λ) + (1 при v).Если собственное значение λ̃ матрицы A уже найдено, то, как известно, определение соответствующих собственных векторов сводитсяк решению системы линейных алгебраических уравнений(A − λ̃I)x = 0с особенной матрицей. Но на практике часто предпочитают пользоваться для нахождения собственных векторов специализированнымивычислительными процедурами.
Многие из них позволяют вычислятьсобственные векторы одновременно с собственными значениями матриц.В заключение нашего обсуждения коснёмся алгоритмического аспекта проблемы собственных значений. Нахождение собственных значений матрицы сводится к решению алгебраического характеристического уравнения. С другой стороны, любой алгебраический полином, свещественными или комплексными коэффициентами, является характеристическим полиномом для некоторой матрицы. Если, к примеру,p(x) = an xn + an−1 xn−1 + .
. . + a1 x + a0 ,и этот полином имеет корни x1 , x2 , . . . , xn , перечисленные с учётомкратности, то p(x) = an (x − x0 )(x − x2 ) . . . (x − xn ), а матрица Ap =diag {x1 , x2 , . . . , xn } и все ей подобные имеют характеристическим полиномом в точности p(x). Вместо диагональной матрицы можно взятькакую-нибудь жорданову каноническую форму вида (3.7), группируяв жордановы клетки размера 2 × 2 и более по несколько одинаковых3.16. Проблема собственных значений407собственных значений. Опять таки, преобразованием подобия из жордановой формы легко получить плотно заполненную матрицу.Напомним теперь известную в алгебре теорему Абеля-Руффини:для алгебраических полиномов степени выше 4 не существует прямых (конечных) методов нахождения корней, в которых выражениядля этих корней даются в виде композиций четырёх арифметическихдействий и операции взятия корня [61].
Как следствие, мы не вправеожидать существования прямых методов решения проблемы собственных значений для произвольных матриц размера более 4 × 4, и потому подавляющее большинство методов решения проблемы собственныхзначений — существенно итерационные.3.16бОбусловленность проблемысобственных значенийСпектр матрицы, как множество точек комплексной плоскости C,непрерывно зависит от элементов матрицы. Соответствующий результат часто называют «теоремой Островского» (читатель может увидетьдетальное изложение этой теории в книгах [19, 26, 34, 41, 50]).
Но собственные векторы (инвариантные подпространства) матрицы могут изменяться в зависимости от матрицы разрывным образом даже в совершенно обычных ситуациях.Пример 3.16.2 [50] Рассмотрим матрицу1+ε δ.A=01Её собственные значения суть числа 1 и 1 + ε, и при εδ 6= 0 соответствующими нормированными собственными векторами являются 1−δ1√.и220εε +δВыбирая подходящим образом отношение ε/δ, можно придать первомусобственном вектору любое направление, сколь бы малыми ни являлись значения ε и δ.Если положить ε = 0, то1 δ.A=0 14083. Численные методы линейной алгебрыПри δ 6= 0 у матрицы A будет всего один собственный вектор, хотя принадлежащем δ её можно сделать сколь угодно близкой к единичнойматрице, имеющей два линейно независимых собственных вектора.
При более пристальном изучении проблемы собственных значенийвыясняется, что, несмотря на непрерывную зависимость собственныхзначений от элементов матрицы, скорость их изменения может бытьсколь угодно большой (даже для матриц фиксированного размера),если они соответствуют жордановым клеткам размера 2 и более, т. е.так называемым нелинейным элементарным делителям матрицы.Пример 3.16.3 Собственные значения матрицыλ 1A=ε λ√— возмущённой жордановой 2 × 2-клетки √— равны λ ± ε, так чтомгновенная скорость их изменения, равная ε/ε, при ε = 0 бесконечна.Это же явление имеет место и для произвольной жордановой клетки,размером более двух.Всюду далее большую роль будут играть матрицы, которые преобразованием подобия можно привести к диагональному виду.
Для ихобозначения вводитсяОпределение 3.16.1 Квадратные матрицы, подобные диагональнымматрицам, называются матрицами простой структуры или диагонализуемыми матрицами.31Собственные числа матриц простой структуры зависят от возмущений гораздо более «плавным образом», чем в общем случае.Теорема 3.16.1 (теорема Бауэра-Файка [88]) Если A — квадратнаяматрица простой структуры, λi (A) — её собственные числа, V —матрица из собственных векторов A, а λ̃ — собственное число возмущённой матрицы A + ∆A, то(3.146)min λ̃ − λi (A) ≤ cond2 (V ) k∆Ak2 .i31 Такиематрицы называют также недефектными.3.16.
Проблема собственных значений409Доказательство. Если λ̃ совпадает с каким-то из собственных значений исходной матрицы A, то левая часть доказываемого неравенствазануляется, и оно, очевидно, справедливо. Будем поэтому предполагать, что λ̃ не совпадает ни с одним из λi (A), i = 1, 2, . . .
, n. Следовательно, если, согласно условию теоремыV −1 AV = D,где D = diag {λ1 , λ2 , . . . , λn } — диагональная матрица с собственнымичислами матрицы A по диагонали, то матрица D − λ̃I неособенна.С другой стороны, матрица A + ∆A − λ̃I является особеннойпопостроению, так что особенна и матрица V −1 A + ∆A − λ̃I V . НоV −1 A + ∆A − λ̃I V = (D − λ̃I) + V −1 (∆A)V= (D − λ̃I) I + (D − λ̃I)−1 V −1 (∆A)V ,откуда можно заключить о том, что особенной должна быть матрицаI + (D − λ̃I)−1 V −1 (∆A)V .
Как следствие, матрица(D − λ̃I)−1 V −1 (∆A)Vимеет собственное значение −1, и потому любая норма этой матрицыдолжна быть не меньшей 1. В частности, это верно для спектральнойнормы:(D − λ̃I)−1 V −1 (∆A)V ≥ 1.2Отсюдаmax (λi − λ̃)−1 · kV −1 k2 k∆Ak2 kV k2 ≥ 1.1≤i≤nПоследнее неравенство равносильноmin λi − λ̃ ≤ kV −1 k2 k∆Ak2 kV k2 ,1≤i≤nилиmin λ̃ − λi (A) ≤ cond2 (V ) k∆Ak2 ,iкак и требовалось.Теорема Бауэра-Файка показывает, что, каково бы ни было возмущение ∆A матрицы простой структуры A, для любого собственного4103. Численные методы линейной алгебрызначения λ̃ возмущённой матрицы A + ∆A найдётся собственное значение λi матрицы A, отличающееся от λ̃ не более чем на величинуспектральной нормы возмущения k∆Ak2 , умноженную на число обусловленности матрицы собственных векторов.
Таким образом, числообусловленности матрицы из собственных векторов может служить мерой обусловленности проблемы собственных значений.Практическую ценность теоремы Бауэра-Файка в целом и неравенства (3.146) в частности снижает то обстоятельство, что собственныевекторы матрицы определены с точностью до скалярного множителя, и потому cond2 (V ) есть величина, заданная не вполне однозначно.Наилучшим выбором для cond2 (V ) в неравенстве был бы, очевидно,минимум чисел обусловленности матриц из собственных векторов, ноего нахождение является в общем случае сложной задачей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
