1611678200-36438fb4f1ee6f855c93dc4a315ea8eb (826633), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Группыские р-группы, квазициклические р-группы и группыQ,Rpцикличеназываютсябазисными группами. Отметим некоторые простые свойства базисныхразмерностей базисных групп.{О,(2)1}.(3)(4)Базисные размерности базисных групп принадлежат множествуЛюбая базисная размерность группыЕсли q -простое число и qq-групп и группы(5)Rq1- р,Qравна нулю.то базисные (р, п)-размерностиравны нулю.Базисная (р, п)-размерность первого рода базисной группы Атогда и только тогда равна1,когда А является циклической группойпорядка pn+I.(6)ЕслиВциклическаяподгруппапорядкарт,то(р, п )-размерности второго и третьего рода тогда и только тогда равнынулю, когда(7)m~ п.Базисная (р, п)-размерность второго рода равначеской группе и равна нулю в группе(8)1вквазициклиRp.Базисная (р, п)-размерность третьего рода равна1в группеRpи равна нулю в квазициклической р-группе.Инварианты Шмелевой более удобны, чем элементарные индексы[Ф: \J1, А], так как они обладают большей независимостью друг отдруга.
Единственная их зависимость выражается в следующем предложении.Предложение8.4.12.Пусть для каждого р и п даны кардиналыap,n, /Зр, "fp ~ w и Е: Е {О, 1}. Для того чтобы существовала абелевагруппа А, для которой инварианты Шмелевой ap,n(A), /Зр(А), "fp(A)и Е:(А) совпадали соответственно с ap,n, /Зр, "(р и Е:, необходимои достаточно выполнение следующих условий:1) если для простого р множество {п I ap,n 1- О} бесконечно, то/Зр = "(р = w;2) если Е: = О, то для любого простого р выполнены равенства/Зр = "fp = О и множество { (р, п) 1 ap,n 1- О} конечно.До к аз ат ель ст в о.Необходимость вытекает из определения инвариантов Шмелевой и свойств(1)-(8)базисных размерностей.
Если326же условияl)иГл.8.2)выполняются, то из свойствРазрешимые и неразрешимые теориибазисных раз(l)-(8)мерностей легко вытекает, что в качестве искомой группы А подходитгруппаp,nгде, как обычно, B(k) обозначает прямую сумму k подгрупп, изоморфных группе В.ТеоремаО8.4.13.Теория АГ разрешима.До к аз ат ель ст в о. В силу следствия8.4.
l l и теоремы о полнотеисчисления ИП1;~ получаем, что достаточно показать, что проблемаустановления для любого предложения Ф* из множества Го его выполнимости на классе всех групп, т. е. истинности на некоторой группе,является алгоритмически разрешимой. Предложения вида ap,n,k, (Зp,n,kи 'Yp,n,k будем называть базисными и обозначать через xp,n,k· Так каквыполнимостьдизъюнкцииравносильнавыполнимостиодногоизеечленов, то можно считать, что Ф* является конъюнкцией базисных,предложений и их отрицаний, а также предложений En и их отрицаний.Пусть п* ииk,k* -максимальные числа соответственно среди чиселnдля которых базисные предложения xp,n,k являются подформуламипредложения Ф*.Случайl:для некоторого п предложение En является конъюнктивным членом предложения Ф*.
Если п=О, то En является истиннойв любой группе и, если Ф* содержит другие конъюнктивные члены,то En можно убрать из Ф*. Если Ф*группе А. При п= l=с:о, то Ф* истинна на любойпредложение Ф* может быть истинно толькона нулевой группе, поэтому проверка выполнимости Ф* на группахразрешима. Пусть п= pf 1 ••• p:r,где р,,... , Рт -попарно различныепростые числа. Ясно, что в этом случае истинность предложения Ф*в некоторой группе А равносильно истинности Ф* в некоторой группе= Ар 1 Е1Э ... Е1Э APr, где Ai, i Е { l, ... , r }, - прямая сумма циклических групп порядков У;, для j ~ Si, причем в таком разложенииА*для каждогоj~ Si существует не более, чемk*прямых слагаемыхпорядка У;,. Заметим, что групп А* с такими условиями существуетс точностью до изоморфизма лишь конечное число.Граница этогочисла эффективно вычисляется по Ф*, поэтому проверка выполнимостив группах предложений Ф*, для которых выполняется условие данногослучая, алгоритмически разрешима.Случай2:отрицание случая1.Из свойств( l)и(3)базисныхразмерностей получаем, что для любого базисного предложения xp,n,kи любой группы А истинность xp,n,k в А равносильно его истинности§ 8.4.
Разрешимые теории абелевых группв группе А Е1ЭQ,гдекак в группе А Е1ЭQ327аддитивная группа рациональных чисел. ТакQ-ложны все предложения C:n,n-/:- О,то в условияхданного случая в силу предыдущего замечания можно считать, что Ф*является конъюнкцией базисных предложений и их отрицаний.Предположим, что предложение Ф* истинно в некоторой группе А.Пусть O:p,n = O:p,n(A), fЗv = fЗv(A), ')'р = "fv(A) иА1= ffiw c<av.n)pn+IffiWc(fЗv)рООffi'17н(,v)р•p,nЯсно, что группы А Е1Эи А1 Е1ЭQQимеют одни и те же инвариантыШмелевой, следовательно, по теоремев них истинны одни и те8.4.10же базисные предложения.
Тогда также в группах А и А1 истинныодни и те же базисные предложения, поэтому предложение Ф* истиннов группе А1. Пусть 1r* -множество простых чисел р, для которыхнекоторая базисная формулаxp,n,kвходит в Ф*. Ясно, что предложениеФ* истинно в группеpE1r* ,пгде a;,n= min{ O:p,n, k*},Из свойств(1)и(6)rз;=min{(Зp,k*}и,,;= min{')'p, k*}.базисных размерностей, получаем, что предложение Ф* истинно в группе А*, имеющей видЕ0гдеs = min{ n>n*I: a;,n, k*}.При фиксированных множестве 1r и числах п*,k*имеется лишьконечное число типов изоморфизма групп такого вида.
Используя свойства(1), (2)и(4)-(8), легко вычисляются базисные размерности такихгрупп, следовательно, проверяется истинность предложения Ф*. Таккак множество 1r и числа п*,k*эффективно находятся по предложениюФ*, то проблема выполнимости в классе всех групп предложений измножества Го, для которых выполняется условие случаяУчитывая результат рассмотрения случая1,2,разрешима.получаем, что проблемавыполнимости предложений из множества Го на классе всех группразрешима. В силу замечания в начале доказательства, теория АГразрешима.ОЗаметим, что из предложения 8.4.12 и теоремы 8.4.10 вытекает,что мощность множества различных пополнений теории АГ равнаконтинууму, т.
е.2"'.Отсюда, в частности, вытекает, что существуютабелевы группы А, элементарная теорияTh(A)которых неразрешима.328Гл.8.Разрешимые и неразрешимые теорииВ заключение отметим, что разрешимы теории сложения натуральныхчисел,поляр-адическихчисел,атакжетеориявсехконечныхполей.§ 8.5.Теории декартовых произведенийВ этом параграфе мы покажем сохранение разрешимости теориипри операции взятия конечного декартова произведения и любой декартовой степени. На самом деле мы будем рассматривать фильтрованныепроизведения, что, учитывая разрешимость любой булевой алгебры,даетразрешимость теории любойфильтрованной степенисистемыс разрешимой теорией.В дальнейшем мы будем рассматривать булевы алгебры в сигнатуре(u, n, -, О, 1).
Через 21 мы будем обозначать булеву алгебру всех подмножеств множества I. Если D - фильтр на I, то через 2 1 / D будемобозначать гомоморфный образ алгебры 2 1 по конгруэнцииКласс этой конгруэнции, содержащий множествоI1будем обозначатьчерез I1 / D. Нетрудно проверить, что 2 1 / D будет изоморфна фильтрованной степени (см. упражнение 3 к § 3.3) 2D, где 2 обозначаетдвухэлементную булеву алгебру. КогдаDравен{I},мы будем отождествлять 21 / D с 2 1 .В дальнейшем под сигнатурой :Е мы будем понимать эффективнозаданную сигнатуру, т. е.
такую сигнатуру, что множество гёделевскихномеров формул сигнатуры :Е является рекурсивным.8.5. t. Существует алгоритм, который по любой... , хп) сигнатуры :Е строит формулу Ф* (у1, ... , УkФ)сигнатуры булевых алгебр и формулы Ф 1 (х1, ... , хп), ... , фkФ (xi, . ... . . , хп) сигнатуры :Е, для которых выполнено следующее условие:Предложениеформуле Ф(х1,еслифильтр на множествеD -системы сигнатуры :Е и/1, ... , fпD-prod~i p=Ф(D/1, ... ,Dfп)где Ij= {i1~ip=.ФJ(f1i,До к аз ат ел ь ст в о.{=::}Е[, ~i, i Е I l-prodAi, тоалгебраические2 1 /Dp=Ф*(li/D, ... ,lkф/D), (8.9)...
,fпi)},j Е {1, ... ,kФ},Переходя к эквивалентной формуле, можносчитать, что Ф не содержит кванторадукцией по длине Ф. Если Ф-'v.Построение будем вести инатомарная формула, то по лемме3.3.4в качестве Ф* можно взять У1 ~ 1, а в качестве Ф 1 - формулу Ф. ЕслиФ = --.Ф1, то в качестве Ф* берем --.Фj, а в качестве Ф 1 , ... , фkФ - после-Теории декартовых произведений§ 8.5.329довательность формул Ф\, ... , Ф7Ф 1 • Если Ф = Ф1тФ2, где т Е {Л, V,-+},то в качестве Ф* берем Фj (У!, ... , УkФ 1 )тФz(уkФ 1 +1, .•.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
