1611678200-36438fb4f1ee6f855c93dc4a315ea8eb (826633), страница 63
Текст из файла (страница 63)
е. для любых позитивно примитивных формул Ф(х) и Ф(х) выполнено[Ф: Ф,А,]=[Ф: Ф,А2];2) А 1 и А2 элементарно эквивалентны, т. е. Th(A,)3) Sh(A,) = Sh(A2),= Th(A2);т. е. у А, и А2 совпадают инварианты Шмелевой.Доказательство.1)==}2).Заметим, что если у А 1 и А2 совпадают элементарные индексы, то формула Ф*, построенная в доказательстве леммыЕсли Ф -8.4.5для А, совпадает с Ф*, построенной для группы А2.предложение сигнатуры I;+, то Ф* будет булевой комбинацией позитивно примитивных предложений. Так как любое позитивнопримитивное предложение истинно в любой абелевой группе, то теорииTh(A,) и Th(A2) совпадают.2)==}3).
Пусть группы А,и А2 элементарно эквивалентны. Тогдадля них равносильна истинность предложений ap,n,k, (Зр,п,k, "/p,n,k и Е:п.Отсюда получаемSh(A1) = Sh(A2).Пусть у групп А 13)==}1).и А2 совпадают инварианты Шмелевой. Нужно показать, что [Ф: Ф,А,]=[Ф: Ф,А2] для произвольныхпозитивно примитивных формул Ф(х) и Ф(х). По лемме8.4.7можносчитать, что Ф и Ф являются конъюнкциями формул вида тх ~ Ои 3упх ~ pky, где р - простое число, m, п, k - натуральные числа и п -j. О.
Пусть п = п'р 1 , где п' не делится на р. Если l ?: k,то формула 3упх ~ pky эквивалентна в АГ формуле Ох ~ О. Пустьl < k. Возьмем такие целые числа s и t, что sn'p1 + tpk = р 1 . Тогда для любой группы А и любых а, Ь Е А из равенства па ~ pkbвытекает равенство р1 а = pk(sb + ta). Отсюда получаем, что формула3упх ~ pky эквивалентна в АГ формуле 3ур 1 х ~ pky.
Таким образом,можно считать, что формулы Ф и Ф являются конъюнкциями формулвида тх ~ О и 3ур 1 х ~ pky для простых чисел р, чисел m, k, l Е wс условиемl < k.Такие формулы назовем базисными формулами соответственно первого рода и второго рода. При этом базисную формулувида 3ур 1 х ~ pky будем называть базисной формулой второго родас р-коэффициентами, а формулу Ох ~ О-вырожденной базиснойформулой первого рода.ТаккакдлялюбойгруппыАиеепроизвольныхподгруппН,, Н2, Нз мы имеем[Н,: (Н2 П Нз)]= [Н,: Н2]томожно[(Ф(А)считать,+ Ф(А)):чтоФ(А)]=Фявляется· [(Н2П н,): Нз],базиснойформулой.Таккак[Ф(А): Ф(А)] и существует позитивно прими-§ 8.4.Разрешимые теории абелевых групп321+тивная формула 8(х), для которой выполнено условие 8(А) = Ф(А)\J!(A) для любой группы А, то в дальнейшем будем считать, что+\J!(A) s;;;Ф(А) для любой группы А.Так как индексы[Ф:Ф, А] и инварианты Шмелевой сохраняютсяпри переходе от А к А'= А, то можно считать, чтоЕсли е(А 1 )=О, то А 1порядков видаpn~IAilw, i Е { 1, 2}.является прямой суммой циклических группдля конечного множества простых р и конечногомножества натуральных чисел п.
Ясно, что число прямых слагаемыхпорядка pn+I совпадает с ap,n(A). Следовательно, при е(А,)пы А, и А2 изоморфны, в частности, [Ф: Ф,А,]в дальнейшем можно предполагать, чтоНапомним,=e(Ai) = 1, iчто подгруппа Н группы=Огруп[Ф: Ф,А2]. ПоэтомуЕ{1, 2}.А называется р-базиснойдля А, если выполнены следующие условия:а) Н является прямой суммой циклических р-групп и бесконечныхциклических групп;б) Нр-сервантная подгруппа А, т. е.
для любого а Е Н и-kЕwимеет местов) А/ Н-р-делимая группа, т. е. р(А/ Н)= А/ Н.Известно, что для любой абелевой группы А и любого р существуют р-базисные подгруппы для А. Отметим некоторые простые факты.1).Пусть р ичисла, А-q -различные простые числа,группа. Тогда рт А+qn А=m, п -А. Если А-натуральныер-группа, то АA[q] = {О}.2). Для группы А и формулы 8(х) = Эур 1 х ~ pky, где р - простоечисло, l ~ k, имеет место равенство 8(А) = (А[р 1 ] + p(k-l) А).Из свойств 1), 2) и условия Ф(Аi) ~ Ф(Аi) для любой группы Аявляются q-делимой иполучаем следующее свойство.3).ЕслиФявляетсябазиснойформулойвторогородаср-коэффициентами, то формула Ф не может содержать невырожденныхбазисных формул первого рода, а также базисных формул второго родас q-коэффициентами для q -/:- р.Из факта 2) получается следующее утверждение.4).
Пусть 8(х) = Эур 1 х ~ pky для простого числа р и натуральныхчисел l ~ k, А - циклическая группа порядка р 8 , где s ~ k, или А -бесконечная циклическая группа. Тогда 8(А)5).любой базисной формулы 8(х)8(А)= p(k-l) А.Если Н является р-сервантной подгруппой группы А, то дляnН==Эу р 1 х ~ pky выполняется равенство8(Н). Это равенство выполняется также для любойподгруппы Н группы А и любой базисной формулы 8(х) первого рода.11Ю. Л.
Ершов, Е. А. Палютин3228.Гл.Разрешимые и неразрешимые теорииИз свойств б) и в) р-базисных подгрупп получается следующийфакт.6).Если= ар,п(Н),7).Нр-базисная-'Ур(А)Если НподгруппагруппыА,тоар,п(А)== 'Ур(Н).р-базисная подгруппа группы А и Ф--базиснаяформула второго рода с р-коэффициентами, то [Ф: Ф, А]= [Ф: Ф, Н].Для доказательства этого факта заметим, что изи свойства в)2)+ Н = А. Из этого ра(Ф(А) n Н) + Ф(А) = Ф(А),р-базисных подгрупп вытекает условие Ф(А)венства и условия Ф(А)<;;; Ф(А) получаемследовательно, [Ф: Ф, А]и= [( Ф(А) n Н): (Ф(А) n Н)].= [Ф: Ф,Н].Из свойств 3)5) получаем равенство [Ф: Ф,А)Отметим еще несколько простых фактов.8).
Если А является прямой суммой Е1Э (ai) циклических р-группiEwи бесконечных циклических групп, тоар,п(А) ==и условие 'Ур(А)l{i ЕuJI o(ai) =pn+l}Iп Е uJ равносильно тому, что периодическая частьТ(А) группы А ограничена иl{iЕ uJI o(ai)=oo}I= п, где о(а)-порядок элемента а.9). ар,п(А)=ар,п(АР) и ;Зр(А)=;Зр(АР), где АР-группы А, т.е. подгруппа элементов а Е А порядков о(а)р-компонента= pk, kЕuJ.Для группы А через Т(А) обозначается ее периодическая часть, т.
е.подгруппа элементов конечного порядка. ПустьHf, Hf - р-базисныеTf = T(Hf). Из 6),подгруппы групп А1 и А2 соответственно. Пусть8)и9)10).вытекаетTf~ Т{, и еслиTfограничена, тоЛегко проверяется также следующие11).Hf~Hf.свойства.Для базисных формул 0(х) и любой группы А выполняетсяравенство 0(А)12).2n Т(А) = 0(Т(А)).Для любых групп А и В и любой позитивно примитивнойформулы 0(х) мы имеем 0(А ЕJЭ В)= (0(А) ЕJЭ 0(В)).Случай 1: Фчисел=3ур 10 х:::::!pk0y для простого числа р и натуральныхlo < ko.В силу свойства7)достаточно доказать равенство:[Ф: Ф,Н1) = [Ф: Ф,Н2].Если периодическая часть Tf р-базисной подгруппы(*)ограничена, то равенствоHfгруппы А(*) получается из свойства 10). Пусть теперьтr неограничена.Пустьr -максимальное натуральное число, для которого рт является коэффициентом в формулах Ф и Ф.
Пусть точисло вида k - l для таких l< k,что 3ур 1 х:::::!-максимальноеpky входит в Ф, если§ 8.4.Разрешимые теории абелевых групптакие числа есть, и тоциклической группы=Z323О, если таких чисел нет. Для бесконечнойпо свойству2)мы имеем Ф(Z)=pmoz иw(Z) = p(ko-lo) Z. Из включения w(Z) ~ Ф(Z) мы получаем условиеko - lo ~ то. Если ko - lo > то, то по свойству 4) для любойциклической подгруппы А порядка ~ рт выполнено [Ф: Ф, А]> 1.ИзTf и свойству 12) получаем [Ф: Ф, Tf] = оо. Так какФ, Tf] = оо.
Подгруппа Tf является прямым слагаемымнеограниченностиTf~то [Ф:Hi, поэтому [Ф: Ф,Нi]Tf,группыЕсли=1ko - lo = то,для= KiЕ1ЭкаждойGi,гдеGi= оо,i Е {1,2}.то из свойства 4) вытекает равенство [Ф: Ф, А]циклическойгруппыпорядка~ рт.ПустьHi==прямая сумма циклических групп порядка ~ рт ирт- 1 кi = {О}. Тогда по свойству 12) мы имеем [Ф: Ф,Gi] = 1, следовательно, (Ф: Ф, Hi] = [Ф: Ф, Ki]- Из условия Tf ~ Tf вытекает Kf ~ Kf.Отсюда получаем равенствоСлучай2:Ф= kox : : : :( *).О. Предположим, что Ф не содержит невырожденных базисных формул первого рода.Пусть по будет произведением всех ненулевых коэффициентов в формуле Ф, если такиеесть; в противном случае полагаем полюбого i Е { 1, 2} найдутся такиеanЕ=Ai,1. Так как c:(Ai) = 1, то дляп Е w, что n!konoan i- О.
Таккак Ф не содержит невырожденных базисных формул первого рода,kon!noan i- О, тоnoan, 2noan, ... , nnoan будут принадлежать различным смежным классам по подгруппе w(Ai). Следовательно, (Ф: Ф,Аi] = оо, i Е {1,2}.то по выбору по получаем А, р= Ф(поап)- Так какДалее будем предполагать, что Ф содержит некоторую невырожденнуюпобазисную формулусвойству11)получаемпервогорода.равенствоТогдаФ(А;)=Ф(Аi) ~Ф(Т(А;)).T(Ai)Такикакw(Ai) ~ T(Ai), то выполнено также равенство w(Ai) = w(T(A;)). Заметим, что Т(А;) = ЕlЭ Af.
Пусть 7Г - множество всех простых дерлителей коэффициентов в невырожденных базисных подформулах Фпервого рода. Если простое число р не принадлежит множеству 1r, тоФ(АР)={О}. Из предыдущих замечаний и свойства12) получаем[Ф: Ф, Ai] = [Ф: Ф, T(Ai)] = П [Ф: Ф, Af].pE1rТаким образом, доказательство сводится к установлению равенства (Ф: Ф,Аf]=[Ф: Ф,А~] для р-компонентAfи А~. Ясно, чтов р-группе А формула пх ::::::: О определяет то же множество, что и формула р 8 х::::::: О, где р8-наибольшая степень р, делящая число п.В силу этого факта и свойства 1), можно считать, что все коэффициенты в формулах Ф и Ф являются степенями числа р.
Так какв р-группе А формула (р 8 х::::::: О /\ртх::::::: О) определяет то же множество,11*Гл.324Разрешимые и неразрешимые теории8.что и формула рих ~ О, где и= min {s, r},то можно считать, что Фсодержит единственную базисную подформулуПустьpmx~ О первого рода.'1i(x) = pkx ~ О. В силу включения '1i(A) ~ Ф(А) для любойгруппы А имеемk ,,,;т. Еслиk= т,=то [Ф: Ф, А]р-группы А и доказывать нечего.
Пустьk<т и1для любоймаксимальноеs -натуральное число, для которого формула 3у р 1 х ~ pty входит в Ф иs=t-l (если таких формул в Ф нет, то sРассмотрим группу Bi= Af[p(в+m)],= О).где i Е{1,2}. Так как группаограничена, то она будет прямой суммой циклических р-rрупп.BiПусть порядок циклической группы (а) равен рв+т. По свойствуивыборурвачислаTfимеемрва Е Ф( (а)).Таким образом, [Ф: Ф, (а))>(j; W((a)).группымыsр-группыслагаемых группыBiAf, iЕ{1,2},1.Такk <какт,2)тоЕсли р-базисные поднеограничены, то среди прямыхбудет бесконечное число циклических групп порядка р(в+т), следовательно, [Ф: Ф, Bi]= оо.Так как Ф бескванторнаяW, Af] =и Ф, как 3-формуJiа, сохраняется при расширениях, то [Ф:оо,iE{l,2}.Пусть теперь одна из групп Tf, Tf ограничена.
По свойству 10)они обе ограничены. Так как группа Tf р-сервантна, то Af = Tf ЕJЭ Biдля некоторой группы Bi, В силу р-делимости группы Af /Tf, группаBiделимая, т. е.Bi=Е1ЭCjгдеCj -квазициклические группы. ИзjEJiIJilограниченности групп Tf, i Е {1,2}, получаем= ,Вр(Аf). В силуравенства ,Вр(Аf) = ,Вр(А~), группы Af и А~ изоморфны, следовательно,[Ф: Ф,Аf][Ф: Ф,А~].О=Пусть Гомножество всех предложений, являющихся булевыми-комбинациями предложений видапростое число, п,Следствиеk -8.4. t t.ap,n,k,,Вp,n,k,"(p,n,kиEn,где р-натуральные числа.Любое предложение Ф сигнатуры~+эквивалентно в АГ предложению Ф* из множества Го.
При этом такоепредложение находится по Ф эффективно.До к аз ат ель ст в о.Ясно, что если на группах А1, А2 истинныодни и те же предложения из множества Го,то у них совпадаютинварианты Шмелевой. В силу эквивалентности условий2)и3)изпредыдущей теоремы, мы получаем истинность условий предложения8.1.1,откуда вытекает существование предложения Ф*.
Так как теорияАГ имеет конечное множество аксиом, то теория АГ алгоритмическиперечислима, следовательно, по8.1.1предложение Ф* находится эффективно.Размерностиdim((pn A)[p]/(pn+I А)[р]), dim(pn А)[р] И dim((A/A[pn])/p(A/A[pn]))О§ 8.4. Разрешимые теории абелевых групп325будем называть базисными размерностями или, более точно, базисными (р, п)-размерностями соответственно первого, второго и третьего рода. Легко проверить следующее свойство базисных размерностей.(1)=Если АВ Е1Э С, то базисные размерности группы А равнысумме этих размерностей групп В и С.Пусть Ср""квазициклическая р-группа,-рациональных чисел,Rp -подгруппаQ,Q -аддитивная группасостоящая из несократимыхдробей с взаимно простыми с р знаменателями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
