1611678200-36438fb4f1ee6f855c93dc4a315ea8eb (826633), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Пусть Q( -счетная модель Х. Тогда Qtсальной моделью Т. В самом деле, пустьZo -fЕбудет универсовместный с Т п-типIсигнатуры Е. Тогда множество У= {IIФII Ф Е Zo} будет центрированным множеством алгебры !Бп(Т). По предложению 2.3.2 существуетультрафильтр ИГ- ;2 У алгебры !Бп(Т). Так как Zo ~ Т(ИГ-), тореализовываться в Qt f Е элементами v 21 (cf·\ ... , v 21 (c~·i).ZoбудетОПонятия однородной, универсальной и насыщенной счетной системы легко обобщаются на другие мощности. В частности, алгебраическая система Q( сигнатуры Е называется х-насыщенной, где хкардинал, если для любого множества Х ~ А мощностиализуется любой совместный с<х в!2txре1-тип сигнатуры Ех.
В заклюTh(!2tx)чение этого параграфа мы приведем теорему, доказанную независимоЮ. Л. Ершовым и Г. Дж. Кейслером.ФильтрDна множествелюбого множества { XiIназывается счетно полным, если дляI i Е w} ~ Dимеет место П Xi Е D. ОбозначимiEwчерез w1 первый несчетный кардинал.Теорема5.5.6. Если Qti, i Е J, - алгебраическиеD - ультрафильтр на I, не являющийсясистема D-prod Q(i является w 1-насыщенной.туры Е, атоДоказательство.смотрим семейство {WiПустьI i Е w },IiЕгде Wo={Xiwi = (Хо n ... n Xi-2) \D для i Е w,дляJ, -i =!= j.ПустьQti,iЕIXI ::;;D и П Xi r:f. D. PaciEwI \ Хо, Wi = П Xi иiEww}(Ходля i ~ 2. Ясно, что Wi r:f.~n ... n Xi-1)U Wi =iEwалгебраическиеры Е, Х ~ D-prodAi,w, Z = {Фi(vi)с Th((D-prod!2ti)x) 1-тип сигнатуры Ех и Фоная формула.системы сигнасчетно полным,1i-I и Win W3 =системые5сигнату-Е w} - совместныйтождественно истинГл.1825.Теория моделейПусть !В= (D-prod2ti)x и Х = {Dfk I k Е w}.
Рассмотрим обогащения !Вi систем Qti сигнатуры "Ех, для которых c~Jk = Jk(i). Ясно,что !В = D-prod !Вi и для всех k Е w имеет место{i Е l j !EiВозьмем такое(5.12)k, п Е w, k Е Wn,m(k) - наибольшее число измножества {О, 1, ... , п }, для которого !Бk 1= :Jv1 ( Фо Л ... Л Фm(k) ). Таккак Wi n Wj = е для i =f:.
j и Фо тождественно истинна, то такое fбыло !БkЕ1= :Jv1(Фo Л ... Л Фk)} Е D.fl-prod Bi,чтобы для любых1= Фo(fk) Л ... Л Фm(k)(fk),гдеможно выбрать.Покажем, что для любого{i Е lkoЕw, ko ~ 1, выполняетсяl !Бi 1= Фk0 (fi)}Е(5.13)D,и предложение тем самым будет доказано. Рассмотрим множествоG = {i Е IИз\(Wo U ... U Wk 0 -1).(5.12) и из того, что Wo (/:. D, ... , Wko-l (/:.
D, получаем G Е D. Таккак т( i) ~Еl !Бi 1= :Jv1(Фo Л ... Л Фk0 )}I [ !Вikoдля любого1= Фk(fi)},iЕG,то из построенияfвытекаетоткуда получаем (5.13).G~{iЕОУпражнения1. Показать, что в !Бп (Т) истинны аксиомы булевых алгебр.2. Пусть сигнатура "Ео состоит из счетного множества {ri I i Е w}одноместных предикатов и теория То определяется множествомаксиомПоказать, что То-полная теория, не имеющая универсальнойсчетной модели. (Указание.2(r "Е1с::: !Вных моделейr "Е1Полнота То следует из того, чтодля любой конечной "Е1 ~ "Ео И любых счет2t, !Втеории Т; отсутствие универсальной моделиТ следует из того, что все !-типы{si(v1)1i Е w, Si Е {ri, ·ri}}совместны с То.)§ 5.6.Теорема5.1.11Категоричностьпоказывает, чтоTh(2t)для бесконечной системы 2(не определяет 2( (с точностью до изоморфизма).
Однако существуетинтересный класс систем2t,теория которых определяет 2( с точностьюдо изоморфизма среди систем той же мощности. В этом параграфемы рассмотрим некоторые свойства теорий таких систем. Сигнатурыв этом параграфе имеют счетную или конечную мощность.Категоричность§ 5. 6.183Определение.
Класс К алгебраических систем сигнатуры Е называется категоричным в мощности и или и-категоричным, если всесистемы из К мощности и изоморфны между собой. Теория Т сигнатуры Е называется категоричной в и, если класс Кх(Т) являетсяи-категоричным.Если класс К не имеет систем мощности и, то по определению онкатегоричен в и. Если Ккласс алгебраических систем (Т--теория)сигнатуры Е, то через К00 (через Т00 ) обозначаем класс бесконечныхалгебраических систем из К (теориюТ U { :3v1 ... 3vn ( Л~ Vj) п Е uJ}).~Vi1i<j,(nЯсно, что КЕ(ТrХ))Предложение=(КЕ(Т))оо-5.6.1.Если теория Т сигнатуры Е категоричнав некоторой бесконечной мощностии и Т00совместна,то Т00полна.До к аз ат ель ст в о.Пусть Qt и !ВДостаточно показать, что Qtэлементарные подсистемы-две бесконечные модели Т.= !В.
По теореме 5.1.5 существуют счетныеl2t1 -< Qtи !131 -< !13. По теореме 5.1.8 сущеl2t2 >-- l2t1 и !132 >-- !131 мощности и. Так!132. Следовательно, Qt !В.Оствуют элементарные расширениякакl2t2изоморфна!132,то А2==Если Т полна и имеет конечные модели, то по следствию5.1.3все модели Т изоморфны некоторой конечной системе. До конца этогопараграфа пусть Т обозначает полную теорию сигнатуры Е, имеющуюбесконечные модели.
Заметим, что из полноты теории Т следует выполнимость любого главного совместного п-типа в любой модели Т.Теорема5.6.2(Ч. Рыль-Нардзевский). Для того чтобы теория Т была категорична в счетной мощности, необходимо и достаточно, чтобы для любого п Е w алгебры !Бп(Т) были конечны.До к аз ат ель ст в о.Необходимость. Пусть !Бпа (Т)ная булева алгебра.
Так как Т полна, то l!Вo(T)Iпо>О. По предложению2.3.5= 2,-бесконечследовательно,существует неглавный ультрафильтр И1на !Бп 0 (Т). Ясно, что по-тип Z = {Ф Е Fn 0 (E)IIФII Е И} являетсянеглавным по-типом в Т. По теореме 5.4.6 существует счетная модель Qt теории Т, в которой он опускается. Так как ТUZсовместно, топо теореме о существовании модели существует модель !В, в которойZреализуется. Так как можно считать !В счетной, то Т не являетсясчетно категоричной.Достаточность. Пусть !Бп(Т) конечны для всех п Ебойп-типZявляетсяглавнымвТ.Всилуw.Тогда люпредложения5.5.4Гл.184достаточносыщена,показать,длячеговчто5.Теория моделейлюбаясвоюсчетнаяочередьмодель Qtдостаточнобой 1-тип сигнатуры E{a 1, ••• ,an}, где а1,теориипоказать,Тчтоналю... , ап Е А, является главнымв Т1 = Th(Qt{a 1 , ••• ,an}).
Последнее следует из того, что отображение h,переводящее Ф( v1, ... , Vn+l) в Ф( Vt, Са 1 , ••• , Сап), сохраняет отношениеIIФII::;;IIФII (т. е. Т [> Ф----. Ф===}TihФ ----. hФ) и любой (п[>+ 1)-типDсигнатуры Е является главным в Т.Следующее предложение доказано П. Линдстремом.Предложение5.6.3.Если 'v3-аксuоматuзuруемая непротиворечивая теория Т сигнатуры Е категорична в счетной мощности, тоТ модельно полна.До к аз ат ель ст в о.Будем говорить, что формула Ф(х1,сигнатуры Е сохраняется припереходе к подмоделям... , Хп)(надмоделям) теории Т, если для любых моделей Qt ~123 теории Т и любых... , ап Е А из истинности Ф( а1, ...
, ап) в 123 (в Qt) следует истинностьФ(а1, ... , ап) в Qt (в 123). Рассмотрим множество G формул сигнатурыа1,Е,находящихся в пренексной н. ф.и не сохраняющихся при переходе к подмоделям Т. Ясно, что модельная полнота Т равносильнатому,чтоG=0. Предположим, что Т не модельно полна. Возьмем Фо(х1,... , хп) Е G, кванторная приставка которой имеет наименьшую длину ro. Очевидно, что ro > О. Пусть Фо = QуФо(у, xi, ... , хп),Q Е {'v, 3}. Из минимальности ro следует, что Фо сохраняется припереходе к подсистемам, поэтому Q = 3.
Так как ~i:r,o эквивалентнаформуле с кванторной приставкой длины ro - 1, то из минимальностиro получаем, что Фо сохраняется при переходе к надсистемам.Возьмем{k I cpkтакое= а}ер: w ----.wn,чтодлялюбого а Еwnмножествобесконечно. Строим последовательность Qtm, m Е w, счетных моделей теории Т со следующими свойствами:Ат ~ w и множество w \ Ат бесконечно;1)2) Qtm ~ Qt 5 ДЛЯ m ::;; s;если срт Е3)(Am)n и123 1=Т, для которойсуществует счетная модельФo(1r 1 (cpm),...
, 1rJ;:(cpm)),берем модель Т, удовлетворяющую условиюдля которой 12tm ~ 12tm+ 1 и Qtm+ 1Рассмотрим систему Щ.,= U123 :2Qtm теориито в качестве Qtm+t1)приk=т1= Фо (1r1(срт), ... , 1rJ;: (срт)).+ 1,Qtm, которая в силу \;/3-аксиомати-mЕwзируемости Т является моделью Т (предложениеФо ЕG,которыхющие123то существуют модели Qt ~1231= Фо(а~, .. ,,ап)и Qt1235.2.5, б)).... , апи элементы а1,1= ~Фо(а~, ... ,ап),счетные элементарные подсистемы,Так какЕ А, дляВзяв соответствуможно считать,что Qt исчетны, а в силу категоричности Т в счетной мощности можноКатегоричность§ 5.
6.считать, чтоQt= Qt"'.ет, что срто =(а,,Так как А"' ~... , ап)Е(Am 0 )nw,185то из условия на ср следудля некоторого то ЕТак какw.~ Qt"' ~ 523, то из свойства 3) получаем Qtmo+I F Фо(а,, ... ,ап),следовательно, имеем Qtmo+I F Фо(Ь, а,, ... , ап) для некоторого Ь Е w.QtmoЭто противоречит тому, чтоQt"'F ~:::iywo(y, а,, ... , ап)и Фо сохраняетсяпри переходе к надсистемам.ООтметим, что условие 'vЗ-аксиоматизируемости теории Т в предыдущем предложении является также необходимым для модельной полноты Т. А именно, можно доказать обращение предложения5.2.5, б):если аксиоматизируемый класс К замкнут относительно объединенийсистем, то К 'vЗ-аксиоматизируем.
Поэтому любая модельно полнаятеория V:3-аксиоматизируема.Теория плотно упорядоченных множеств без первого и последнегоэлементов является категоричной в счетной мощности (предложениеи не категорична ни в какой бесконечной несчетной мощности3. l. 7)(упражнениеl).Теория алгебраически замкнутых полей характеристики О категорична во всех бесконечных несчетных мощностях инекатегорична в счетной мощности. Легко строятся примеры полныхтеорий, категоричных во всех бесконечных мощностях, и теорий, некатегоричных во всех бесконечных мощностях. Как показал М. Морли,других случаев <<распределения>> категоричности для полных теорийсчетной сигнатуры с бесконечными моделями не существует.Оставшуюся часть параграфамыпосвятим следующей теореме,доказанной Е. А.
Палютиным. В ее доказательстве находят применениемногие результаты даннойметод теории моделейТеорема5.6.4.-главы, а также иллюстрируется важныйметод минимальных множеств.Если квазимногообразие К категорично в счетной мощности, то оно категорично во всех неединичных мощностях.Класс неодноэлементных систем из К обозначим через К+. Пустьв дальнейшем Ктуры:Е,для-счетно категоричное квазимногообразие сигнакоторогоК+непуст.ЭлементыклассовК,К+иК00 будут называться соответственно К -системами, К +-системамии К00 -системами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
