1611678200-36438fb4f1ee6f855c93dc4a315ea8eb (826633), страница 39

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 39)

Под формулой мы будем понимать, если не ого­воренопротивное,формулу сигнатурыоговорено противное, буквами Qt,523:Е.Вдальнейшем,w обозначаем упорядоченный набор (w1, ... , wn), при этомw Е А, если w 1, ... , Wn Е А, и Ф(w) вместо Ф(w1, ... , wn).Черезшемеслили Ф(у, х)жество-небудут обозначаться К-системы.пи­Ес­формула, а Е А, то через Ф(Qt, а) обозначается мно­{bEAIQtFФ(b,a)}.Еслиt(y1, ...

,ym,x) -терм, аЕАГл.186и Х1 ~А,Теория моделей5.... , Xm ~ А, то через t'Z1(X1, ... , Xm, а) обозначается множе­ство{Ьо Е А I Ьо = tQ!(Ь1, ... , Ьm, а) для некоторых Ь1 Е Х1, ... , Ьm Е Xm},Если Х1 = ... =ДляXm = Х, то вместо t'Z1(X1, ... ,Хт,а) пишем t'Z1(X,a).сокращенияобщностизаписив записимыбудемквазитождеств,\fx1 ... \lxn Ф(х1, ...

, Хп)через Ф(х1,частот. е.опускатькванторывсе­обозначать квазитождество... , Хп).Для простоты обозначениймы будем также отождествлять <<диагональные,> элементы !а Е А 1 ,которые тождественно равны а Е А наI,с элементом а Е А. Поэтому211 .система 21 будет считаться подсистемой своей декартовой степениЭто возможно в силу того, что отображение, сопоставляющее элемен­ту а Е А элемент !а Е А 1 , является изоморфизмом 21 на подсистемудиагональных элементов 21 1 .В силу предложений5.6.

lи5.6.3и модельно полной. Из предложенийтеория Th(K00 ) является полной5.2.5, а) и 5.2.8, а) получаем, чтокласс К замкнут относительно подсистем и декартовых произведений.В частности, из К+ =/:- !Z5 следует К 00 =/:- eJ.Леммаа). Если предложение Ф условно фильтруется вме­5.6.5.сте со своим отрицанием ~Фи истинно на некоторой К+-системето оно истинно на любой К+-системе.

Фильтрующееся предло­21,жение и квазитождество условно фильтруются вместе со своимиотрицаниями.б). Для любой К-системы21и любого конечного множества Х ~~ А система 21(Х) конечна.До к аз ат ель ст в о. а). Если предложение Ф ложно в К+ ·систе­ме !.В, то из условной фильтруемости Ф и ~Ф следует, что Ф истин­но вФ-21w и ложно в !.Вw. Это противоречит полноте Th( К00 ).

Еслифильтрующаяся формула, то условная фильтруемость ~Ф очевид­на. Условная фильтруемость квазитождества показана в доказатель­стве предложенияпредложению :3х1мулы. По лемме6).Пусть5.2.8, а). Отрицание квазитождества Ф эквивалентно... 3хп(Ф1 /\ ~Ф2), где Ф1, Ф2 - фильтрующиеся фор­3.3.3формула ~Ф условно фильтруется.система 21(а1,... , ап) бесконечна. Для каждого а ЕЕ А(а1, ... , ап) существует такой терм ta(v1, ... , vn), что t~(a1, ...

, ап) ==а.Тогда формулыVn+Iно неэквивалентными в~ta(v1, ... , Vn),а Е А(а1,w-катеrорична, то это противоречит теоремеЛемма5.6.6.... , ап),будут попар-Th(21(a1, ... , ап)) = Th(K00 ). Так как Th(K00 )Пусть Ф(у, х)5.6.2.D- фильтрующаяся формула, 21 Е К+,а= (а 1 , ...

, ап) Е А и Ф(21, а) содержит не менее двух элементов.§ 5.6.Категоричность187Тогдаа) существует такой термб) для любой !.13 Е К+ и Ьt(y, х),=(Ь1,что tQl(Ф(21, а), а)= А;... , Ьп) Е В множество Ф(!.13, Ь)содержит не менее двух элементов или пусто.До к аз ат ель ст в о.а). Докажем сначала, что если Ф(21, а) бес­конечно, то множество Х{ti (v1, ... , Vi)i>1< i < w}О=Ф(21, а)U {а1, ... , ап}порождаетПусть21.- нумерация всех термов.

Для каждого i Е w,п, рассмотрим формулу'1ii(vo, v1, ... , vn) == :3vn+i=3Vп+2 ... :3vi (VVo ;:::; tj /\j<i/\ Ф( Vk,n<k<iVJ, •.• , Vn)),истинность которой на системе !.13 при интерпретации 'У: {vo, .... . . , vn} -+ В равносильна тому, что 'Y(vo) есть значение термаt]('Y(v1), ... ,'Y(Vn),Ьn+l,···,Ьj), где j ~ i И Ьn+l,···,bj Е Ф(!JЗ,'У(v1), ...... ,'У(vп)). Ясно, что для любого Ь Е А(Х) существует i Е w,i ) п, для которого 21(Х) F Фi(Ь, а). По теореме 5.6.2 существуеттакоеконечноемножествочто{i 1, ...

, ik},длялюбогоi Е wсправедливоTh(K00 ) t> l]ii -+ ('1ii, V ... V l]iik). Тогда в 21(Х)истинно \fvo('1ii,(vo,a) V ... V l]iik(vo,a)). Так как 21(Х)-< 21, тоэта формула истинна в 21, откуда получаем, что 21 порождаетсямножествомХ.Предположим,такие ьi Е А, п ~ i Е w,an+l,···,aiбесконечночтоа)ложно.Тогдасуществуютчто t~(a, an+I, ... 'ai) =1- ьi для любыхЕ Ф(21,а). Тогда множество У= Ф(21"',а)и g ~ А"' (У U { а1, ... , ап} ), где gi = Ьi,=(Ф(21,а))"'Этоi Е w.противоречит предыдущему.б). Предположим, что существуют такие !.13 Е К+ и Ь Е В, чтоФ(!.13, Ь) = {do}.

В силу фильтруемости Ф множество Ф(21 х !.13, а х Ь)равно Ф(21,а) х {do}, где ахЬ= ((а1,Ь1), ... ,(ап,Ьп)). Пусть ао Е А;d1,d2 ЕВ, d1 =f:. d2, тогда по а) имеемt( (с1, do), ... , (cm, do), ах Ь)= (ао, d1),t( (с;, do), ... , (с~, do), ах Ь) = (ао, d2)для некоторого термаЕ Ф(21, а).Изt(y1, ... , Ym, х)определенияи некоторых с1, ... , Cm, с;, ... , с~ Еоперацийна21х!.13..

. , do, Ь) = d1получаемиз первого равенства и t(do, ... , do, Ь)равенства, что противоречит условию d1 =f:. d2.Рассмотрим максимальное совместное сTh(K)= d2t(do, ...из второгомножествоОГл.188где Фi(v1,v2),iЕ w, -Теория моделей5.атомарные формулы. Пусть сигнатура 'Е* по­лучается из 'Е добавлением двух новых констант с 1 , с2. Рассмотримквазимногообразие К* сигнатуры 'Е*, множество аксиом которого со­стоит из аксиом К, а также квазитождеств v1 ~ v 1---+Ф(с1, с2) дляатомарных формул Ф(v1,v2) Е Х* и квазитождеств Ф(с 1 ,с2)---+ v1 ~ v2для атомарных Ф(v1,v2)Леммаtj.Х*5.6.7.

а). Для любой К+-системы QtQt *, что Qt * 1'Е = Qt.существует такаяК* -системаб). Квазимногообразие К* категорично в счетной мощности.До к аз ат ел ь ст в о. а). В силу максимальности Х* достаточно по­казать, что Х* выполняется в любой К+-системеследует существование такого по Еw,чтоTh(Kao)Qt.Из теоремы[> (Фо Л...5.6.2Л Фп 0 )---+---+ Фi для всех i Е w. Так как Као =f 0, то по лемме 5.6.5 а) выполняетсяQt р (Фо Л ... Л Фп 0 )---+ Фi для всех i Е w. Поэтому достаточно показать,что в Qt истинно предложение :3v1:3v2Ф(v1,v2), где Ф(v1,v2) равна~v1 ~ v2 Л Фо Л ... Л Фnо· Пусть Х* выполняется в К-системе~- ТогдаIBI > 1 и :3v1:3v2Ф(v1,v2) истинно в Као-системе 23"". В силу полнотыTh(Kao) имеем Qt"" р Ф(/1, /2) для некоторых /1, /2 Е А"".

Так какQt""~/1 ~ /2, то /1 io =f f2io для некоторого io Е w. Из фильтруемостиФо Л ... Л Фп 0 получаем, что QtФ(f1io, f2io).б). Как было показано в доказательстве теоремы 5.6.2, каждая счет­ная Као-система является насыщенной. Так как любая К::О-система Qt*является обогащением некоторой Као-системы Qt на две константы, тоQt* является насыщенной. Поэтому в силу предложения 5.5.4 достаточ­но показать, что любые К::О-системы Qt, 23 элементарно эквивалентны.Пусть vQ!(c1) = a1,vQ!(c2) = a2,v~(c1) = b1,v~(c2) = Ь2. Так как ква­зитождества Ф(с1, с2) ---+ v1 ~ v2 эквивалентны в Th(K+) предложениюr=r=~Ф(с1, с2), то из аксиом К* следует, что отображение, сопоставляю­щее элементам а1, а2 соответственно элементы Ь1, Ь2, продолжается доf: 12to .'::::', 230, где 12to = Qt( а1, а2) 1'Е и 230 = 23(Ь1, Ь2) 1'Е.f продолжается до изоморфизма Као-систем Qt0 ~ Qt"" 1'Е и 230 ~~ 23"" 1'Е.

Следовательно, (Qt0, а1, а2) = (23 0, Ь1, Ь2) и в силу модельнойполноты Th(Kao) получаем (Qt"" 1'Е,а1,а2) = (23"" 1'Е,Ь1,Ь2). Снова измодельной полноты Th(Kao) получаем (Qt 1'Е, а1, а2) = (23 1'Е, Ь1, Ь2),изоморфизмаТогдаследовательно, имеет местоQt = 23.ОВ дальнейшем будем предполагать, что сигнатура 'Е содержит кон­станты с,, с2 и предложение ~с, ~ с2 истинно в любой К+-системе.Такое предположение для доказательства теоремылать в силу леммыК+-системаQt(0),5.6.7.5.6.4носитель которой состоит из значений вных термов. Из леммыможно сде­Тогда для любой К+-системы определена5.6.5, а)следует, чтоQt(0)~23(0)Qtконстант­для любых§ 5.

б.К+-систем21в К-системеКатегоричность189и !В. Множество Х ~ А назовем атомно минимальнымесли21,IX >и для любой атомарной формулы Ф(у, х),l1n Ф(21, а)любого а Е А множество Хпусто, одноэлементно или рав­но Х.Лемма5.6.8.СуществуеттакаяФ* (v 1 ), что для любой К+ системыминимально в21фильтрующаясяформуламножество Ф* (21) атомно21.Доказательство.К+-система !ВоПусть= !13(.0)!В Е К+.конечна.Ф* (v1) атомарных формул, что IФ* (!Во) 1 >формулы Ф( v1) множество Ф* (!Во)равно Ф*(!Во). Пусть Ф(у,х)элемент Ь Е ВоявляетсяПоРассмотримln Ф(!Во)лемметакую5.6.5,б)конъюнкциюи для любой атомарнойпусто, одноэлементно илиатомарная формула. Так как любой-значением в!Воконстантного терма,томножество Ф*(!Во) n Ф(!Во, Ь) пусто, одноэлементно или равно Ф*(!Во)для любого Ь Е Во.

В силу леммы 5.6.7 б) не существует такиха, Ь Е Во, что Ф* (!Во) ~ Ф(!Во, Ь) и Ф* (!Во) n Ф(!Во, а) одноэлементно.Таким образом, в !Во истинно одно из следующих квазитождеств:а) (Ф*(v1)/\Ф(v1,x)I\Ф*(v2)/\Ф(v2,x)) ....... v1 ~v2;б) (Ф*(v1)/\ Ф(v1,х) /\ Ф*(v2)) .......По леммеК+-системе5.6.5 а)21.Ф(v2,х).одно из этих квазитождеств истинно в любойТак как Ф*(21)2Ф*(21(.0)) и21(.0)21.~ !Во, то IФ*(21)1Следовательно, Ф*(21) атомно минимально вПустьОЕ К+· Множество Х ~ Ф*(21) назовем базисом для21> l.21,есливыполняются следующие условия:l)21(Х)= 21;еслиа1,21 1=Ф( а1,Лемма5.6.9.2)...

, anпопарноразличныеэлементыХи... , an)длянекоторойатомарнойформулыФ(v 1 , ... ,vn), то в любой К+-системе истинно квазитождество(Ф*(v1) /\ ... 1\ Ф*(vn))---, Ф(v1, ... , Vп)а). Если Ф(у, х)Ф(21, а)= {Ь} для К+-системырого терма-фильтрующаяся формула и21 и а Е А, то t<д(а)б). Каждая К+-система21210= 21(а).в К 00 -системеЕсли а) не выполняется,210истинно. Это противоречит модельной полнотеб). Пусть Х ~ Ф*(21)2).Ь для некото­имеет базис.До к аз ат ель ст в о.

а). Пустьчто предложение ЗуФ(у, а)условию=t(x).-ложно, а в21w 2 210Th(K00 ).максимальное множество, удовлетворяющееВ силу леммы5.6.6,а) достаточно показать, что 21(Х)содержит Ф*(21). Предположим, что существует ао Е Ф*(21)Пусть\А(Х).211= Ф(ао,а1, ... ,ап) для атомарной Ф(vo,v1, ... ,vn) и попарноГл.190различныхФ*(21)211=а1,имеем... , апЕ Х.5.ВФ*(21) ~ Ф(21, а1,Ф*(tо) Л Ф(tо,а1,... ,ап)Теория моделейсилуа)...

, ап).иатомнойминимальностиТак как Ф*(21(0)) =/:-0,тодля некоторого константного термаto.Так как Х удовлетворяет условию 2) и Ф*(tо) Е Th(K+) (лемма5.6.5, а)), то множество Ф*(!В) Л Ф(!В, Ь1, ... , Ьп) не пусто для любойК+-системы !В и любых Ь1,... ,Ьп Е Ф*(!В). Поэтому в силу леммы... ,ап) n Ф*(21)1 > 1 и атомной минимальностиистинность Ф(Ьо, Ь1, ... , Ьп) в любой К+-системе !В для5.6.6,б) из IФ(21,а1,Ф* (!В) получаемлюбых Ьо, Ь 1 , ••• , Ьп Е Ф*(!В). Следовательно, Х U {ао} удовлетворяетусловию2),что противоречит максимальности Х.Доказательство теоремыстемы одной мощности х и Х, У-D5.6.4.

Характеристики

Список файлов книги