1611676862-a9490cc55273dc5a0c742f1aee83dda6 (826611)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Дифференцируемые функции.Монотонность дифференцируемых функций:Критерий монотонности функции. Пусть функция f дифференцируема на (a, b) ⊂ R.Функция f возрастает (убывает) на (a, b) тогда и только тогда, когда f ′ (x) ≥ 0 (f ′ (x) ≤ 0), ∀x ∈(a, b).Функция f строго возрастает (убывает) на (a, b) тогда и только тогда, когда f ′ (x) > 0 (f ′ (x) <0), ∀x ∈ (a, b).Функция f постоянна на (a, b) тогда и только тогда, когда f ′ (x) = 0, ∀x ∈ (a, b).Достаточное условие локального экстремума:Теорема. Пусть функция f непрерывна на (a, b) ⊂ R и дифференцируема на (a, b), кромеможет быть точки x0 ∈ (a, b).

Если f ′ положительна (отрицательна) на (a, x0 ) и отрицательна(положительна) на (x0 , b), то x0 — точка локального максимума (минимума) функции f .Теорема. Пусть функция f дифференцируема на (a, b) и имеет вторую производную в точкеx0 ∈ (a, b), причем f ′ (x0 ) = 0. Тогда если f ′′ (x0 ) > 0 (f ′′ (x0 ) < 0), то x0 — точка локальногомаксимума (минимума) функции f .Выпуклость дифференцируемых функций:Опр.Дифференцируемую на (a, b) функцию f назовем:a) выпуклой вниз (строго выпуклой вниз) на (a, b), если ее график расположен не ниже (выше)касательной, проведенной к графику в каждой точке интервала (a, b);b) выпуклой вверх (строго выпуклой вверх) на (a, b), если ее график расположен не выше (ниже)касательной, проведенной к графику в каждой точке интервала (a, b);Опр.(общее) Функция f , определенная на некотором интервале (a, b), выпукла вниз, если длялюбых двух значений аргумента x, y и для любого числа t ∈ [0, 1] выполняется неравенствоЙенсена:f (tx + (1 − t)y) ≤ tf (x) + (1 − t)f (y).Если это неравенство является строгим для всех t ∈ (0, 1) и x ̸= y, то функция f строго выпуклавниз.

Если выполняются обратные неравенства, то выпукла вверх и строго выпукла вверх.Теорема. (Первый критерий выпуклости) Пусть функция f дифференцируема на (a, b). Тогдаf выпукла вниз (вверх) на (a, b) в том и только том случае, если ее производная f ′ возрастает(убывает) на (a, b).Следствие.Пусть функция f дифференцируема на (a, b). Тогда f строго выпукла вниз (вверх)на (a, b) в том и только том случае, если ее производная f ′ строго возрастает (убывает) на (a, b).Теорема. (Второй критерий выпуклости) Пусть функция f дважды дифференцируема на(a, b). Тогда f выпукла вниз (вверх) на (a, b) в том и только том случае, если f ′′ неотрицательна (неположительна) на (a, b).Следствие.

Пусть функция f дважды дифференцируема на (a, b) и f ′′ положительна (отрицательна) на (a, b). Тогда f строго выпукла вниз (вверх) на (a, b).Точки перегиба:Опр. Пусть f непрерывная на (a, b) функция либо дифференцируема в точке x0 ∈ (a, b), либоимеет бесконечную производную. Точку x0 называют точкой перегиба функции f , если найдетсятакая окрестность Uδ (x0 ), в пределах которой функция имеет разные направления (строгой)выпуклости слева и справа от точки x0 .Теорема.

(Необходимое условие перегиба) Пусть функция f дифференцируема на (a, b) и вточке x0 ∈ (a, b) имеет вторую производную. Если x0 — точка перегиба, то f ′′ (x0 ) = 0.Теорема. (Первое достаточное условие перегиба) Пусть функция f дважды дифференцируемана (a, b), за исключением, может быть, точки x0 ∈ (a, b) в которой она либо дифференцируема,либо имеет бесконечную производную. Если существует такая окрестность Uδ (x0 ), в пределахкоторой f ′′ (x) имеет разные знаки по разные стороны от точки x0 , то x0 — точка перегибафункции f .Теорема. (Второе достаточное условие перегиба) Пусть функция f дважды дифференцируемана (a, b) и в точке x0 ∈ (a, b) имеет производную третьего порядка.

Если f ′′ (x0 ) = 0, а f ′′′ (x0 ) ̸= 0,то x0 — точка перегиба функции f .Асимптоты:Асимптотой графика функции f называют прямую, к которой график функции "неограниченно приближается когда точка (x; f (x)) графика уходит в бесконечность. Различают вертикальные и наклонные (в частности, горизонтальные) асимптоты.Опр. Прямую x = x0 назовем вертикальной асимптотой функции f , если хотя бы один изпределов lim f (x),x→x0lim f (x),x→x0 −0lim f (x) существует и равен ∞.x→x0 +0Опр. Прямую y = kx + b назовем наклонной асимптотой функции f при стремлении x к ∞(+∞, −∞), если lim (f (x) − (kx + b)) = 0 ( lim (f (x) − (kx + b)) = 0, lim (f (x) − (kx + b)) = 0).x→∞x→+∞x→−∞Теорема.

Прямая y = kx + b служитa) асимптотой графика функции f при стремлении x к ∞ тогда и только тогда, когдаf (x)= k, lim (f (x) − kx) = b.x→∞ xx→∞limb) асимптотой графика функции f при стремлении x к +∞ тогда и только тогда, когдаf (x)= k, lim (f (x) − kx) = b.x→+∞ xx→+∞limc) асимптотой графика функции f при стремлении x к −∞ тогда и только тогда, когдаf (x)= k, lim (f (x) − kx) = b.x→−∞ xx→−∞limПостроение графиков функций:Полное исследование функции, имеющее целью построение ее графика, включает в себяследующие действия:1) нахождение области определения функции;2) установление свойств четности (нечетности) и периодичности, если они имеются;3) нахождение точек пересечения с осями координат и промежутков знакопостоянства;4) нахождение промежутков монотонности и точек экстремума;5) нахождение промежутков выпуклости и точек перегиба;6) установления характера поведения функции при приближении к границам области определения, в частности, нахождение асимптот, если они имеются..

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов учебной работы