1611672539-677b29cdbc8eab584ceda70868ef891f (826572), страница 6
Текст из файла (страница 6)
. . . . . . . . . . . . . ∈ Mn(F [t]),gn1(t) . . . gnn(t)deg gij ≤ n − 1.Разложим по степеням переменной t:(A − tEn)× = B0 + tB1 + · · · + tn−1Bn−1,Bk ∈ Mn(F )Как известно,(A − tEn)(A − tEn)× = det(A − tEn)En = χA(t)En,(A − tEn)(B0 + tB1 + · · · + tn−1Bn−1) = tncnEn + · · · + tc1En + c0En.Сравним коэффициенты при степенях t:при tn : −Bn−1 = cnEntn−1 : −Bn−2 + ABn−1 = cn−1En...tk : −Bk−1 + ABk = ck En...t1 : −B0 + AB1 = c1Ent0 : AB0 = c0EnЛегко видеть, чтоχA(A) = An(cnEn) + An−1(cn−1En) + · · · + A(c1En) + c0En= − AnBn−1 + (−An−1Bn−2 + AnBn−1) + · · · + (−AB0 + A2B1) + AB0=0 — все сокращается.Напомним, чтопроизведение матриц = суперпозиция линейных операторов.Поэтому если ϕ : V → V имеет в некотором базисе матрицу [ϕ] = A,тоϕm : v 7→ |ϕ(ϕ(..
. ϕ}(v) . . . )),{zmv ∈ V, m ≥ 1,имеет в этом же базисе матрицу [ϕm] = Am.Следствие. Если ϕ : V → V — линейный оператор на конечномерномвекторном пространстве V , χϕ(t) = cntn + · · · + c1t + c0, тоχϕ(ϕ) = cnϕn + · · · + c1ϕ + c0id = 0— тождественно нулевое преобразование.Пример. Пусть V = R3, ϕ : V → V задано правиломϕ(x) = Ax,2 1 1A = 1 2 1 ,1 1 2x1 x = x2 ∈ R 3 .x32 − t11 χϕ(t) = χA(t) = 12−t1 = (1 − t)2(4 − t). 112 − tКорни (собственные значения) λ1 = λ2 = 1, λ3 = 4.Собственные векторы = ненулевые решения систем уравнений(A − λiE3)x = 0λ1 = λ2 = 1: x1 + x2 + x3 = 0 — плоскость с базисом (ФСР)1v1 = −1 ,00v2 = 1 −1λ3 = 4: −2x1 + x2 + x3 = 0, x1 − 2x2 + x3 = 0 — прямая с базисом 1 v3 = 11По определению,ϕ(v1) = Av1 = v1 + 0v2 + 0v3ϕ(v2) = Av2 = 0v1 + v2 + 0v3ϕ(v3) = Av3 = 0v1 + 0v2 + 4v3Поэтому1 0 0[ϕ]v1,v2,v3 = 0 1 0 .0 0 4Инвариантные подпространстваПусть ϕ : V → V — линейный оператор, U ⊆ V — подпространство.U называется инвариантным относительно ϕ, еслиϕ(u) ∈ U для любого u ∈ U .Примеры.1) U = {0};2) U = V ;3) Пусть v1, .
. . , vk ∈ V — собственные векторы оператора ϕ.Тогда U = L(v1, . . . , vk ) инвариантно относительно ϕ.Предложение.Пусть ϕ : V → V — линейный оператор, dim V = n. Пространство Vимеет k-мерное подпространство U , инвариантное относительно ϕ, тогдаи только тогда, когда в некотором базисе матрица оператора ϕ имеетполураспавшийся вид:[ϕ] =!A B,0 CA ∈ Mk (F ), B ∈ Mk,n−k (F ), C ∈ Mn−k (F ).Доказательство.(⇒) Пусть U — k-мерное инвариантное подпространство,u1, . . . , uk — базис U .Дополним до базиса всего пространства V : u1, .
. . , uk , vk+1, . . . , vn.Матрица ϕ в этом базисе — полураспавшаяся:ϕ(u1) = a11u1 + · · · + ak1uk + 0vk+1 + · · · + 0vn...ϕ(uk ) = a1k u1 + · · · + akk uk + 0vk+1 + · · · + 0vn.(⇐) Аналогично:Если в некотором базисе e1, . . . , en пространства Vматрица оператора ϕ полураспавшаяся, тоU = L(e1, . . . , ek )— инвариантное k-мерное подпространство.Индуцированные операторыПусть ϕ : V → V — линейный оператор, U ⊆ V — подпространство,инвариантное относительно ϕ.Тогда можно определитьϕ|U : U → U,ϕU : V /U → V /U,ϕ|U (u) = ϕ(u), u ∈ U ;ϕU (v + U ) = ϕ(v) + U— корректно определенные линейные отображения, которые называютсяиндуцированными операторами.Если u1, .
. . , uk — базис U ,vk+1 + U, . . . , vn + U — базис V /U , то[ϕ]u1,...,uk ,vk+1,...,vn =!A B,0 CгдеA = [ϕ|U ]u1,...,uk ,C = [ϕU ]vk+1+U,...,vn+UСледствие.Если V = U1 ⊕ · · · ⊕ Um, где Ui — подпространства,инвариантные относительно ϕ, то в некотором базисе матрица [ϕ] имеетклеточно-диагональный видA1 0 . . . 0 0 A... 0 2[ϕ] = . . . . . . . . .
. . . . . . . .00 . . . Amгде Ai — квадратные матрицы размера dim Ui, i = 1, . . . , m.13. Линейные операторы на векторных пространствах(продолжение)Полупростые операторыПусть ϕ : V → V — линейный оператор, dim V = n;Говорят, что оператор ϕ полупростой,если для всякого ϕ-инвариантного подпространства U ⊆ V найдетсяϕ-инвариантное подпространство W ⊆ V такое, что V = U ⊕ W .Пример. ϕ : !R2 → R2, ϕ(x) = Ax, где42A=−3 −1(?) полупростой: существует инвариантное дополнение к любомуинвариантному подпространству U!aU = {0}, U = R2 — очевидно; Допустим, U = L(v), v =,b!1a + b 6= 0 ⇒ W = L(v1), v1 =;−1!2a + b = 0 ⇒ W = L(v2), v2 =.−3Пример.
!ϕ : R2 → R2, ϕ(x) = Ax, где1 1A=0 1(?) не полупростойПодпространство U = L(e1) не имеет инвариантного дополнения W :если W = L(v), то Av = λv ⇒ v = αe1 — линейно зависимыЛемма. Пусть ϕ — полупростой оператор на V , W ⊆ V — ϕ-инвариантноеподпространство. Тогда ϕW — полупростой оператор на W .Доказательство. По определениюU ′ ⊆ W ⊆ V ⇒ V = U ′ ⊕ W ′ для некоторого ϕ-инвариантного W ′ тогдаW = U ′ ⊕ (W ∩ W ′)W ∩ W ′ — искомое ϕ-инвариантное дополнение.Теорема.Пусть V — конечномерное векторное пространство над алгебраическизамкнутым полем F .
Оператор ϕ : V → V является полупростым тогда итолько тогда, когда в некотором базисе v1, . . . , vn пространства V матрицаэтого оператора диагональна:λ1 0 . . . 00 λ... 0 2[ϕ]v1,...,vn = . . . . . . . . . . . . . . .0 0 . . . λnДоказательство.(⇒) Пусть ϕ полупростой.Индукцией по n = dim V .n = 1 — очевидно.n − 1 → n:Найдем собственное значение λ1 ∈ F оператора ϕ.Оно найдется, т.к. поле F алгебраически замкнуто.ϕ(v1) = λ1v1,v1 — собственный вектор.U = L(v1) — ϕ-инвариантное подпространство.В силу полупростоты найдется ϕ-инвариантное W : V = U ⊕ W . Выберемкакой-нибудь базис w2, .
. . , wn в W , тогда[ϕ]v1,w2,...,wn =λ100 [ϕW ]!ϕW — полупростой оператор на W по лемме.По предположению индукции найдется базис v2, . . . , vn пространства W ,в которомλ2 0 . . . 00 λ... 0 3[ϕW ]v2,...,vn = . . . . . . . . . . . . . . .0 0 . . . λnСледовательно, v1, v2, . . . , vn — искомый базис пространства V .(⇐) Пусть матрица [ϕ]v1,...,vn диагональна.Допустим, U ⊆ V — ϕ-инвариантное подпространство, dim U = k.Индукцией по n − k покажем, что найдется инвариантное дополнение W .n − k = 0:U = V ⇒ W = {0};n − k − 1 → n − k: Пусть U = L(u1, .
. . , uk ), k < n.Тогда один из векторов v1, . . . , vn (допустим, vi) не выражается в виделинейной комбинации u1, . . . , uk (в противном случае V = U ).Очевидно,U ′ = L(u1, . . . , uk , vi)— ϕ-инвариантное подпространство размерности k + 1.По предположению индукции существует ϕ-инвариантное W ′ такое, чтоV = U ′ ⊕ W ′. Тогда W = L(vi) ⊕ W ′ — искомое дополнение к U .Упражнение. Приведите контрпример к этой теореме для случая F = R(не алгебраически замкнутого поля).Упражнение.
Докажите, что если ϕ — идемпотентный линейный оператор,т.е. ϕ2 = ϕ, то ϕ полупростой.Нильпотентные операторыЛинейный оператор ϕ : V → V называется нильпотентным, если найдетсятакое N ≥ 1, что ϕN = 0.Минимальное такое N называется индексом нильпотентностиоператора ϕ.Пример.V = {f (x) ∈ R[x] | deg f < n} — векторное пространство над R. Оператордифференцированияϕ : V → V,ϕ(f (t)) = f ′(t)является нильпотентным линейным оператором индекса n.Предложение. Следующие условия эквивалентныдля линейного оператора ϕ : V → V , dim V = n:1. ϕ нильпотентный;2.
χϕ(t) = (−t)n;3. ϕn = 0Доказательство.(1) ⇒ (2):Зафиксируем какой-нибудь базис V и рассмотрим матрицу оператора ϕв этом базисе:[ϕ] = A ∈ Mn(F ),ϕN = 0 ⇒ AN = 0.В некотором расширении L поля F χϕ(t) = χA(t) разлагается на линейныемножители:χA(t) = (λ1 − t) . . . (λn − t)где λ1, . . . , λn ∈ L — набор всех собственных значений матрицы A с учетомкратностей (спектр).Для каждого λi существует столбец 0 6= xi ∈ Ln такой, что Axi = λixi.Очевидно, что λ1 = · · · = λn = 0:NxAxi = λixi ⇒ AN xi = A...Ax=λi| {z }i iNAN = 0 ⇒ λNi = 0 ⇒ λi = 0Следовательно, χA(t) = (−t)n.(2) ⇒ (3): По теореме Гамильтона — Кэли.(3)⇒ (1): ТривиальноМатрица A ∈ Mn(F ) называется нильпотентной,если AN = 0 для некоторого N ≥ 1.Упражнение.
Докажите, что если для всякого k = 1, . . . , n след матрицыAk равен нулю, то A нильпотентна.Лемма. Пусть dim V = n и ϕ : V → V — нильпотентный линейныйоператор индекса n. Тогда найдется такой базис v1, . . . , vn пространстваV , что0 1 0 ... 000 0 1 . . ....[ϕ]v1,...,vn = 0 0 0 . .
.10 0 0 ... 0Доказательство.Индекс нильпотентности равен n: ϕn−1 6= 0, ϕn = 0.Выберем vn ∈ V такой, что ϕn−1(vn) 6= 0.Рассмотримv1 = ϕn−1(vn), v2 = ϕn−2(vn), . . . , vn−1 = ϕ(vn), vnЭто искомый базис пространства V .Пример.V = {f (x) ∈ R[x] | deg f < n} — векторное пространство над R.Оператор дифференцированияϕ : V → V,ϕ(f (t)) = f ′(t)является нильпотентным линейным оператором индекса n.Искомый базис:v1 = 1, v2 = x, v3 = x2/2, . .
. , vn = xn−1/(n − 1)!Теорема. Пусть dim V = n, ϕ : V → V — нильпотентный линейныйоператор. Тогда существует разложениеV = U1 ⊕ · · · ⊕ Umпространства V в сумму ϕ-инвариантных подпространств Ui, dim Ui = ni,таких, что для каждого i = 1, . . . , mϕU i : U i → U i— нильпотентный оператор индекса ni.Доказательство. Индукцией по n = dim V .n = 1 ⇒ N = 1 ⇒ ϕ = 0 — все очевидно.Допустим, теорема доказана для всех размерностей < n.Пусть ϕN = 0, N ≤ n, ϕN −1 6= 0.ОбозначимV1 = {v ∈ V | ϕ(v) = 0};V2 = {v ∈ V | ϕ2(v) = 0};...Vk = {v ∈ V | ϕk (v) = 0};...VN = {v ∈ V | ϕN (v) = 0};V1 ⊂ V2 ⊂ · · · ⊂ VN −1 ⊂ VN = V,причем все вложения строгие: Vk = Vk+1 при k < N ⇒ ϕN −1 = 0;ϕ(Vk ) ⊆ Vk−1 ⇒ каждое из подпространств Vk является ϕ-инвариантным.Выберем vN ∈ VN \ VN −1 и построимvN −1 = ϕ(vN ), vN −2 = ϕ(vN −1), .
. . , v1 = ϕ(v2).Векторы v1, . . . , vN линейно независимы;Назовем такую последовательность векторов цепочкой.Положим U1 = L(v1, . . . , vN ) — линейная оболочка цепочки.Это ϕ-инвариантное подпространство.(?) Индукцией по N (индексу нильпотентности) покажем,что существует ϕ-инвариантное дополнение W1: V = U1 ⊕ W1.N = 1: очевидно (ϕ = 0);N − 1 → N : Рассмотрим пространство VN −1 и индуцированный операторϕN −1 = ϕVN −1 .Индекс нильпотентности оператора ϕN −1 равен N − 1.Векторы v1, .
. . , vN −1 образуют цепочку в VN −1.По предположению индукции существуетϕN −1-инвариантное дополнение W :VN −1 = L(v1, . . . , vN −1) ⊕ W.В частности, W является ϕ-инвариантным подпространством в V .Пусть w1, . . . , wM — базис W .Тогда v1, . . . , vN −1, vN , w1, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
