1611672539-677b29cdbc8eab584ceda70868ef891f (826572), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

. pn−1, причемPiPP̃= ,=P̃i =pipi pnqi = 1, 2, . . . , n − 1.Используем предположение индукции, чтобы найти такиеu1, . . . , un−1 ∈ F [x], чтоP̃1u1 + · · · + P̃n−1un−1 = vdeg ui < deg pi,(deg v < deg P̃ ),i = 1, 2, . . . , n − 1.P̃1u1 + · · · + P̃n−1un−1 = vУмножим на q = pn:q P̃1u1 + · · · + q P̃n−1un−1 = qv,q P̃i = Pi,и прибавим pu = Pnu:P1u1 + · · · + Pn−1un−1 + Pnu = qv + pu = fт.е. можно взять un = u, — искомое решение найдено.Единственность: Допустим, найдется два различных таких набораu1, .

. . , un ∈ F [x] :P1u1 + · · · + Pnun = f,v1, . . . , vn ∈ F [x] :P1v1 + · · · + Pnvn = f,deg ui < deg pi,deg vi < deg piВычтем равенства почленно, получимP1(u1 − v1) + · · · + Pn(un − vn) = 0.Наборы различны, поэтому ui − vi 6= 0 для некоторого i ∈ {1, . . . , n}. Безограничения общности полагаем, что u1 − v1 6= 0.Тогда:p. .

. p (u − v1) + p1(. . . ) = 0| 2 {z n} 1P1влечет p1 | u1 − v1, что невозможно ввиду ограничения на степень.Следствие (Китайская теорема об остатках).Пусть p1, . . . , pn, r1, . . . , rn ∈ F [x] — многочлены (n ≥ 2),причем p1, . . . , pn попарно взаимно просты.Тогда найдется такой u ∈ F [x], чтоp 1 | u − r1 , p 2 | u − r2 , . .

. , p n | u − rn .Доказательство.В обозначениях теоремы решим уравнениеP1u1 + · · · + Pnun = 1.Тогдаu = P1u1r1 + · · · + Pnunrn ∈ F [x] — искомое.Действительно,u − ri = P1u1r1 + · · · + Pi−1ui−1ri−1+ Pi ui r i − r i+ Pi+1ui+1ri+1 + · · · + Pnunrnкаждое слагаемое делится на pi.Разложение на простейшие дробиF — полеF [x] — кольцо многочленовF (x) = Q(F [x]) — его поле частных, называется полем рациональныхфункций от переменной x над полем F .Его элементы — классы пар многочленов" #f= {(a, b) | a, b ∈ F [x], b 6= 0, f b = ga},gгде f, g ∈ F [x], g 6= 0.Каждый такой класс содержит единственную пару (a, b), в которой:• gcd(a, b) = [1];• многочлен b унитарный (старший коэффициент = 1).Будем обозначать aa=bbдля краткости.Простейшей дробью над полем F называется рациональная функцияr, где q — неприводим над F , 0 ≤ deg r < deg q.kqТеорема.fЛюбая рациональная функция , в которой deg f < deg g, единственнымgобразом представляется в виде суммы простейших дробей.Доказательство.Покажем сперва существование разложения на простейшие дроби.Пользуясь факториальностью кольца F [x],разложим g на простые множители:g = p1 .

. . pn ,kp i = qi i ,где q1, . . . , qn — попарно различные неприводимые над Fунитарные многочлены.Легко видеть, что p1, . . . , pn попарно взаимно просты и по теоремео диофантовых уравнениях найдутся u1, . . . , un ∈ F [x] такие, чтоP1u1 + · · · + Pnun = f,gгде Pi = , причем deg ui < deg pi.piЗаметим, что gcd(ui, pi) = [1], т.к. иначе получится, что qi | f ,а это не так.Поделим на g:funP u + · · · + Pn unu= 1 1= 1 + ··· +.ggp1pnuiв отдельности.piДля упрощения обозначений примемui = u, pi = p = q k , qi = q.Рассмотрим каждоеПоделим с остатком u на q, потом разделим получившееся частное на qи т.д.:u = Q 1 q + r0 ,deg r0 < deg q, deg Q1 < deg q k−1,Q1 = Q2 q + r1 ,deg r1 < deg q, deg Q2 < deg q k−2,Q2 = Q3 q + r2 ,deg r2 < deg q, deg Q3 < deg q k−3,...Qk−2 = Qk−1q + rk−2, deg rk−2 < deg q, deg Qk−1 < deg q.Qk−1 = rk−1.Получимu = r0 + q(r1 + q(r2 + · · · + q(rk−2 + qrk−1) . .

. ))u = r0 + qr1 + q 2r2 + · · · + q k−1rk−1,deg ri < deg q.Поделим на p = q k :uurr1r= k = 0k + k−1+ · · · + k−1pqqqq— сумма простейших дробей.Покажем единственность.Допустим, найдутся два разложения на простейшие дробиодной рациональной функции. Тогда их разность дает разложение нуляв сумму простейших дробей:kin XXrij= 0,ji=1 j=1 qideg rij < deg qi,где q1, . . . , qn — попарно различные неприводимые над F многочлены.Приведем к общему знаменателю каждую «внутреннюю» сумму:nXuii=1 pikгде pi = qi i .Здесь deg ui < deg pi.= 0,Умножим на P = p1 .

. . pn, получимP1u1 + · · · + Pnun = 0,PPi = .piЭто невозможно при deg ui < deg pi, кроме как для ui = 0.Следовательно,ki rXuiij=0=jpij=1 qiдля каждого i = 1, . . . , n.Приводя к общему знаменателю, видимk −1ui = ri1qi ik −2+ ri2qi i+ · · · + ri ki−1q + ri ki = 0Деля с остатком на q, получаем rij = 0 при всех i, j, что и требовалось.Пример.Простейшие дроби над R и над C.F = C: неприводимые многочлены только первой степени,rb=,qk(x − a)ka, b ∈ C— все простейшие дроби.F = R: два типа неприводимых многочленов (степени 1, 2),b,kr(x−a)=ax + dqk, 2k(x + bx + c)a, b ∈ Ra, b, c, d ∈ R, b2 − 4c < 0Упражнения.• Разложить на простейшие дроби над полем C рациональнуюфункцию1xn − 1• Разложить на простейшие дроби над полем R рациональнуюфункцию1x2n + 113.

Линейные операторы на векторных пространствахПусть V — векторное пространство над полем F , dim V = n.Линейным оператором на V называется линейное отображение из V в V :ϕ : V → V,ϕ(αu + βv) = αϕ(u) + βϕ(v)для всех α, β ∈ F , u, v ∈ V .Если e1, . . . , en — некоторый базис V , то[ϕ]e1,...,en ∈ Mn(F )— матрица преобразования ϕ в базисе e1, . . . , enНапомним, чтоa11 . . . a1n[ϕ] = [ϕ]e1,...,en = . . .

. . . . . . . . . .an1 . . . annеслиϕ(e1) = a11e1 + · · · + an1en,......ϕ(ei) = a1ie1 + · · · + anien,......ϕ(en) = a1ne1 + · · · + annenСмысл матрицы линейного оператора:x = α1 e 1 + · · · + αn e n ,β1α1 ..  .  .  = A  ..  ,βnαnα1 .. [x] = [x]e1,...,en =  . αnA = [ϕ]e1,...,enТогдаϕ(x) = β1e1 + · · · + βnenт.е.[ϕ(x)] = [ϕ][x]x∈VМатрица переходаe1, . . . , en — базис V («старый»);f1, . . . , fn — другой базис V («новый»);x ∈ V — векторx = α1 e 1 + · · · + αn e n ,x = β1 f 1 + · · · + βn f n ,α1 .. [x]e1,...,en =  .

 ,αnβ1 [x]f1,...,fn =  ... βn(?) Как связаны между собой [x]f1,...,fn и [x]e1,...,enПустьf1 = t11e1 + · · · + tn1en,......fi = t1ie1 + · · · + tnien,......fn = t1ne1 + · · · + tnnent11 . . . t1nT = . . . . . . . . . . . . .tn1 . . . tnnназывается матрицей перехода от базиса e1, . . . , en к базису f1, . . . , fn.(!) Матрица перехода невырожденаβ1 .. [x]f1,...,fn =  .  ,βnα1 ..

[x]e1,...,en =  .  ,αnx=nXi=1βi f i =nXi=1βinXtjiej =j=1nXtjiβiej =i,j=1αj =nXnXj=1nXi=1tjiβii=1β1α1 ..  .. [x]e1,...,en =  .  = T  .  = T [x]f1,...,fn .βnαn[x]e1,...,en = T [x]f1,...,fn!tjiβi ejИзменение матрицы линейного оператора при замене базисаe1, . . . , en — базис V («старый»);f1, .

. . , fn — другой базис V («новый»);ϕ : V → V — линейный оператор;A = [ϕ]e1,...,en ,(?) Как они связаны между собойB = [ϕ]f1,...,fnПустьx ∈ V,y = ϕ(x) ∈ V.По определению матрицы оператора[y]e1,...,en = A[x]e1,...,en ,[y]f1,...,fn = B[x]f1,...,fn .По только что доказанной связи между координатами[x]e1,...,en = T [x]f1,...,fn ,[y]e1,...,en = T [y]f1,...,fn .ОтсюдаT B[x]f1,...,fn = T [y]f1,...,fn = [y]e1,...,en = A[x]e1,...,en = AT [x]f1,...,fnВ силу произвольности столбца [x]f1,...,fn получаемT B = AT ⇒ B = T −1ATСобственные значения и собственные векторы линейного оператораХарактеристический многочленПусть V — векторное пространство над полем F , dim V = n,ϕ : V → V — линейный оператор.Вектор v ∈ V называется собственным вектором оператора ϕ,если v 6= 0 и существует такое λ ∈ F , чтоϕ(v) = λv.Скаляр λ ∈ F называется собственным значением оператора ϕ,если найдется такой v ∈ V , v 6= 0, что выполнено (∗).(?) Как найти собственные значения (векторы)(∗)Пусть A ∈ Mn(F ) — квадратная матрица.

Определим характеристическиймногочлен матрицы A:aa12...a1n 11 − t aa22 − t . . .a2n 21χA(t) = det(A − tEn) = ∈ F [t].. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . aan2. . . ann − tn1Замечание. Если B = T −1AT , тоχB (t) = χA(t).Действительно,χB (t) = det(B − tEn) = det(T −1AT − tT −1EnT )= det(T −1(A − tEn)T ) = det T −1 det(A − tEn) det T = χA(t).Пусть A = [ϕ]e1,...,en — матрица линейного оператора ϕ в каком-то базисеe1, . . .

, en пространства V .Тогда χA(t) не зависит от выбора базиса e1, . . . , en.χϕ(t) = χA(t)называется также характеристическим многочленом оператора ϕ.Теорема. Скаляр λ ∈ F является собственным значением оператора ϕтогда и только тогда, когда λ — корень χϕ(t).Доказательство.Зафиксируем базис e1, . . . , en,A = [ϕ]e1,...,en .(⇒) Пусть λ — собственное значение ϕ, v ∈ V — соотв.

собственныйвектор:ϕ(v) = λv,v 6= 0;[ϕ(v)]e1,...,en = A[v]e1,...,en = [λv]e1,...,en = λ[v]e1,...,enСледовательно, x = [v]e1,...,en ∈ F n является решением системы линейныхуравненийAx = λx = λEnx ⇒ (A − λEn)x = 0,x 6= 0.Ненулевое решение существует если и только если матрица вырождена,т.е. det(A − λEn) = 0.(⇐) Аналогично.Теорема Гамильтона — КэлиТеорема.Пусть A ∈ Mn(F ),χA(t) = cntn + cn−1tn−1 + · · · + c1t + c0 ∈ F [t].ТогдаχA(A) = cnAn + cn−1An−1 + · · · + c1A + c0En = 0 ∈ Mn(F )Доказательство.a11 .

. . a1nПусть A = . . . . . . . . . . . . . ∈ Mn(F ),an1 . . . anna11 − t . . .a1nA − tEn = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∈ Mn(F [t]) ⊂ Mn(F (t)),an1. . . ann − tF (t) = Q(F [t])матрица над полем (рациональных функций).Поэтому к ней применимы все теоремы о матрицах над полем.Рассмотрим присоединенную матрицу:g11(t) . . . g1n(t)(A − tEn)× = . . . . . .

Характеристики

Список файлов лекций