1611672539-677b29cdbc8eab584ceda70868ef891f (826572), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

. . , en пространства V ,A = [ϕ]e1,...,en ∈ Mn(R);[ϕ∗]e1,...,en = A⊺,AA⊺ = A⊺A.Рассмотрим операторψ : Cn → Cn ,x 7→ Ax.Матрица оператора ψ в стандартном базисе равна A ⇒ ψ имеет в точностите же собственные значения, что ϕ и является нормальным операторомна унитарном пространстве Cn.λ ∈ C, λ ∈/RНайдем собственный вектор для ψ, соответствующий с.з. λ:w ∈ Cn :Aw = λw, w 6= 0.Выделим в каждой координате вектора w ∈ Cn вещественную и мнимуючасти:x1z1 ..

w=.=xnzny1x1+ iy1..... =  ..  + i  ..  = u + iv,ynxn+ iynu, v ∈ Rn.λ = a + ib, a, b ∈ R, (b 6= 0)Aw = λw = (a + ib)(u + iv) = (au − bv) + i(av + bu),Aw = A(u + iv) = Au + iAvAu = au − bv,⇓Av = bu + avВычислимA(u − iv) = Au − iAv = (au − bv) − i(bu + av) = (a − ib)(u − iv).Видим, что w̄ = u − iv — собственный вектор для λ̄ = a − ib 6= λПоэтому (по следствию об ортогональности)0 = hu + iv, u − ivi = hu, ui − hv, vi + i(hv, ui + hu, vi)т.е.

hu, ui = hv, vi, hu, vi = 0 в пространстве Rn.Рассмотрим построенные векторыx1 .. u =  . ,xny1 .. v =  . .ynМы установили, что hu, ui = hv, vi = r 2 > 0, hu, vi = 0.Обозначим11v1 = (x1e1 + · · · + xnen), v2 = (y1e1 + · · · + ynen),rrВекторы v1, v2 ∈ V образуют ортонормированную систему, причемAu = au − bv, Av = bu + av ⇒ ϕ(v1) = av1 − bv2, ϕ(v2) = bv1 + av2.Следовательно, U = L(v1, v2) ⊆ V — ϕ-инвариантное подпространство,[ϕU ]v1,v2 =a b−b a!(?) U ⊥ является ϕ-инвариантнымЗафиксируем какой-нибудь ортонормированный базис v3, .

. . , vn в U ⊥,тогда матрица оператора ϕ в базисе v1, v2, v3, . . . , vn полураспавшаяся:a b a3 . . . an−b a b3 . . . bn  0 0 ∗ ... ∗ B = [ϕ]v1,v2,v3,...,vn =  0 0 ∗ ... ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 ∗ ... ∗Матрица нормального оператора на евклидовом пространствев ортонормированном базисе перестановочна со своей транспонированной:BB ⊺ = B ⊺B.b3a3  Отсюда получаем (здесь ā =  ... , b̄ =  ...

):bnanBB ⊺ =a b a3 . . . ana −b 0 . . . 0a2 + b2 + hā, āihā, b̄i∗ .2 + a2 + hb̄, b̄i ∗ .−b a b3 . . . bn   ba 0 . . . 0hb̄,āib 0 0 ∗ . . . ∗   a3 b 3 ∗ . . . ∗ ∗∗∗ .= 0 0 ∗ . . . ∗  a∗∗∗ .  4 b4 ∗ . . . ∗ . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 ∗ ... ∗an b n ∗ . . . ∗∗∗∗ .B ⊺B =a2 + b 2a −b 0 . . . 0a b a3 . . . an0∗ ... ∗2 + a2 ∗ . . . ∗ba 0 . . .

0 −b a b3 . . . bn 0b a3 b 3 ∗ . . . ∗   0 0 ∗ . . . ∗ ∗∗∗ . . . ∗=.a∗∗∗ . . . ∗ 4 b4 ∗ . . . ∗   0 0 ∗ . . . ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 ∗ ... ∗an b n ∗ . . . ∗∗∗∗ ... ∗Сравнивая компоненты этих матриц на местах (1,1) и (2,2) получаемa2 + b2 + hā, āi = a2 + b2,b2 + a2 + hb̄, b̄i = b2 + a2.Следовательно, ā = 0, b̄ = 0 ⇒ матрица оператора ϕ в базисеv,v ,v ,...,v| 1{z 2} | 3 {z n}UU⊥распавшаяся ⇒ U ⊥ является ϕ-инвариантным.Завершение доказательства полностью аналогично случаю унитарногопространства:– по предположению индукции найдется базис подпространства U ⊥,в котором матрица оператора ϕ имеет требуемый блочно-диагональныйвид;– объединяя этот базис с векторами v1, v2, получаем искомыйортонормированный базис пространства V .Приложение: симметрические и эрмитовы операторыНапомним, что оператор ϕ на евклидовом (унитарном) пространстве Vназывается симметрическим (эрмитовым), еслиϕ = ϕ∗ .Лемма.

Пусть V — евклидово (унитарное) пространство,ϕ : V → V — линейный оператор. Тогда СУЭ:1. Матрица оператора ϕ в некотором ортонормированном базисесимметрическая (эрмитова) (A = Ā⊺);2. Оператор ϕ — симметрический (эрмитов);3. Матрица оператора ϕ в любом ортонормированном базисесимметрическая (эрмитова).Следствие(канонический вид матрицы симметрического/эрмитова оператора).Пусть V — евклидово (унитарное) пространство,ϕ : V → V — симметрический (эрмитов) линейный оператор.Тогда в некотором ортонормированном базисе V[ϕ] = diag(λ1, .

. . , λn),λi ∈ R.В частности, все собственные значения симметрического (эрмитова)оператора — вещественные числа.Доказательство.(1) Случай эрмитова оператора на унитарном пространстве:ϕ = ϕ∗ ⇒ ϕ нормальный ⇒ [ϕ] = diag(λ1, . . . , λn)в некотором ортонормированном базисе (λi ∈ C).Но матрица эрмитова оператора в любом ортонормированном базисеэрмитова, следовательно,diag(λ1, . .

. , λn)⊺ = diag(λ̄1, . . . , λ̄n),т. е. λi = λ̄i для всех i = 1, . . . , n. Следовательно, λi ∈ R.(2) Случай симметрического оператора на евклидовом пространстве:ϕ = ϕ∗ ⇒ ϕ нормальный ⇒ [ϕ] = diag(A1, . . . , Ak )в некотором ортонормированном базисе (Ai = λi или Ai =λi, ai, bi ∈ R).!ai b i,−bi aiНо матрица симметрического оператора в любом ортонормированномбазисе симметрическая, следовательно,⊺Ai = Ai!ai b iт. е. для всех i = 1, .

. . , k, для которых Ai =, обязательно имеем−bi aibi = 0.Упражнение.Сформулируйте и докажите аналог утверждения о каноническом видематрицы кососимметрического оператора на евклидовом пространстве.Упражнение.Найдите канонический вид и соответствующий ортонормированный базисдля преобразования, заданного в стандартном ортонормированном базисематрицей21A =  ...112...1... 1.

. . 1. . . ... ... 2Приложение: ортогональные и унитарные операторыНапомним, что оператор ϕ на евклидовом (унитарном) пространстве Vназывается ортогональным (унитарным), еслиϕ∗ϕ = id .В частности, (∗) ⇒ ϕ невырожденный ⇒ ϕ−1 = ϕ∗.Лемма.Пусть V — евклидово (унитарное) пространство,ϕ : V → V — линейный оператор. Тогда СУЭ:1.

Матрица оператора ϕ в некотором ортонормированном базисеортогональная (унитарная) (A−1 = Ā⊺);2. Оператор ϕ — ортогональный (унитарный);3. Матрица оператора ϕ в любом ортонормированном базисеортогональная (унитарная).(∗)Предложение (геометрический смысл ортогонального оператора).Пусть V — евклидово (унитарное) пространство,ϕ : V → V — некоторое отображение. Тогда СУЭ:1. Оператор ϕ — ортогональный (унитарный);2. hϕ(u), ϕ(v)i = hu, vi для любых u, v ∈ V .Доказательство.(1) ⇒ (2): Очевидно по определениюhϕ(u), ϕ(v)i = hu, ϕ∗(ϕ(v))i = hu, id(v)i = hu, vi.(2) ⇒ (1):(?) Линейность ϕ;(?) Ортогональность (унитарность) ϕ.Проверим линейность.

Пусть u, v ∈ V , α, β ∈ F (F = R, C).Обозначимw = ϕ(αu + βv) − αϕ(u) − βϕ(v).Тогда для любого x ∈ Vhw, ϕ(x)i = hϕ(αu + βv) − αϕ(u) − βϕ(v), ϕ(x)i= hϕ(αu + βv), ϕ(x)i − αhϕ(u), ϕ(x)i − βhϕ(v), ϕ(x)i= h(αu + βv), xi − αhu, xi − βhv, xi=0В частности,hw, wi = hw, ϕ(αu + βv)i − ᾱhw, ϕ(u)i − β̄hw, ϕ(v)i = 0,т.е. w = 0.Проверим ортогональность (унитарность):hu, vi = hϕ(u), ϕ(v)i = hu, ϕ∗(ϕ(v))i.Равенствоhu, vi = hu, ϕ∗(ϕ(v))iдля любого u ∈ V выполняется лишь приv = ϕ∗(ϕ(v)).Следовательно, ϕ∗ϕ = id.Следствие (канонический вид матрицы унитарного оператора).Пусть V — унитарное пространство, ϕ : V → V — унитарный линейныйоператор.

Тогда в некотором ортонормированном базисе V[ϕ] = diag(λ1, . . . , λn),λi ∈ C.Все собственные значения унитарного оператора — комплексные числа,модуль которых равен 1.Доказательство.Унитарный оператор нормален ⇒ имеет ортонормированный базис изсобственных векторов.A = [ϕ] = diag(λ1, . . . , λn)⇒ |λi| = 1.[ϕ∗] = Ā⊺ ⇒ Ā⊺ = A−1 ⇒ λ̄i = λ−1iСледствие (канонический вид матрицы ортогонального оператора).Пусть V — евклидово пространство, ϕ : V → V — ортогональный линейныйоператор. Тогда в некотором ортонормированном базисе V[ϕ] = diag(A1, .

. . , Ak ),для нектоторго α ∈ [0, 2π).cos α sin αAi = ±1 или Ai =− sin α cos α!Все собственные значения ортогонального оператора — комплексныечисла, модуль которых равен 1.Доказательство.ϕ−1 = ϕ∗ ⇒ ϕ нормальный ⇒ [ϕ] = diag(A1, . . . , Ak )в некотором ортонормированном базисе (Ai = λi или Ai =λi, ai, bi ∈ R).!ai b i,−bi aiНо матрица ортогонального оператора в любом ортонормированном базисеортогональна, следовательно,A−1i = Ai⊺⊺т.

е. AiAi = E (размера 1 или 2) для всех i = 1, . . . , k.⊺Ai Ai = EОтсюдаAi = λi ⇒ λ2i =1!ai b i2=1Ai =⇒ a2+bii−bi ai2Если a2i + bi = 1, то ai = cos α, bi = sin α для некоторого α ∈ [0, 2π).Упражнение.Пусть ϕ — линейный оператор на евклидовом (унитарном) пространствеV , e1, . .

. , en — ортонормированный базис V .Докажите, что ϕ — ортогональный (унитарный) тогда и только тогда,когда ϕ(e1), . . . , ϕ(en) — ортонормированный базис.Упражнение.Пусть столбцы матрицы Q ∈ Mn(R) образуют ортонормированную системув Rn. Докажите, что строки матрицы Q тоже образуют ортонормированнуюсистему.Квадратный корень из неотрицательного оператораV — евклидово (унитарное) пространство,ϕ — симметрический (эрмитов) линейный оператор на V .Оператор ϕ называется положительно определенным (положительным),еслиhv, ϕ(v)i > 0 для любого v ∈ V , v 6= 0.Обозначение: ϕ > 0.Оператор ϕ называется положительно полуопределенным(неотрицательным), еслиhv, ϕ(v)i ≥ 0 для любого v ∈ V .Обозначение: ϕ ≥ 0.Лемма.

Характеристики

Список файлов лекций