1611143575-f501d09a54839b58ba6706edb8cfab5f (825041), страница 34
Текст из файла (страница 34)
87). На какой угол отклонится грузик?В инерциальной системе задача решается так:TT cos a = mg ,ama 0 = T sin a ,mga0Рис. 87Tоткудаtga =Рис. 88g.T sin a = ma 0 и T cos a = mg ,откудаmga0(91.5)Из условия равновесия в неинерциальной системеследует (рис. 88)T = -mg + ma 0 ,(91.6)или- ma 0(91.4)tga =(91.7)a0.(91.8)gНайдем частоту колебаний. Эта задача решаетсяпроще в неинерциальной системе. В системе тележки эффективное ускорение(91.9)g¢ = g - a0 ,отсюда частота колебанийw¢ =g¢,lгде g ¢= g 2 + a 02(91.10)§ 92. Силы инерции во вращающейся системе отсчетаЦентробежная силаДля того чтобы тело было неподвижно относительно диска, вращающегося с угловой скоростью w , к нему нужно приложить силу,направленную к центру,mv 2F = ma = -er= -m w 2 r .(92.1)r234Чтобы объяснить неподвижность тела в системе вращающегося дисканужно объявить, что кроме этой реальной силы (например, натяжениеверевки, связывающей тело с осью) в этой системе действует силаинерцииFi = m w 2 r ,(92.2)направленная от центра.
Ее называют центробежной силой. Эта силауравновешивает натяжение веревки, и тело остается неподвижным относительно вращающегося диска. Такой силы нет в инерциальной лабораторной системе, ее вводят только при рассмотрении движения вовращающейся системе отсчета.Кориолисова силаРассмотрим движение тела со скоростью v относительно ободавращающегося диска. Для такого движения в неподвижной системекоординат должна действовать центростремительная силаFц = -er m(wr + v )2.r(92.3)Наблюдатель, сидящий на диске, видит, что веревка натянута с такимнатяжением, значит, в этой системе отсчета натяжение веревки уравновешено силами инерцииæmv 2 ö÷Fi = -Fц = er çççm w 2r + 2m wv +(92.4)÷÷ .çèr ÷øПервый член в (92.4) – это уже знакомая центробежная сила, третий член– это обычная центростремительная сила, необходимая для движения поокружности, второй член, F = 2m wv , зависит как от угловой скоростивращения диска, так и от скорости движения тела относительно диска.Эта сила называется Кориолисовой силой ( Г.
Кориолис, 1792–1843).Рассмотрим движение тела вдоль спицы вращающего колеса. Момент импульса тела L = m wr 2 увеличивается при движении от центра.Изменение момента импульса за единицу времени равно моменту силоткудаdLdr= 2m wr= Fr ,dtdt(92.5)F = 2m wv .(92.6)235Эта сила, с которой спица действует на тело, сопротивляясь силе Кориолиса. Поскольку сила Кориолиса перпендикулярна угловой скорости и скорости тела, то в векторном виде ее можно записать какFc 2m [ vω] .(92.7)Далее мы получим это выражение строго математически.Рассмотрим снова рис.
86. Система S является неподвижной, а система S ¢ движется относительно ее как поступательно, так и вращательно. Скорость материальной точки относительно неподвижной системыv абс = v0 + r = v0 + [ω r] + v отн ,(92.8)где v0 – поступательная скорость начала отсчета системы S ¢ , [ω r] –скорость, связанная с вращение системы S ¢ (как для твердого тела),v отн – скорость точки относительно начала отсчета системы S ¢ . Действительноr = i x + jy + k z ,r = ix + jy + kz + x(92.9)didjdk.+y +zdtdtdt(92.10)didjdk [ω i ], [ω j], [ω k ] , и вводя обозначениеdtdtdt= ix + jy + kz , из (92.10) получаем (92.8).Учитывая, чтоv отнУскорение точки относительно неподвижной системыa абс = a 0 + [ω r ] + [ω r ] + v отн .(92.11)r [ωr] v отн(92.12)v отн = [ω v отн ] + a отн ,(92.13)Учитывая, чтои аналогичнонаходимa абсцентробежное= a 0 + [ω r ] + [ω[ω r ]] + 2[ω v отн ] + переносноекориолисово236a отн .относительное(92.14)Рассмотрим смысл каждого члена.a абс = F/m – это ускорение, вызванное реальной силой;a 0 + [ω r ] + [ω[ω r ]] – переносное ускорение, связанное с движением системы S ¢ ;2[ω v отн ] – ускорение Кориолиса.Член [ω[ω r ]] в переносном ускорении – это центробежное ускорение.
Полагая r = r + r^ (относительно ω ), находим[ω[ω r ]] = [ω[ω r^ ]] = ω (ω r^ ) - r^ w 2 = -r^w 2 .(92.15)Перегруппировав члены в (92.14) с учетом (92.15), получим уравнениеотносительного движениягдеma отн = F + Fпер + FКор ,(92.16)Fпер = -ma 0 + m[ r ω ] + m w 2 r^ ,(92.17)FКор = 2m [ v отнω ] .(92.18)Примеры силы Кориолиса1. Маятник Фуко – это обычный тяжелый маятник на длинномподвесе.
Впервые публичная демонстрация была осуществлена Фуко в1851 г. в Парижском Пантеоне. Плоскость колебаний такого маятникаповорачивается относительно земной поверхности в сторону, противоположную направлению вращения Земли. Проще всего это явлениепонять рассматривая такой маятник на вращающемся диске.
Плоскостьмаятника сохраняет ориентацию в пространстве, а диск под ним вращается со своей частотой.При рассмотрении колебаний в неинерциальной системе, связаннойс Землей, на груз действует сила КориолисаF = 2m[ v ω^ ] , w^ = w sin q ,(92.19)которая стремится отклонить маятник вправо от направления движения. В результате плоскость колебаний постепенно поворачивается. Наскорость поворота влияет только составляющая угловой скорости,перпендикулярная поверхности Земли. Составляющая угловой скоро237ωqсти, параллельная поверхности Земли, не влияет, так как создает силу вдоль троса. Периодвращения плоскости колебанийw^ = w sin q, T =сутки.sin q(92.20)На рис. 90 показаны фигуры, описываемыенижним концом маятника, если его оттянуть,опустить (слева) и толкнуть из центра (справа).ЗемляРис.
89Рис. 902. Подмывание берегов.В северном полушарии сила Кориолиса направлена вправо от направления движения, поэтому правые берега рек в Северном полушарии более крутые – их подмываетвода. В Южном полушарии все про-исходит наоборот.3. Колеса поезда.Правые колеса (в северном полушарии) поезда сильнее прижимаются к рельсу сбоку и быстрее снашивается.4. Ураганы.Ураганы закручиваются силой Кориолиса. Наиболее сильные насороковых «ревущих» широтах. На экваторе не бывает.§ 93. ПриливыУ берегов морей и океанов дважды в сутки наблюдается подъемуровня воды до некого максимального значения и столько же раз опускание до минимального уровня. Они являются результатом измененияположений Луны и Солнца относительно Земли совместно с эффектами вращения Земли и особенностями рельефа.
В некоторых местахподъем достигает 10–15 м, но в среднем перепад составляет порядкаодного метра. Аномальные подъемы связаны с увеличением высотыволны при набегании ее на берег и геометрией береговой линии.238CBRЗrлзAOРис. 91Рассмотрим механизм возникновения приливной волны в идеализированном случае, когда имеется сплошной океан. Приливные силы зависят не от величины гравитационного поля (Луны, Солнца), а от степени его неоднородности (градиента). Ниже будет получено соотношениеприливных эффектов от Луны и Солнца. Пусть для определенности Луна притягивает Землю (рис.
91). Рассмотрим ускорения, действующие вточках А, B и С, вычитая при этом ускорение центра масс Земли.Поскольку точка А ближе к Луне, то в ней дополнительная гравитационная сила направлена к Луне, в то время как в противоположнойточке В сила такая же, но направлена от Луны. В точке C имеется составляющая перпендикулярная линии, соединяющей Луну и Землю.Приливы в точках А и В будут происходить одновременно и одинаковой величины.Ускорение в точке, находящейся между О и А, на расстоянии x отцентра Земли за вычетом ускорения центра Земли равноæ11 ÷÷ö GM Лa(x ) = GM Л ççç» 3 2x .2 ÷÷÷çè(rЛЗ - x )2 rЛЗrЛЗø(93.1)Потенциал в точке А относительно О, связанный с этим градиентнымполем,RDjA = -ò a(x )dx = 0GM Л3ЛЗrRЗ2 .(93.2)Потенциал между точками С и О может быть найден непосредственнокак разность потенциалов в этих точках, поскольку в этом направлениицентр масс Земли не имеет ускорения.GM ЛGM ЛGM Л 2DjC = +»(93.3)RЗ .32rЛЗ2rЛЗ+ RЗ2rЛЗ239Отсюда эффективная разность потенциалов между А и С (эффективнаяпотому, что вычтено поле, действующее на ц.
м. Земли) равна AC 3GM Л 2RЗ .32rЛЗ(93.4)Эта разность потенциалов равна gh , где h – разность уровней подъемаводы в точках А относительно точки С, g – ускорение свободного падения на поверхности Земли. Учитывая, что g =GM ЗRЗ2пад подъемов воды при приливах, связанный с Луной,hЛ =3M ЛRЗ432rЛЗMЗ» 0, 55 м., находим пере-(93.5)Ответ для приливов за счет Солнца находится заменой M Л M С ,rЛЗ rСЗ :hС =3M СRЗ42rСЗ3 M З» 0,24 м.(93.6)Выше была рассмотрена статическая теория приливов, в которойгорбы на воде появляются на линии Луна–Земля (средневзвешеннымнаправлением между Луной–Солнцем и Землей).
Более точная динамическая теория учитывает движение приливной волны вокруг Земли.ЛунаСтатическаятеорияЛунаДинамическаяРис. 92Не вдаваясь в детали, приливные силы можно считать вынуждающейсилой, а период обхода волны вокруг Земли – собственной частотойосциллятора. Период обхода волны вокруг Земли оказывается больше240периода вынуждающей силы. В этом случае, в соответствие с теориейвынужденных колебаний осциллятора с малым затуханием (§ 58), амплитуда отстает от силы на p , т.
е. на половину периода. Это приводитк тому, что горбы на воде будут находиться прямо противоположнотому, что предсказывает статическая теория (минимумы вместо максимумов, и наоборот), рис 92.Реально наличие материков меняет эту картину до неузнаваемости(рис. 93). Точно только то, что приливы происходят дважды в сутки, новысота зависит от места и может отличаться от наших расчетов в несколько раз в большую или меньшую сторону.Рис. 93241ГЛАВА XIIГРАВИТАЦИЯ, ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИОТНОСИТЕЛЬНОСТИ§ 94. ВведениеРанее мы рассмотрели специальную теорию относительности(СТО), которая описывает движение тел относительно инерциальныхсистем отсчета. При этом предполагалось, что пространство евклидовои сигналы связи, например свет, распространяются по прямым линиям.При известном законе взаимодействия СТО, в принципе, позволяетрассчитать все движения тел при любых скоростях.В таком подходе, однако, имеются проблемы при рассмотрениигравитационных взаимодействий.
Силы гравитации действуют на всетела без исключения, в том числе и на свет. Траектории фотонов становятся «кривыми», а само пространство – искривленным. Еще однаособенность – гравитационные поля создаются не только самими телами, но и любым видом энергии (в том числе гравитационной). Принцип суперпозиции в достаточно сильных гравитационных полях невыполняется.Явления, связанные с гравитацией, описывает общая теория относительности (ОТО), созданная А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
