1611143575-f501d09a54839b58ba6706edb8cfab5f (825041), страница 33
Текст из файла (страница 33)
е. при d < 2R .(88.16)Веревка вокруг столбаРассмотрим еще одну статическую задачу, имеющую практическоеприменение. Пусть веревка намотана на столб и ее тянут за концы ссилами T1 и T2 . При каком отношении сил будет проскальзывание, если угол соприкосновения со столбом Da , коэффициент трения k ?Рассмотрим две точки веревки, отстоящие на угол da . Сила давления веревки на столб на участке da равна dN = Tda , где T – натяжение веревки. Здесь мы пренебрегли разностью натяжений веревки вточках a и a + d a , поскольку это дает добавку второго порядка вразность сил, пропорциональную dTd a .
При проскальзывании силатрения на данном участке равна dT = kdN = kTd a , откуда получаемформулу ЭйлераdT= kd a T2 = T1e k Da .(88.17)TНапример, если сделать 5 оборотов веревки вокруг бревна, то дляk = 0, 5 получим T2/T1 = exp(0.5 ⋅ 2p ⋅ 5) » 6, 6 ⋅ 106 . Таким образомможно удержать рукой у причала океанский корабль.227ГЛАВА XЭЛЕМЕНТЫ ГИДРОДИНАМИКИ ИДЕАЛЬНОЙЖИДКОСТИГидродинамика рассматривается подробно в курсе физики сплошных сред, однако было бы несправедливо в курсе механики рассматривать только твердые тела и не упомянуть жидкие.§ 89. ГидростатикаВ жидкости, налитой в сосуд, на глубине h имеется давлениеP = Pатм + rgh .(89.1)На погруженное в жидкость тело действует сила, равная весу вытесненной жидкости (закон Архимеда).
Он следует из того, что такой жеобъем, заполненный такой же жидкостью, будет находиться в равновесии. Поскольку сумма сил, действующая на боковую поверхность объема, не зависит от того, что внутри, то отсюда следует вывод, что выталкивающая сила равна весу жидкости в этом объеме, направленавверх и приложена к центру масс вытесненной жидкостиFв = -rжV g .(89.2)Однако если подводная лодка ляжет на дно, то закон Архимеда не работает, ее прижимает ко дну сила, равная весу столба воды, находящейся над лодкой.§ 90. Стационарные течения, закон БернуллиПусть поток жидкости обтекает неподвижные тело. Скорости жидкости в разных точках различные, но в каждой конкретной точке постоянны во времени. Такие теченияназываются стационарными.
ДляS1них можно нарисовать неподвижV1ные линии тока (траектории элеменS2V2тов жидкости), а из линий тока образовать стенки трубки токаРис. 83(рис. 83).228Пусть сечение трубки на входе S1 и скорость жидкости V1 , а на выходе – S 2 и V2 . Количество жидкости в трубке не меняется, отсюда следует условие непрерывности (сколько втекает, столько вытекает):S1V1 = S 2V2 .(90.1)Закон БернуллиРассмотрим течение идеальной жидкости, без вязкости, не испытывающей трения о стенки трубки. Нетрудно заметить, что кинетическиеэнергии одинаковой по объему порции жидкости на входе и выходеразличаются, это происходит за счет давлений, совершающих работунад жидкостью.
Давление, действующее на боковую поверхность трубок тока, работы не совершают, так как действуют перпендикулярнонаправлению движения жидкости. Работа сил, действующая на левыйторец трубки (сила, умноженная на перемещение) A1 = P1S1V1t , работасил справа A2 = -P2S 2V2t (знаки минус, поскольку сила и перемещение имеют противоположные направления). Работа равна разности кинетической энергии вышедшей и вошедшей одинаковых порций жидкостиmV222-mV122= A1 + A2 ,m = rV1S1Dt = rV2S 2Dt ,(90.2)откудаrV2S 2DtV222-rV1S1DtV122= P1S1V1Dt - P2S 2V2Dt .(90.3)Сокращая на V1S1Dt = V2S 2Dt , получаемP1 +rV122= P2 +rV222.(90.4)Если вход и выход находятся на разной высоте, нужно учесть еще изменение потенциальной энергии рассматриваемой порции жидкости, врезультате получим закон БернуллиP+rV 2+ rgh = const .2229(90.5)Для горизонтальной трубы с переменным сечением давление в узкихместах трубы будет меньше, чем в широких.Пусть жидкость обтекает покоящийся шар.
Линии тока будут огибать шар. Однако одна линия, идущая к центру шара, упрется перпендикулярно в шар и оборвется, т. е. скорость станет равной нулю. Отличие давления в этой точке от давления вдалеке от шара находится изrV 2.уравнения Бернулли и равно DP =2Формула ТорричеллиРассмотрим вытекание воды из широкого бака через дырку, расположенную на высоте h ниже уровня воды в баке. Трубка тока воды,вытекающей из бака, начинается с поверхности воды, где она равна посечению площади бака и имеет близкую к нулю скорость. Из уравнения Бернулли следует ( PA – атмосферное давление)gPA + rgh = PA +hVrV 2,(90.6)2откуда находим скорость истечения водыV = 2gh .(90.7)Рис. 84Это формула Торричелли (1608–1647).Из этой формуле следует, что скорость независит от размера отверстия.
Однако все знают, что если сжать конецшланга с водой, то струя будет вытекает с существенно бóльшей скоростью. Это связано с тем, что скорость течения в шланге определяетсясовсем другим механизмом – вязкостью воды (это явление будет рассматриваться в курсе молекулярной физики). В то время как при маленьком отверстии вода в шланге движется медленно и вязкостью(фактически трением о стенки шланга) можно пренебречь. В этом случае скорость истечения находится так же, как было рассмотрено выше,только rgh в (90.6) нужно заменить на давление в водопроводе P .
Врезультате получаем скорость истечения воды из маленького отверстияв шлангеV = 2P/r .230(90.8)Гидравлический ударПусть по трубе течет вода со скоростью V . Если кран быстро перекрыть, то вода начнет останавливаться, кинетическая энергия будетпереходить в энергию сжатия и по воде со скоростью звука ( c ) побежит волна сжатия.
Сила, действующая на торец трубы, равна импульсуводы, останавливающейся за единицу времени. Отсюда находим давлениеP = rVc .(90.9)Скорость звука в воде 1435 м/с. При скорости воды 1 м/с в трубах возникнет давление P = 1.4 ⋅ 107 дин/см2 = 1.4 ⋅ 106 н/м2 » 14 атм. Этоявление называется гидроударом. Чтобы трубы не разорвало, кранынужно закрывать медленно (за времена бóльшие, чем время распространения ударной волны вдоль трубы до широкой магистральнойтрубы). Если попытаться быстро заткнуть кран с текущей водой пальцем, то ввиду гидроудара из-под пальца вначале брызнет струйка воды(даже при низком давлении в водопроводе), затем сдерживать напорводы станет намного легче.Кумулятивный снарядВ конце Второй мировой войны Германия стала использовать фаустпатроны, которые пробивали броню толщиной 20 см.
Они состоялииз металлического конуса, окруженного взрывчаткой (рис. 85). Привзрыве образуется струя металла, летящаявперед с огромной скоростью. Для объясненияu механизма возникновения струи достаточноαзакона Бернулли.При взрыве снаряда возникает очень большое давление и металлический конус ведет себя как жидкость. Пусть скорость металла u .Рис. 85Перейдем в систему отсчета, движущуюся направо со скоростью V = u/sin a .
В этой системе отсчета металл течет вдоль стенки конуса со скоростьюV0 = u/tg a и затем растекается вдоль оси направо и налево с той жескоростью V0 (следует из формулы (90.5) при P = const ).231Найдем, какая доля струи потечет направо. Пусть струя с сечениемS падает на плоскость под углом a . Из закона сохранения импульсаV0S L -V0S R = SV0 cos a ,SL + SR = S .(90.10)откуда доля струи, летящей направо,S R = S (1 - cos a) / 2 .(90.11)Возвращаясь обратно в лабораторную систему отсчета, находим скорость струи, летящей направо и налево,VR = V0 + V = u(1 + cos a)/sin a ,VL = -V0 + V = u(1 - cos a)/sin a .(90.12)Оказывается, что обе струи летят в одну сторону, только первая сбольшой скоростью, а вторая с много меньшей скоростью (в 4/a 2 разпри малом a ).
Пусть u = 2 км/с, a = 20 , тогда VR = 11, 4 км/с, этобольше, чем вторая космическая скорость. Хотя масса этой струи мала,но она уносит бóльшую часть кинетической энергии металлическогоконуса. Такая концентрация энергии называется кумуляцией. Максимальное давление возникает в точке разделения потоков и равноP = rV02/2 , примерно 1, 5 ⋅ 106 атм.
в нашем случае (в центре Земли3,7 млн атм.). Казалось бы, что при уменьшении угла конуса можноеще в несколько раз увеличить скорость струи, однако здесь возникнетограничение, связанное с объемной сжимаемостью металла.Длина струи равна длине образующей конуса. При столкновенииструи с броней последняя ведет себя тоже как жидкость и точка соприкосновения движется вглубь брони со скоростью VR/2 , получается кумулятивное течение как в снаряде, но в обратную сторону, а глубинапроникновения в броню оказывается равной длине струи.232ГЛАВА XIДВИЖЕНИЕ В НЕИНЕРЦИАЛЬНЫХСИСТЕМАХ ОТСЧЕТА§ 91.
Неинерциальные системы отсчета. Неинерциальные силыДо сих пор исследовалось движение тел относительно инерциальных систем отсчета, в которых справедливы Законы Ньютона.Рассмотрим теперь движение тела (материальной точки) относительно системы отсчета S ¢ , которая совершает ускоренное поступательное движение относительно инерциальной системы S .
Пусть R 0 – радиусSS¢вектор начала отсчета системы S ¢ , а r –тела в этой системе. В нерелятивистскомслучае справедливо преобразование ГалилеяrRR = R0 + r , t = t ¢ .(91.1)R0Закон движения в инерциальной системеРис. 86md 2R= F,dt 2(91.2)отсюдаma = md 2R0d 2rF=m= F - ma 0 .dt 2dt 2(91.3)Следовательно, если движение рассматривается относительно системыотсчета, ускоренно движущейся относительно инерциальной системыотсчета, то во втором законе Ньютона, кроме реальной силы, появляется дополнительное слагаемое -ma 0 .
Это не реальная, а фиктивная сила, имеющая чисто кинематическое происхождение, пропорциональнаямассе тел (как и гравитационная сила). Такие силы называют силамиинерции. Они появляются в неинерциальных системах отсчета.Казалось бы, все можно рассматривать в инерциальных системах итогда не требуется вводить силы инерции. Это так, но иногда удобно233связывать систему координат с ускоренно движущимися телами, такими как вращающаяся Земля или ускоренно движущаяся тележка.Рассмотрим тележку, движущуюся с ускорением a 0 , на которой стоит подставка с висящим на нитке грузиком (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
