1611143575-f501d09a54839b58ba6706edb8cfab5f (825041), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Эйнштейном (1916). Принцип относительности был распространен на системы, находящиеся в гравитационных полях. Ключом к решению задачи стал принцип эквивалентности. Гравитационные поля по своему действию очень похожи на силы,возникающие в неинерциальных (ускоренных) системах отсчета. В падающем лифте сила инерции и гравитационная сила компенсируются.Законы физики в такой системе будут совпадать с законами в инерциальных системах. Сидя в лифте нельзя сказать, какая часть силы вызвана гравитацией, а какая ускорением лифта. Разница заключаетсятолько в том, что силы инерции можно полностью исключить выборомсистемы отсчета, а истинно гравитационные силы можно скомпенсировать силами инерции только в точке.
Так, в падающем лифте пробное тело, помещенное в центре лифта, будет иметь нулевое ускорениеотносительно лифта, в верхней точке лифта сила тяжести немногоменьше, поэтому тело будет ускоряться вверх, а в нижней точке – вниз.Еще один принципиально важный момент. Пусть наблюдатель навращающемся диске разложил вдоль радиуса и обода короткие одинаковые линейки. Какое он получит отношение длины периметра к ра242диусу? Ответ на этот вопрос проще всего найти, взглянув на эту картину из неподвижной инерциальной системы отсчета.
Линейка, лежащаяна диске вдоль радиуса, будет иметь одинаковую длину в системе диска и в неподвижной системе отсчета, так как поперечные размеры придвижении не изменяются. Однако линейка, лежащая вдоль обода навращающемся диске, будет в неподвижной системе отсчета вw 2R 2> 1 раз короче. Это значит, что вдоль обода, котоc2рый в неподвижной системе отсчета имеет длину 2pR , можно уложитьдвижущихся линеек в g раз больше, чем в случае покоящегося диска.Число линеек, лежащее на диске, не зависит от системы отсчета, следовательно наблюдатель на диске получит отношение длины обода крадиусу, равное 2pg .
Это означает, что геометрия на вращающемсядиске отличается от евклидовой! Инерциальные силы искривляют пространство. К таким же эффектам приводит и истинная гравитация.Кривизна пространства является неотъемлемой составляющей общейтеории относительности.Примером искривленного двумерного пространства является поверхность сферы. Говоря о ее кривизне, мы обычно воображаем сферу,помещенную в трехмерное пространство. Реально наблюдатель, живущий в n-мерном мире, не может выбраться в n+1-мерное пространство, чтобы увидеть кривизну своего пространства. Однако он можетопределить геометрию своего пространства, измерив сумму углов втреугольнике.
Для окружности на сфере отношение периметра к радиусу будет меньше 2p . На вращающемся диске это отношение былобольше 2p . Если вместо вращающегося диска, на котором центробежные силы направлены от центра, рассмотреть пространство вокругмассивного тела, то там отношение периметра к радиусу будет меньше2p , как на выпуклой сфере.Математический аппарат общей теории относительности довольносложен. ОТО пользуются в основном астрономы и космологи.
Ее использование необходимо при рассмотрении эффектов вблизи компактных объектов, таких как нейтронные звезды и черные дыры, а такжедля описания динамики расширяющейся Вселенной. Имеется ряд эффектов, предсказанных общей теорией относительности и проверенных экспериментально. Пока не найдено ни одного эффекта, противоречащего ОТО.g = 1/ 1-243Хотя закон Кулона для электрических взаимодействий совпадает сзаконом тяготения Ньютона, хорошо описывающего гравитационныевзаимодействия при слабых полях и небольших скоростях (в обоихслучаях F µ 1/r 2 ), эти два типа взаимодействий принципиально различные.
Они отличаются не только тем, что у них различные константы взаимодействия. Их переносчики взаимодействия (фотон и гравитон) имеют разные спины (внутренние моменты импульсов), и силавзаимодействия по-разному зависит от скорости частиц. Это непростые вопросы, и здесь мы их обсуждать не будем, рассмотрим тольконесколько явлений, для объяснения которых достаточно принципа эквивалентности.§ 95. Инертная и гравитационная масса, принцип эквивалентностиМасса, входящая во второй закон Ньютона, характеризует инертность тела и называется инертной массойmi = F a .(95.1)В законе всемирного тяготения сила притяжения пропорциональнапроизведению гравитационных масс:Fg = -Gmg (1) mg (2)r.(95.2)r3Оказывается, что с огромной точностью инертные массы пропорциональны гравитационным. Именно поэтому имеет место принцип эквивалентности, о котором мы говорили в предыдущем параграфе.
Какэто можно проверить? Рассмотрим падение двух тел 1 и 2 в поле тяжести Земли. Ускорения тел находятся из соотношенийmi (1)a(1) = -GMmg (1) r 2 ,(95.3)mi (2)a(2) = -GMmg (2) r 2 ,(95.4)где mi , mg – инертная и гравитационная масса пробных тел, М – гравитационная масса Земли. Отсюда находимmi (1)mi (2)=mg (1)a(2)mg (2)a(1)244.(95.5)Галилей первым заметил, что все тела в пустоте падают содинаковым ускорением: a (2) = a(1) и, следовательно,mi (1)mg (1)=mi (2)mg (2).(95.6)Если это отношение одно и то же для всех тел, то путем выбора значения гравитационной постоянной его можно сделать равным единице,т. е. считать гравитационную массу равной инертной.В отличие от Галилея Ньютон использовал для проверки этого утверждения маятник, период которогоæ l m ö÷1 2çi ÷T = 2p çç÷ .ççè g mg ÷÷ø(95.7)Из этого опыта следует равенство mi и mg для различных тел с точностью 10-5 .Бóльшая точность достигается в статических экспериментах.
Еслина тело действует две силы, одна пропорциональная mi , а другая –mg , то направление результирующей силы зависит от mi /mg . Такаяустановка создана самой природой. Земля вращается вокруг оси и является неинерциальной системой отсчета. На тело, покоящееся относительно Земли, действуют две силы: гравитационное притяжение, пропорциональное mg , и центробежная сила, пропорциональная mi .В 1890–1920 гг. Этвеш провел основанные на этом принципе эксперименты, используя крутильные весы с подвешенными на коромыслегирями из различных материалов, но с одинаковыми гравитационнымимассами (коромысло параллельно Земле), рис. 94.
Если инертные массыэтих гирь, сделанных из разных веществ, были бы не равны, то за счетцентробежных сил коромысло получило бы крутильный момент. Действительно, коромысло уравновешено в вертикальной плоскости приm1g r1 = m2g r2 .(95.8)Вращающий момент в горизонтальной плоскостиt µ m1ir1 - m2ir2245(95.9)будет равен нулю при m1g /m1i = m2g /m2i . Отсутствие такого моментапоказало, что отношение инертной и гравитационной массы одно и тоже для тел, сделанных из различных материалов, с точностью 10-8.Позже точность была доведена до 10-12 .Принцип эквивалентности проверялся на различных расстояниях отсеверточка подвесацентробежная силагориз.
составл. ц. б. силысила тяжестиr1r2m 2,iw 2Rm 1,iw 2Rm 2,g gm 1,g gРис. 94тел, создающих притяжение. Это важно, поскольку не исключено, чтогравитационное поле состоит из нескольких полей с разной длинойвзаимодействия. Если переносчик взаимодействия имеет массу m , тоиз квантовой механики следует, что сила взаимодействия будет иметьследующий вид:exp(-r/l), l».(95.10)F µ2mcrМожет оказаться, что1(95.11)F µ 2 1 + a exp(-r/l) ,rпри этом для первого члена выполняется принцип эквивалентности, адля второго – нет. Например, вторая сила может действовать только набарионы и не действовать на электроны. Тогда если l RЗ , то в экспе-()рименте Этвеша принцип эквивалентности будет выполняться, а прирасстояниях меньше l – нет. Сейчас принцип эквивалентности проверендля расстояний от долей миллиметра до размеров Солнечной системы.Интересно, как проводятся измерения для различных расстояний.Например, для расстояний в несколько километров в качестве источникаполя берут гору.
Крутильные весы устанавливают на стол, вращающийся с периодом в несколько часов, и измеряют зависимость угла поворота246коромысла весов от времени. Затем в полученной функции j(t ) ищутгармонику, соответствующую периоду обращения стола.Из подобных экспериментов следует, что энергия связи ядер и энергия гравитационного поля также участвуют в гравитационном взаимодействии с той же константой взаимодействия. Все это доказываетпринцип эквивалентности.§ 96. Падение фотона в гравитационном полеФотон имеет нулевую массу.
Какая же на него действует гравитационная сила? Попробуем в этом разобраться. Пусть фотон падаетвниз с высоты L. Для выяснения характера движения воспользуемсялифтом, падающим вниз с ускорением g. В этой системе отсчета суммагравитационных и инерциальных сил равна нулю, фотон является свободным, а его энергия постоянна во времени и равна E 0 . В первомприближении фотон достигнет пола за время t » L/c . За это времялифт наберет скорость v » gt » gL/c . Тогда энергия фотона в неподвижной лабораторной системеE = g(E 0 + E 0v c) » E 0 (1 + v c) ,(96.1)т.
е. изменение частоты светаDwDEgL(96.2)=» 2 .w0EcОтсюда следует, что фотон как бы имеет «эффективную» гравитационную массу m = E 0 c 2 = h w0 c 2 и в поле получает энергию mgL .Такой эксперимент был поставлен в 1960 г. Паундом и Ребка вСтэнфорде. Фотоны падали вниз с башни высотой около 20 м. Изменение частоты совпало с расчетной в пределах ошибок (10 %, в дальнейшем точность была доведена до 1 %).
Относительное изменение частоты составило всего 2 ⋅ 10-15 . Такой малый эффект удалось измеритьблагодаря открытому в 1958 г. эффекту Мессбауэра (при испусканиифотона ядром импульс отдачи передается при некоторых условиях неатомному ядру, испустившему фотон, а всему кристаллу, так что энергия фотона при излучении практически не тратится на отдачу).Формулу (96.2) можно записать в видеæDj ö(96.3)w » w0 ççç1 + 2 ÷÷÷ ,c ø÷è247где w0 – частота света, испускаемая источником, находящимся в гравитационном потенциале Dj (относительно наблюдателя), w – частота, регистрируемая наблюдателем. Частота света на большом расстоянии от звезды, испустившей фотоны,æGM 3 ö÷ç÷÷ .çw » w0 ç1 (96.4)çèR3c 2 ÷÷ø§ 97. Замедление времени в гравитационном полеПусть одни часы находятся при гравитационном потенциале j , адругие – при нулевом потенциале.
Каждую секунду первые часы испускают световые вспышки. Частота сигналов, принимаемых в районевторых часов, дается формулой (96.3). Количество зарегистрированных сигналов (тиков часов) – это и есть прошедшее время. Отношениепоказаний часов ( t ), находящихся в гравитационном потенциале j , ковремени (t0 ) , прошедшему по часам при нулевом потенциале, равноtwj=» 1+ 2 .w0t0c(97.1)Вблизи тел потенциал j ниже, чем на бесконечности, поэтому часы наповерхности звезды будут идти медленнее. Для Солнца эффект составляет 2 ⋅ 10-6 , его измерили по сдвигу спектров испускания атомов.Более точно эффект замедления времени в гравитационном потенциале проверен в 1976 г. с помощью атомных часов, установленных насамолете. Самолет летал с малой скоростью на высоте 10 км в течение15 часов. Гравитационный эффект составил плюс 50 ⋅ 10-9 с, а сокращение времени за счет скорости (в γ раз) меньше: минус 7 ⋅ 10-9 с.Теория была подтверждена с точностью 1.6 %.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
