1611143575-9594eae618314f5037b2688bf71c4d71 (825039), страница 123
Текст из файла (страница 123)
255). Действительно, если при всех скоростях отрыв течения происходит в одном и том же месте, то характерная площадь поперечного сечения 5 не зависит от скорости. С другой стороны, разность давлений перед и за телом по закону Бернулли равна '1зро', Отсюда и получается формула (101.2) с постоянным коэффициентом С, При больших скоростях о порядка скорости звука и выше коэффициенты С, и С, зависят не только от числа Рейнольдса )те, но и от числа Маха М. 3. Рассмотрим теперь случай малых чисел Рейнольдса. В этом случае основной интерес представляет сила лобового сопротивления Р,. Инерция, а с ней и плотность жидкости не играют существенной роли, сила г"„определяется почти исключительно вязкостью.
Поэтому плотность р должна выпадать нз формулы (101.2). Это будет тогда и только тогда, когда коэффициент лобового сопротивления обратно пропорционален числу Рейнольдса, т. е. А где А — безразмерная постоянная. Подставляя выражение для Йе, получим г" =Ап1о. (! 01.4) Эта формула справедлива при малых числах Рейнольдса ()те (( 1), так как она выведена в предположении, что влияние инерции жидкости пренебрежимо мало по сравнению с влиянием вязкости. Коэффициент А зависит от формы тела и его ориентации относительно потока. Его теоретическое вычисление довольно кропотливо и требует интегрирования уравнений движения вязкой жидкости. Простейшим является случай шара. Для этого случая Стоксом (1819— 1903) было показано, что А = бп, если за характерный размер 1 принять радиус шара а.
Таким образом, получается формула Стокса (101.5) Р„= бпт)аш % 1021 ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ И ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ 497 так как формула (101,5] получила широкие применения в очень важных физических опытах (определение заряда электрона методом Милликена, броуновское движение и пр.), то имеет смысл более подробно выяснить на конкретных примерах гранины ее применимости. В опытах Милликена (1888 — 1953) по определению заряда злектрона формула Стокса (101.5) применялась к капелькам масла, падавшим в воздухе под действием силы тяжести. Если ш — масса капли, то при установившемся равномерном падении вес капли те должен уравновешинаться силов вязкости бпт)оо, а потому те = бпиоо (архимедовой подъемной силой пренебрегаем). Если Р, — плотность 4п масла, то масса капли т= — а'р,.
Подставляя зто значение, находим сначала — о. скорость капли о, а затем и число Рейнольдса рао 2 аорроя КВ— Ч 9 Ч' где р — плотность воздуха. Условие применимости формулы Стокса йв к, ! дает ло 9 т)о 2 Ррой ' Подстанляя сюда з) = 1,8 10 ' гйс см), р = 1,29 10 ' г!смз, ро = 0,9 гlсмо, найдем, что для применимости формулы Стокса должно выполняться условие а %" 0,05 мм. Формулу можао применять для лоельчайших капелек тулоана. Однако о применении ее к каплям дождя, даже самым мелким, не может быть речи. В качестве второго примера возьмем капельки ртути, падающие в жидкости под действисло собственного веса. По скорости установившегося падения капли можно нычислить вязкость жидкости, Это дает практический метод измерения вязкости. В рассматриваемом случае надо учитывать архимедову выталкивающую силу.
Если ро — плотность ртути, р и Ч вЂ” плотвость и вязкость исследуемой жидкости, то для применимости формулы Стокса необходимо выполнение условия 9 ао (( 2 (Ро — Р) Рй ' Для воды т) =- 0,010 г)(с см), и мы получаем и =:.=, 0,15 л1м. $ 102. Потенциальные н вихревые движения 1, Все движения жидкостей подразделяются на потенциальные и вихревые. Рассмотрим поле скоростей жидкости о (к) в какой-то фиксированный момент времени. Возьмем в жидкости произвольный замкнутый контур С и на нем установим положительное направление обхода (рис. 2б7). Пусть т — единичный вектор касательной, а с(в — элемент длины контура, проведенные в положительном направлении. Интеграл Г =- ~ о, г)з =- () (о г(в) (102.1) с с называется 1(иркуляцией вектора скорости по контуру С.
Если циркуляция скорости по любому замкнутому контуру обращается в нуль, то движение жидкости называется потенциальным. В противном случае движение называется вихревым. При этом предполагается, что область пространства, в которой течет жидкость, одноевязна. Это значит, что любой замкнутый кон- 4ЗВ МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ [ГЛ. Хп тур в такой области непрерывной деформацией может быть стянут в точку, не пересекая при этом обтекаемые тела. Если же область не односвязна (например, жидкость, обтекающая тор), то приведенные определения необходимо дополнить следующими замечаниями.
В качестве С следует брать не все контуры, а только произвольные замкнутые контуры, которые непрерывной деформацией могут быть стянуты в точку, не выходя при этом за границы жидкости. Важным случаем может служить так называемое плоское течение являющееся идеализацией действительных течений. Пусть обтекаемое тело является бесконечно длинным цилиндром с произвольным поперечным сечением, а жидкость течет перпендикулярно к оси этого цилиндра. Тогда достаточно ограничиться рассмотрением течения в одной из с,)[' е / / Рис. 266.
Рис. 267. плоскостей, перпендикулярных к той же оси. Течение в этой плоскости и называется плоским. Оно будет потенциальным, если циркуляция скорости обращается в нуль по любому замкнутому контуру, не океатыеаюи[ему обтекаемый цилиндр, например по контуру С, (рис. 2б8). Но циркуляция по контуру С, окружающему цилиндр, может и не обращаться в нуль. Нетрудно показать, что при потенциальном течении циркуляция Г будет одной и той же длн всех замкнутых контуров, обходящих вокруг цилиндра один раз. Если Г ~ О, то говорят о потенциальном течении с [[ирку!.!я!!пей. 2. Определение потенциального течения совершенно аналогично определению консервативных сил (см, 2 24). Поэтому при потенциальном течении линейный интеграл ~ (е йз), взятый вдоль АВ незамкнутой кривой, соединяющей точки А и В, зависит только от положения крайних точек этой кривой А и В, но не зависит от формы самой кривой АВ.
Рассуждая так же, как в случае потенциальной энергии, можно ввести функцию координат [р, через которую скорость т! выражается формулой о = дгай !р (!02.2) (см. 2 29). Функция [р называется потенциалом скоростей. % югг потгнцилльныв и вихнввыг движения 499 Примером потенциального течения может служить течение жидкости вдоль параллельных прямых линий с постоянной скоростью. Можно показать, что всякое течение идеальной жидкости, возникшее иэ состояния покоя под действием консервативных сил, является гготен циольным. 3.
Примером вихревого движения может служить плоское течение жидкости, когда частицы последней вращаются по концентрическим окружностям с одной и той же угловой скоростью ы (рис. 269). Циркуляция скорости по окружности радиуса г в этом случае равна Г = 2пго = 2лггь«. Ее отиошег ° л ние к площади контура пг' будет,.=2ы, т. е. не зависит от радиуса г. Если утловая скорость вращения зависит от радиуса г, то вместо отношения Г/(пгг) берут его предел при г «-О.
Ясно, что этот предел равен удвоен- Рис. 269, ному значению угловой скорости, с которой вращаются частицы жидкости вблизи оси О. Этот предел называется вихрем или ротором скорости е, точнее, проекцией ротора на направление, перпендикулярное к плоскости контура. Вообще, для произвольного движения ротор скорости и определяется своими проекциями на произвольное направление следующим образом. Берется произвольный бесконечно малый контур с площадью ЬВ и внешней нормалью л. Проекция вектора го1 т«на направление нормали и определяется соот- Уг ношением го1„т« = 1ггп —, (102.3) Г ьэ-о ~~ ' У« где à — циркуляция вектора и вдоль рассматриваемого контура. 4. В качестве второго примера рассмотрим плоское течение жидкости параллельно хг хл оси Х, когда скорость потока меняется в поперечном направлении по линейному Рис.
270. закону о, = ау (рис. 270). Чтобы убедиться в вихревом характере течения, возьмем прямоугольный контур АВСР со сторонами, параллельными координатным осям. Циркуляция скорости по этому контуру будет Г = (х, — х,) (о, — о,) =- — а (х, — х,) (уи — у,). Ее отношение к площади контура ЛВ = (х, — х,) (у, — у,), или ротор скорости т« будет го1, тг = — а, МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ 1ГЛ. ХН ИЛИ да, го1, 22 = — — '. ду ' (102.4) Если ц,. меняется с координатой у не по линейному закону, а произвольно, то формула (102.4) остается верной, однако го1.
и становится функцией координаты у. Заметим еще, что в разбираемом примере скорость т2 можно представить в виде векторной суммы двух векторов и, и О2 с компо- нентами ак — = 2У а„а О2» = -- = . У~ 2 2 а ом 2 а о,„= — — х, 2 Вектор 22, представляется векторным произведением т2, = — — ' [ФА1 = — УТ вЂ” — хУ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
