1611141258-47e186b55442da1f685bffc23984eb18 (824993)
Текст из файла
1. ÎÏÐÅÄÅËÈÒÅËÈ1.1. Ïåðåñòàíîâêè è ïîäñòàíîâêèÎ ï ð å ä å ë å í è å 1. Âñÿêîå ðàñïîëîæåíèå ÷èñåë 1, 2, . . . , n â íåêîòîðîìïîðÿäêå íàçûâàåòñÿ ïåðåñòàíîâêîé (n-ïåðåñòàíîâêîé).Ìíîæåñòâî âñåõ n-ïåðåñòàíîâîê îáîçíà÷àåòñÿ Pn . ×èñëî âñåâîçìîæíûõ n-ïåðåñòàíîâîê ðàâíî n!.Î ï ð å ä å ë å í è å 2. Ãîâîðÿò, ÷òî â äàííîé ïåðåñòàíîâêå ÷èñëà i è j îáðàçóþò èíâåðñèþ, åñëè i > j , íî ñòîèò ðàíüøå j . Ïåðåñòàíîâêà íàçûâàåòñÿ÷åòíîé, åñëè ÷èñëî èíâåðñèé ÷åíîå, èíà÷å íå÷åòíîé.Î ï ð å ä å ë å í è å 3.
Âñÿêîå âçàèìíî îäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå ìíîæåñòâà {1, 2, . . . , n} íà ñåáÿ íàçûâàåòñÿ ïîäñòàíîâêîé (n-ïîäñòàíîâêîé).Îáû÷íî ïîäñòàíîâêè çàïèñûâàþò â âèäå òàáëèöû, ðàñïîëàãàÿ ÷èñëà âïåðâîé ñòðîêå â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ:1 2 ... nσ=,i1i2...inãäå (i1 , i2 , . . . , in ) n-ïåðåñòàíîâêà. Òàêàÿ ôîðìà çàïèñè îçíà÷àåò, ÷òîσ(1) = i1 , σ(2) = i2 , .
. . , σ(n) = in .Ìíîæåñòâî âñåõ n-ïîäñòàíîâîê îáîçíà÷àåòñÿ Sn . ×èñëî ðàçëè÷íûõ nïîäñòàíîâîê ðàâíî ÷èñëó âñåõ n-ïåðåñòàíîâîê. ×èñëî èíâåðñèé ïîäñòàíîâêè inv σ ðàâíî ÷èñëó èíâåðñèé ïåðåñòàíîâêè (i1 , i2 , . . . , in ). Çíàê sgn σïîäñòàíîâêè σ ðàâåí (−1)inv σ .Ï ð è ì å ð 1. Îïðåäåëèòå ÷åòíîñòü ïåðåñòàíîâêè (7, 5, 6, 4, 1, 3, 2).I Êîëè÷åñòâî èíâåðñèé ìîæíî ïîäñ÷èòàòü êàê ÷èñëî ýëåìåíòîâ ïåðåñòàíîâêè ïåðåä 1 + ÷èñëî ýëåìåíòîâ ïåðåä 2, êðîìå 1, + ÷èñëî ýëåìåíòîâïåðåä 3, êðîìå 1 è 2, è ò.ä..
. .Äëÿ äàííîé ïåðåñòàíîâêè ÷èñëî èíâåðñèé ðàâíî 4+5+4+3+1+1 = 18.Ñëåäîâàòåëüíî, äàííàÿ ïåðåñòàíîâêà ÷åòíàÿ.J1.2. Êîìáèíàòîðíîå îïðåäåëåíèå îïðåäåëèòåëÿÎ ï ð å ä å ë å í è å 4. Ïóñòü A êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà n-ãî ïîðÿäêà.Îïðåäåëèòåëåì ìàòðèöû A íàçûâàåòñÿ àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóììà n! ñëàãàåìûõ, êàæäûé ÷ëåí êîòîðîé ïðîèçâåäåíèå n ýëåìåíòîâ ìàòðèöû A,âçÿòûõ ïî îäíîìó èç êàæäîé ñòðîêè è êàæäîãî ñòîëáöà. Ïðè ýòîì êàæäîåñëàãàåìîå a1i1 a2i2 . . .
anin âõîäèò ñî çíàêîì sgn σ , ãäå σ =11 2 ... ni 1 i2 . . . i n,ò. å.det A =Xsgn σ a1i1 a2i2 . . . anin .(1)σ∈SnÏ ð è ì å ð 2. Âûÿñíèòå, êàêèå èç ïðîèçâåäåíèé âõîäÿò â îïðåäåëèòåëüñîîòâåòñòâóþùåãî ïîðÿäêà? Åñëè âõîäÿò, òî ñ êàêèì çíàêîì?à) a27 a36 a51 a74 a25 a43 a62 ;á) a33 a16 a72 a27 a55 a61 a44 .I à) Íå âõîäèò, ò. ê.
ïðîèçâåäåíèå ñîäåðæèò äâà ìíîæèòåëÿ èç âòîðîéñòðîêè: a27 è a25 .á) Âõîäèò ñî çíàêîì +, ò. ê. ïîäñòàíîâêà16273344556172÷åòíàÿ (÷èñëî èíâåðñèé ðàâíî 16).JÏ ð è ì å ð 3. Ïîëüçóÿñü òîëüêî îïðåäåëåíèåì îïðåäåëèòåëÿ, âû÷èñëèòå a110...0 a21 a22 . . .0 .................... .
an1 an2 . . . ann I Çàìåòèì, ÷òî åäèíñòâåííûì íåíóëåâûì ñëàãàåìûì â ïðàâîé ÷àñòè (1) áóäåò òîëüêî ïðîèçâåäåíèåa11 a22 . . .ann . Åãî èíäåêñû ñîñòàâëÿþòòîæäåñòâåííóþ ïîäñòàíîâêó ε =1 2 ... n1 2 ... na110...0a21 a22 . . .0....................an1 an2 . . . ann, sgn ε = 1. Ñëåäîâàòåëüíî, = a11 a22 . . . ann .J1.3. Âû÷èñëåíèå îïðåäåëèòåëåé ìàëîãî ïîðÿäêàÏ ð å ä ë î æ å í è å 1 (Ñâîéñòâà îïðåäåëèòåëåé).1) Äëÿ ëþáîé êâàäðàòíîé ìàòðèöû det A = det AT . ÷àñòíîñòè, âñå ñâîéñòâà, ñôîðìóëèðîâàííûå äëÿ ñòðîê, âåðíû è äëÿñòîëáöîâ.2) Îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû ñ íóëåâîé ñòðîêîé ðàâåí íóëþ.3) Åñëè â ìàòðèöå ïîìåíÿòü ìåñòàìè ëþáûå äâå ñòðîêè, òî îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû ñìåíèò çíàê íà ïðîòèâîïîëîæíûé.24) Îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû ñ äâóìÿ îäèíàêîâûìè ñòðîêàìè ðàâåí íóëþ.5) Îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû åñòü ïîëèëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ ñòðîê ìàòðèöû.6) Äëÿ ëþáîé n × n ìàòðèöû A è ëþáîãî ñêàëÿðà λdet(λA) = λn det A.7) Ïðèáàâëåíèå ê îäíîé ñòðîêå äðóãîé, óìíîæåííîé íà ÷èñëî, íå ìåíÿåò îïðåäåëèòåëÿ.8) Äëÿ âñåõ n × n ìàòðèö A è Bdet(A · B) = det A · det B.Î ï ð å ä å ë å í è å 5.
Ìèíîðîì ïîðÿäêà k (íå îáÿçàòåëüíî êâàäðàòíîé)ìàòðèöû A íàçûâàþò îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû, ñîñòàâëåííîé èç ýëåìåíòîâìàòðèöû A, ñòîÿùèõ íà ïåðåñå÷åíèè êàêèõ-ëèáî ðàçëè÷íûõ k ñòðîê è kñòîëáöîâ ìàòðèöû A.Ïóñòü A n × n ìàòðèöà. Îáîçíà÷èì Mij (A) ìèíîð ïîðÿäêà n − 1, ïîëó÷åííûé èç A âû÷åðêèâàíèåì ñòðîêè è ñòîëáöà, ñîäåðæàùèõ aij . ×èñëî(−1)i+j Mij (A) íàçûâàþò àëãåáðàè÷åñêèì äîïîëíåíèåì ýëåìåíòà aij ìàòðèöû A.Ò å î ð å ì à 1 (Ëàïëàñ). Äëÿ êàæäîé ñòðîêè ìàòðèöû A îïðåäåëèòåëü det A ðàâåí ñóììå ïðîèçâåäåíèé ýëåìåíòîâ â ýòîé ñòðîêå íà èõàëãåáðàè÷åñêèå äîïîëíåíèÿ; àíàëîãè÷íî äëÿ êàæäîãî ñòîëáöà:Xdet A =(−1)i+j aij Mij (A), 1 ≤ i ≤ n;1≤j≤ndet A =X(−1)i+j aij Mij (A),1 ≤ j ≤ n.1≤i≤nîïðåäåëèòåëåé,Ï ð è ì å ð 4.
Ïîëüçóÿñü ñâîéñòâàìè âû÷èñëèòå: a 3 0 5 1111 0 b 0 2 1 −111 ;à) á). 11 −11 1 2 c 3 0 0 0 d 111 −1 I à) Îïðåäåëèòåëè ïîðÿäêà 4 è âûøå âû÷èñëÿþò ðàçëîæåíèåì ïîñòðîêå èëè ïî ñòîëáöó. Ïðè ýòîì ëó÷øå âûáèðàòü òó ñòðîêó (èëè ñòîëáåö),â êîòîðîé ïî÷òè âñå ýëåìåíòû ðàâíû íóëþ. äàííîì ïðèìåðå ðàçëîæèì îïðåäåëèòåëü, íàïðèìåð, ïî ïîñëåäíåéñòðîêå.
Òàê êàê ïî÷òè âñå ýëåìåíòû ýòîé ñòðîêè, êðîìå d, ðàâíû íóëþ,3òî åäèíñòâåííûì íåíóëåâûì ñëàãàåìûìãåáðàè÷åñêîå äîïîëíåíèå a 3 0 5 a 0 b 0 2 = (−1)4+4 d · 0 1 2 c 3 1 0 0 0 d Äàëåå ìîæíî ðàçëîæèòü a 3d · 0 b 1 2áóäåò ïðîèçâåäåíèå d íà åãî àë-3b200c a 3 0 = d · 0 b 0 . 1 2 c ïî ïîñëåäíåìó ñòîëáöó0 a 30 = (−1)3+3 cd 0 bc = abcd.á) Ïðåîáðàçóåì îïðåäåëèòåëü òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû îäèí èç åãî ñòîëáöîâ (èëè îäíà èç ñòðîê) ñîäåðæàë(à) ìàêñèìàëüíîå êîëè÷åñòâî íóëåé.Äëÿ ýòîãî áóäåì ïðèáàâëÿòü ê ñòðîêàì (ñòîëáöàì) îïðåäåëèòåëÿ äðóãèåñòðîêè (ñòîëáöû), óìíîæåííûå íà ïîäõîäÿùèå ÷èñëà. Ïðè ýòîì âàæíîñëåäèòü çà òåì, ÷òîáû èçìåíÿòü èìåííî òó ñòðîêó (ñòîëáåö), ê êîòîðîéïðèáàâëÿåì, à òàêæå çà ïîðÿäêîì ñòðîê.Ïðèáàâèì ïîñëåäíþþ ñòðîêó êî âñåì ïðåäûäóùèì è ðàçëîæèì îïðåäåëèòåëü ïî ïîñëåäíåìó ñòîëáöó 1111 2 2 20 2 2 2 1 −1 2 0 2110= = (−1)4+4 · (−1) · 2 0 2 .
1 2 2 01−110 2 2 0 111 −11 1 1 −1Äàëåå, åñëè âûíåñòè 2 èç êàæäîé ñòðîêè îïðåäåëèòåëÿ è âû÷åñòü èç ïåðâîãî ñòîëáöà ïîñëåäíèé, ïîëó÷èì 2 2 2 0 1 1 − 2 0 2 = −23 · 0 0 1 . 2 2 0 1 1 0 Îñòàëîñü ðàçëîæèòü ïî ïåðâîìó ñòîëáöó: 03 −2 · 0 110111033+1 1· = −2 · (−1) 01.4. Âû÷èñëåíèå îïðåäåëèòåëåé4n-ãî113 = −2 .ïîðÿäêàJÌåòîä âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëèòåëåé ñ ÷èñëîâûìè ýëåìåíòàìè, ñîñòîÿùèé â îáðàùåíèè â íóëü âñåõ ýëåìåíòîâ íåêîòîðîé ñòðîêè (ñòîëáöà), êðîìå îäíîãî, è ïîñëåäóþùåì ïîíèæåíèè ïîðÿäêà, ñòàíîâèòñÿ âåñüìà ãðîìîçäêèì â ñëó÷àå îïðåäåëèòåëåé ñ áóêâåííûìè ýëåìåíòàìè. Òåì áîëååýòîò ìåòîä íåóäîáåí â ñëó÷àå âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëèòåëåé ïðîèçâîëüíîãîïîðÿäêà n.Îáùåãî ìåòîäà äëÿ âû÷èñëåíèÿ òàêèõ îïðåäåëèòåëåé íå ñóùåñòâóåò.Ê îïðåäåëèòåëÿì òîãî èëè èíîãî ñïåöèàëüíîãî âèäà ïðèìåíÿþò ðàçëè÷íûå ìåòîäû, ïðèâîäÿùèå ê áîëåå ïðîñòîé, ÷åì (1) , ôîðìóëå.
Ïðèâåäåìíàèáîëåå óïîòðåáèòåëüíûå èç íèõ.Ïðèâåäåíèå ê òðåóãîëüíîìó âèäó. Îïðåäåëèòåëü ïðåîáðàçóþò ê òàêîìó âèäó, ãäå âñå ýëåìåíòû, ëåæàùèå ïî îäíîìó ñòîðîíó îäíîé èç äèàãîíàëåé, ðàâíû íóëþ. Ñëó÷àé ïîáî÷íîé äèàãîíàëè ñâîäèòñÿ ê ãëàâíîé ïóòåìèçìåíåíèÿ ïîðÿäêà ñòðîê (ñòîëáöîâ).Ï ð è ì å ð 5. Âû÷èñëèòå ïðèâåäåíèåì ê òðåóãîëüíîìó âèäó îïðåäåëèòåëü 1 2 3 ... n − 2 n − 1 n 2 3 4 ... n − 1nn nnn .D = 3 4 5 . . . ................................. n n n ...nnn I Âû÷òåì ïîñëåäíþþ ñòðîêó èç êàæäîé ñòðîêè. 1 2 3 . .
. n − 2 n − 1 n 1 − n 2 − n . . . −2 −1 0 2 3 4 ... n − 1nn 2 − n 3 − n . . . −100nnn = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .D = 3 4 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −10...000 n n n ...nnn nn... nn n.Ðàçëîæèì ïîëó÷åííûé îïðåäåëèòåëü ïî ïîñëåäíåìó ñòîëáöó.
Ïîëó÷èìîïðåäåëèòåëü, ñîäåðæàùèé íóëåâûå ýëåìåíòû íèæå ïîáî÷íîé äèàãîíàëè.Ïðè ýòîì ïîëó÷åííûé îïðåäåëèòåëü èìååò ïîðÿäîê n − 1. 1 − n 2 − n . . . −2 −1 2 − n 3 − n . . . −1 0 .D = (−1)n+n · n · ............................ −10...00 Ïåðåñòàíîâêîé ñòîëáöîâ ïðèâåäåì ìàòðèöó îïðåäåëèòåëÿ ê âåðõíåòðåóãîëüíîìó âèäó. Äëÿ ýòîãî ñíà÷àëà ïîñòàâèì ïîñëåäíèé ñòîëáåö íà ìåñòîïåðâîãî, ïîñëåäîâàòåëüíî ïåðåñòàâëÿÿ åãî ñ ñîñåäíèì ñòîëáöîì.
Ïðè ýòîì5áóäåò ïðîèçâåäåíî n − 1 ïåðåñòàíîâêà ñòîëáöîâ. Ñëåäîâàòåëüíî, îïðåäåëèòåëü èçìåíèò çíàê n − 1 ðàç. −1 1 − n 2 − n . . . −2 2 − n 3 − n . . . −1 n−1 0D = n · (−1)·. ............................ 0−10...0 Àíàëîãè÷íî ïåðåñòàâèì ïîñëåäíèé ñòîëáåö ïîëó÷åííîãî îïðåäåëèòåëÿ íàìåñòî âòîðîãî. Ïðè ýòîì îïðåäåëèòåëü èçìåíèò çíàê n − 2 ðàçà. −1 −2 1 − n 2 − n . . .
−3 0 −1 2 − n 3 − n . . . −2 .D = n · (−1)(n−1)+(n−2) · .................................. 00−10...0 Ïðîäîëæàÿ òàê äàëåå ïåðåñòàâëÿòü ñòîëáöû, ïîëó÷èìD==(n−1)+(n−2)+...+1 n · (−1)·n · (−1)n(n−1)2−1 −2 . . . 1 − n0−1 . . . 2 − n.....................00...−1· (−1)n−1 = (−1)(n−1)(n+2)2J· n.Ìåòîä ðåêóððåíòíûõ ñîîòíîøåíèé. Îïðåäåëèòåëü âûðàæàþò, ïðåîáðàçóÿ è ðàçëàãàÿ ïî ñòðîêå èëè ñòîëáöó, ÷åðåç îïðåäåëèòåëè òîãî æåâèäà, íî ìåíüøåãî ïîðÿäêà. Ïîëó÷åííîå ðàâåíñòâî íàçûâàåòñÿ ðåêóððåíòíûì ñîîòíîøåíèåì.I ñïîñîá (¾ñíèçó ââåðõ¿). Ïî îáùåìó âèäó îïðåäåëèòåëÿ âû÷èñëÿþòñòîëüêî îïðåäåëèòåëåé íèçøèõ ïîðÿäêîâ, ñêîëüêî èõ áûëî â ïðàâîé ÷àñòè ðåêóððåíòíîãî ñîîòíîøåíèÿ. Îïðåäåëèòåëè áîëåå âûñîêèõ ïîðÿäêîââû÷èñëÿþòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíî èç ðåêóððåíòíîãî ñîîòíîøåíèÿ.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
