1611141204-af1ccf3aad555d60c642772d1569f93c (824977)
Текст из файла
ËÈÍÅÉÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ È ÃÅÎÌÅÒÐÈßËåêòîð Íàòàëüÿ Àíàòîëüåâíà ÊóäðÿâöåâàÏðîãðàììà êóðñà ëåêöèé(1-é ñåìåñòð, ëåêöèè 36 ÷., ñåìèíàðû 36 ÷., ýêç.)1. Âåêòîðíàÿ àëãåáðàÂåêòîð êàê íàïðàâëåííûé îòðåçîê. Äëèíà âåêòîðà. Íóëåâîé âåêòîð. Òî÷êà ïðèëîæåíèÿ âåêòîðà. Ðàâåíñòâî äâóõ âåêòîðîâ.Ëèíåéíûå îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè: ñëîæåíèå âåêòîðîâ, óìíîæåíèå íà ÷èñëî. Ñâîéñòâà ëèíåéíûõ îïåðàöèé.Ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ âåêòîðîâ. Êîëëèíåàðíûå è êîìïëàíàðíûåâåêòîðû. Áàçèñ è êîîðäèíàòû âåêòîðà. Ïðÿìîóãîëüíàÿ äåêàðòîâà ñèñòåìà êîîðäèíàò. Ïðåîáðàçîâàíèå êîîðäèíàò âåêòîðà. Ìàòðèöû, óìíîæåíèå ìàòðèö.Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå. Àëãåáðàè÷åñêèå ñâîéñòâà ñêàëÿðíîãîïðîèçâåäåíèÿ.
Îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ, íàïðàâëÿþùèå êîñèíóñûâåêòîðà. Ïðåäñòàâëåíèå ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ â êîîðäèíàòàõ. Âûðàæåíèå äëèíû è óãëà ìåæäó âåêòîðàìè ÷åðåç ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå. Ïðîåêöèÿ âåêòîðà íà îñü.Îðèåíòàöèÿ ïðÿìîé, ïëîñêîñòè, ïðîñòðàíñòâà. Ïëîùàäü îðèåíòèðîâàííîãî ïàðàëëåëîãðàììà è îáúåì îðèåíòèðîâàííîãî ïàðàëëåëåïèïåäà.Ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå êàê îáúåì îðèåíòèðîâàííîãî ïàðàëëåëåïèïåäà.
Àëãåáðàè÷åñêèå ñâîéñòâà. Ñâÿçü ñêàëÿðíîãî è ñìåøàííîãîïðîèçâåäåíèÿ. Âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ âåêòîðîâ. Àëãåáðàè÷åñêèå ñâîéñòâà âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ.Îïðåäåëèòåëè âòîðîãî è òðåòüåãî ïîðÿäêîâ. Âûðàæåíèå âåêòîðíîãî è ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèé â êîîðäèíàòàõ. Óñëîâèÿ êîëëèíåàðíîñòè (êîìïëàíàðíîñòè) âåêòîðîâ. Ñâîéñòâà îðèåíòèðîâàííîãî ïàðàëëåëîãðàììà. Ôîðìóëà äâîéíîãî âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ.222.
Ïðÿìûå è ïëîñêîñòèÓðàâíåíèÿ ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåé. Íàïðàâëÿþùèé âåêòîð ïðÿìîé,ïëîñêîñòè. Ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ïðÿìîé è ïëîñêîñòè. Íîðìàëüê ïðÿìîé, ïëîñêîñòè. Íîðìàëüíûå óðàâíåíèÿ ïðÿìîé è ïëîñêîñòè. Îáùåå óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïëîñêîñòè. Äðóãèå ñïîñîáû çàäàíèÿ ïðÿìîé èïëîñêîñòè.Ðàññòîÿíèå îò òî÷êè äî ïðÿìîé, ïëîñêîñòè. Ðàññòîÿíèå ìåæäó ïðÿìûìè.
Ïðîåêöèè è ïåðïåíäèêóëÿðû. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ïðÿìûõ,ïëîñêîñòåé.3. Êðèâûå âòîðîãî ïîðÿäêàÊðèâûå âòîðîãî ïîðÿäêà êàê êîíè÷åñêèå ñå÷åíèÿ. Ïîëÿðíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò. Ïîëÿðíûå óðàâíåíèÿ êðèâûõ âòîðîãî ïîðÿäêà: ýëëèïñà, ãèïåðáîëû, ïàðàáîëû. Ôîêóñû è äèðåêòðèñû, ýêñöåíòðèñèòåò. Êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ýëëèïñà, ãèïåðáîëû, ïàðàáîëû. Èññëåäîâàíèåôîðìû êðèâîé: ñèììåòðèè, âåðøèíû, ïîëóîñè, àñèìïòîòû.
Ôîêàëüíûå è îïòè÷åñêèå ñâîéñòâà.Îáùåå óðàâíåíèå êðèâîé âòîðîãî ïîðÿäêà. Ïðèâåäåíèå îáùåãîóðàâíåíèÿ êðèâîé âòîðîãî ïîðÿäêà ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó. Êëàññû ïîâåðõîñòåé âòîðîãî ïîðÿäêà.4. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà. Ìíîãî÷ëåíûÃåîìåòðè÷åñêîå îïðåäåëåíèå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë. Àëãåáðàè÷åñêàÿè òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ôîðìà çàïèñè êîìïëåêñíîãî ÷èñëà.
Àëãåáðàè÷åñêèå îïåðàöèè. Ñîïðÿæåíèå. Êîìïëåêñíàÿ ýêñïîíåíòà è ôîðìóëàÝéëåðà. Âîçâåäåíèå â öåëóþ ñòåïåíü è ôîðìóëà Ìóàâðà. Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå è ãèïåðáîëè÷åñêèå ôóíêöèè. Èçâëå÷åíèå êîðíÿ èç êîìïëåêñíîãî ÷èñëà, êîðíè èç åäèíèöû.Êîðíè ìíîãî÷ëåíà. Êðàòíîñòü êîðíÿ. Ñóùåñòâîâàíèå êîìïëåêñíîãî êîðíÿ ìíîãî÷ëåíà (áåç äîêàçàòåëüñòâà). Àëãîðèòì äåëåíèÿ ñ îñòàòêîì.5. Ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèéÑèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé. Ìàòðè÷íàÿ ôîðìàçàïèñè ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé. Ñîâìåñòíûå è íåñîâìåñòíûå,îïðåäåëåííûå è íåîïðåäåëåííûå ñèñòåìû. Ýêâèâàëåíòíûå ñèñòåìû.23Ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ñòðîê.
Ñòóïåí÷àòûé âèä. Ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíîãî èñêëþ÷åíèÿ íåèçâåñòíûõ. Ðàíã ìàòðèöû. Êðèòåðèéñîâìåñòíîñòè ñèñòåìû.6. Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâàËèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà ñòðîê è ñòîëáöîâ. Àêñèîìû ëèíåéíîãîïðîñòðàíñòâà. Ëèíåéíûå êîìáèíàöèè, ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà. Ëèíåéíàÿçàâèñèìîñòü, íåçàâèñèìîñòü. Ñâîéñòâà ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè.
Áàçèñëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà. Ðàçìåðíîñòü ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà. Êîîðäèíàòû âåêòîðà â íåêîòîðîì áàçèñå. Ìàòðèöà ïåðåõîäà îò îäíîãîáàçèñà ê äðóãîìó. Ðàíã ìàòðèöû ïî ñòðîêàì è ïî ñòîáöàì. Ðàâåíñòâîñòîëáöîâîãî è ñòðî÷íîãî ðàíãîâ ìàòðèö.Îäíîðîäíûå ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé. Ïðîñòðàíñòâî ðåøåíèé. Íåîäíîðîäíàÿ ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé. Ìíîãîîáðàçèå ðåøåíèé. Êðèòåðèé ñîâìåñòíîñòè ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé.Ïðîñòðàíñòâî ìàòðèö. Ìàòðè÷íûå åäèíèöû. Òðàíñïîíèðîâàíèå.Ìàòðèöû ñïåöèàëüíîãî âèäà: ñêàëÿðíûå, äèàãîíàëüíûå. Ñèììåòðè÷íûå è êîñîñèììåòðè÷íûå ìàòðèöû.7. ÎïðåäåëèòåëèÃåîìåòðè÷åñêàÿ ìîòèâèðîâêà. Ïîäñòàíîâêè è ïåðåñòàíîâêè. Èíâåðñèè, ÷åòíîñòü ïåðåñòàíîâêè, ïîäñòàíîâêè.
Êîìáèíàòîðíîå îïðåäåëåíèå îïðåäåëèòåëÿ. Ñâîéñòâà îïðåäåëèòåëåé. Ìèíîðû è àëãåáðàè÷åñêèå äîïîëíåíèÿ. Ðàçëîæåíèå îïðåäåëèòåëÿ ïî ñòðîêå èëè ñòîëáöó.Îïðåäåëèòåëü (áëî÷íîé) òðåóãîëüíîé ìàòðèöû. Îïðåäåëèòåëü ïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèö.Ïîëèëèíåéíîñòü è êîñîñèììåòðè÷íîñòü îïðåäåëèòåëÿ. Õàðàêòåðèçàöèÿ åãî ýòèìè ñâîéñòâàìè (áåç äîêàçàòåëüñòâà).Êðèòåðèé íåâûðîæäåííîñòè ìàòðèöû. Îáðàòíàÿ ìàòðèöà. Ôîðìóëû Êðàìåðà.Ðàíã ìàòðèöû ïî ìèíîðàì, ýêâèâàëåíòíîñòü ñ ïðåæíèìè îïðåäåëåíèÿìè.8.
Êâàäðàòè÷íûå ôîðìû è ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêàÁèëèíåéíûå ôîðìû. Ñèììåòðè÷åñêèå è êîñîñèììåòðè÷åñêèå ôîðìû. Êâàäðàòè÷íûå ôîðìû. Ïîëÿðèçàöèÿ. Ìàòðèöà áèëèíåéíîé ôîðìû. Çàêîí èçìåíåíèÿ ìàòðèöû áèëèíåéíîé ôîðìû ïðè ñìåíå áàçèñà.24Êîíãðóýíòíîñòü ìàòðèö. Ìåòîä Ëàãðàíæà ïðèâåäåíèÿ êâàäðàòè÷íîéôîðìû ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó.Íîðìàëüíûé âèä êâàäðàòè÷íûõ ôîðì íàä C è R. Çàêîí èíåðöèèäëÿ âåùåñòâåííûõ êâàäðàòè÷íûõ ôîðì. Èíäåêñû èíåðöèè, ñèãíàòóðà. Ïîëîæèòåëüíî è îòðèöàòåëüíî îïðåäåëåííûå êâàäðàòè÷íûå ôîðìû. Íåîòðèöàòåëüíî è íåïîëîæèòåëüíî ïîëóîïðåäåëåííûå êâàäðàòè÷íûå ôîðìû. Ãëàâíûå ìèíîðû. Ìåòîä ßêîáè îïðåäåëåíèÿ ñèãíàòóðûôîðìû. Ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííûå êâàäðàòè÷íûå ôîðìû.
Êðèòåðèé Ñèëüâåñòðà.Ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà: âèä è êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ.Ëèòåðàòóðà1. Óëüÿíîâ À. Ï. Êîíñïåêò ëåêöèé ïî àëãåáðå è ãåîìåòðèè.2. Äîëãóíöåâà È. À., Óëüÿíîâ À. Ï. Ïðàêòèêóì ïî àíàëèòè÷åñêîéãåîìåòðèè è ëèíåéíîé àëãåáðå.3. Àëåêñàíäðîâà Í. À. Ñåìèíàðû ïî âûñøåé àëãåáðå è àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè.4.
Êîñòðèêèí À. È. Ââåäåíèå â àëãåáðó. ×àñòü 1. Îñíîâû àëãåáðû.5. Êîñòðèêèí À. È. Ââåäåíèå â àëãåáðó. ×àñòü 2. Ëèíåéíàÿ àëãåáðà.6. Êóðîø Â. Ã. Êóðñ âûñøåé àëãåáðû.7. Áåêëåìèøåâ Ä. Â. Êóðñ àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè è ëèíåéíîéàëãåáðû.8. Êîñòðèêèí À. È., Ìàíèí Þ. È. Ëèíåéíàÿ àëãåáðà è ãåîìåòðèÿ.9. Ãåëüôàíä È. Ì. Ëåêöèè ïî ëèíåéíîé àëãåáðå.10. Àëåêñàíäðîâ À. Ä., Íåöâåòàåâ Í. Þ. Ãåîìåòðèÿ.11.
Ïîãîðåëîâ À. Â. Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ.12. Ìîäåíîâ Ï. Ñ. Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ.13. Èëüèí Â. À., Ïîçíÿê Ý. Ã. Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ.14. Êîñòðèêèí À. È. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî àëãåáðå.15. Ïðîñêóðÿêîâ È. Â. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî ëèíåéíîé àëãåáðå.16. Ôàääååâ Ä. Ê., Ñîìèíñêèé È. Ñ. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî âûñøåéàëãåáðå.17.
Áàõâàëîâ Ñ. Â., Ìîäåíîâ Ï. Ñ., Ïàðõîìåíêî À. Ñ. Ñáîðíèêçàäà÷ ïî àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè.18. Áåêëåìèøåâà Ë. À., Ïåòðîâè÷ À. Þ., ×óáàðîâ È. À. Ñáîðíèêçàäà÷ ïî àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè è ëèíåéíîé àëãåáðå.25Ïëàí ñåìèíàðîâ1. Ìàòðèöû, óìíîæåíèå ìàòðèö. Âû÷èñëåíèå îïðåäåëèòåëåé âòîðîãî è òðåòüåãî ïîðÿäêà.
(1 ÷àñ)2. Âåêòîðíàÿ àëãåáðà. (3 ÷àñà)3. Ïðÿìûå è ïëîñêîñòè. (4 ÷àñà)4. Ïðåîáðàçîâàíèå ñèñòåìû êîîðäèíàò. (1 ÷àñ)5. Êðèâûå âòîðîãî ïîðÿäêà. (2 ÷àñà)6. Ïðèâåäåíèå îáùåãî óðàâíåíèÿ êðèâîé âòîðîãî ïîðÿäêà ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó. (2 ÷àñà)7. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà. (2 ÷àñà)8. Ìíîãî÷ëåíû è èõ êîðíè. (2 ÷àñà)9. Ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé. Ìåòîä èñêëþ÷åíèÿ íåèçâåñòíûõ.Ðàíã ìàòðèöû. (2 ÷àñà)10. Ïðîñòðàíñòâî ðåøåíèé, ôóíäàìåíòàëüíûå ðåøåíèÿ. Ìíîãîîáðàçèå ðåøåíèé. (2 ÷àñà)11. Îáðàòíàÿ ìàòðèöà.
Ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå AX = B . (1 ÷àñ)12. Ñâîéñòâà îïðåäåëèòåëåé. Ìåòîäû âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëèòåëåé èèõ ïðèëîæåíèÿ. (4 ÷àñà)13. Êâàäðàòè÷íûå ôîðìû. Ìåòîä Ëàãðàíæà. (2 ÷àñà)14. Âåùåñòâåííûå êâàäðàòè÷íûå ôîðìû. (2 ÷àñà)15. Ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà. (2 ÷àñà)16. Êîíòðîëüíûå ðàáîòû, çà÷åò. (2 ÷àñà)Çàäàíèÿ ïî ëèíåéíîé àëãåáðåè ãåîìåòðèèÇàäàíèÿ, ïîìå÷åííûå çâåçäî÷êîé, íå ÿâëÿþòñÿ îáÿçàòåëüíûìèäëÿ ïîëó÷åíèÿ äîïóñêà ê ýêçàìåíó, îäíàêî ïðèíîñÿò äîïîëíèòåëüíûå áàëëû. Âû÷èñëèòåëüíûå çàäà÷è ÿâëÿþòñÿ ëèøü îáðàçöàìè, â ñîîòâåòñòâèè ñ íèìè ïðåïîäàâàòåëè âûäàäóò ñòóäåíòàì èíäèâèäóàëüíûå çàäàíèÿ.Çàäàíèå 1 (ñäàòü ê 8 îêòÿáðÿ )1.
Âåðøèíû (íåïðÿìîóãîëüíîãî) òðåóãîëüíèêà ABC è òî÷êà H ïå-ðåñå÷åíèÿ åãî âûñîò çàäàíû ðàäèóñ-âåêòîðàìè a, b, c è h. Äîêàçàòü, ÷òîa tg A + b tg B + c tg C.h=tg A + tg B + tg C262. Âûðàçèòü ïëîùàäü ïðîåêöèè ïàðàëëåëîãðàììà íà âåêòîðàõ v èw íà ïëîñêîñòü ñ åäèíè÷íîé íîðìàëüþ n ïðîñòåéøèì îáðàçîì÷åðåç äàííûå âåêòîðû.3. Äëÿ âñåõ âåêòîðîâ ai , bi ïðîñòðàíñòâà R3 äîêàçàòü òîæäåñòâî a ·b(a1 × a2 ) · (b1 × b2 ) = 1 1a2 · b14.a1 · b2 .a2 · b2 (a) Çàïèñàòü óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó ñðàäèóñ-âåêòîðîì r0 è ïàðàëëåëüíîé ïðîåêöèè âåêòîðà v íàïëîñêîñòü ñ åäèíè÷íîé íîðìàëüþ n.(b) Çàäàòü ýòó ïðÿìóþ ïàðàìåòðè÷åñêè äëÿ êîíêðåòíûõ âåêòîðîâ.5.
Òî÷êè A, B , C è D ÿâëÿþòñÿ âåðøèíàìè òåòðàýäðà. Ðàñïîëî-æèòü ñåìü ïëîñêîñòåé òàê, ÷òîáû êàæäàÿ èç íèõ áûëà ðàâíîóäàëåíà îò âñåõ ÷åòûðåõ òî÷åê. Âûáðàâ äâå òàêèå ïëîñêîñòè,çàïèñàòü îáùåå óðàâíåíèå îäíîé ïëîñêîñòè è ïàðàìåòðè÷åñêîåóðàâíåíèå äðóãîé.6.(a) Çàïèñàòü âåêòîðíóþ ôîðìóëó äëÿ íàõîæäåíèÿ òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìîé r = r1 + ta è ïëîñêîñòè r = r2 + ub + vc.(b) Íàéòè ýòó òî÷êó äëÿ êîíêðåòíûõ ïðÿìîé è ïëîñêîñòè.7.  ïðîñòðàíñòâå äàíû ïðÿìûåxyz= =1a1(èx − ay + a − 1 = 0,x − z + a2 − 4a + 3 = 0.(a) Îïðåäåëèòü, ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà a ýòè ïðÿìûåñîâïàäàþò, ïàðàëëåëüíû, ïåðåñåêàþòñÿ, ñêðåùèâàþòñÿ.(b) Ïðè a = 2 íàéòè îñíîâàíèÿ îáùåãî ïåðïåíäèêóëÿðà ê ýòèìïðÿìûì.8. Äîêàçàòü, ÷òî ïîëîâèíà àáñîëþòíîé âåëè÷èíû ÷èñëà x1 x2 x3y1y2y3111ðàâíà ïëîùàäè òðåóãîëüíèêà ñ âåðøèíàìè (xi , yi ), i = 1, 2, 3.279.
Íàéòè â âåêòîðíîé ôîðìå ðåøåíèå r ñèñòåìû òðåõ óðàâíåíèér · ai = ci ,i = 1, 2, 3,ãäå ai íåêîìïëàíàðíû.10*. (Ôîðìóëà Ðîäðèãà) Åäèíè÷íûé âåêòîð u ∈ R3 è ÷èñëî θ ∈ Rçàäàþò ïîâîðîò ïðîñòðàíñòâà íà óãîë θ âîêðóã îñè, ïðîõîäÿùåé÷åðåç u. Äîêàçàòü, ÷òî ïðîèçâîëüíûé âåêòîð v ïðåîáðàçóåòñÿ ââåêòîðv cos θ + u(u · v)(1 − cos θ) ± u × v sin θ.Çíàê âûáèðàåòñÿ ñîãëàñíî íàïðàâëåíèþ ïîâîðîòà.Çàäàíèå 2 (ñäàòü ê 5 íîÿáðÿ )1. Íàéòè ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî öåíòðîâ îêðóæíîñòåé, ïðîõîäÿùèõ÷åðåç äàííóþ òî÷êó è êàñàþùèõñÿ: (a) äàííîé ïðÿìîé; (b) äàííîé îêðóæíîñòè.2. Ýëëèïñ, ãèïåðáîëà èëè ïàðàáîëà çàäàíà ñâîèì êàíîíè÷åñêèìóðàâíåíèåì. Èç òî÷êè (x0 , y0 ) âíå ýòîé ëèíèè ê íåé ïðîâåäåíûäâå êàñàòåëüíûå. Íàéòè óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåçîáå òî÷êè êàñàíèÿ.3.
Äîêàçàòü, ÷òî ñóììà îáðàòíûõ âåëè÷èí îòðåçêîâ, íà êîòîðûåôîêóñ äàííîé ïàðàáîëû äåëèò ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç íåãî õîðäó,ïîñòîÿííà.4. Íàéòè ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðÿìîóãîëüíûõ êîîðäèíàò âïðîñòðàíñòâå, åñëè íà÷àëà äâóõ ñèñòåì ðàçëè÷íû, à êîíöû åäèíè÷íûõ áàçèñíûõ âåêòîðîâ ñîâïàäàþò.5. Íàéòè êàíîíè÷åñêèå ïðÿìîóãîëüíûå êîîðäèíàòû, êàíîíè÷åñêîåóðàâíåíèå, òèï, ôîêóñû, äèðåêòðèñû è àñèìïòîòû êðèâûõ âòîðîãî ïîðÿäêà:(a) x2 − 4xy + 4y 2 − 7x + 9y + 16 = 0;(b) x2 − 4xy + 4y 2 − 5x + 10y + 16 = 0;(c) 2x2 + 3xy − 2y 2 + 5y + 2 = 0;(d) 2x2 + 3xy − 2y 2 + 5y − 2 = 0.286. Íàéòè òðèãîíîìåòðè÷åñêóþ ôîðìó çàïèñè ÷èñåë, ãäå α ∈ R:1 + i tg α;1 − i tg α27(1 + cos α + i sin α) ;√ !181+i 3;1−is81−i√ .i+ 37.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
