1610912328-c3a7d649188d9ad88623b2108012595c (824707)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

1Монотонные функцииТеорема 1.1. Если функция монотонна, то она может иметь разрывы только первогорода.Следствие 1.2. Монотонная функция может иметь не более чем счетное число разрывов.Следствие 1.3. Пусть f : [a, b] → R — неубывающаяфункция.Для ]того, чтобы f была() [непрерывной, необходимо и достаточно, чтобы f [a, b] = f (a), f (b) .Начало лекцииТеорема 1.4. Если( f) : [a, b] → R — возрастающая функция, то существует обратная−1функция f : f [a, b] → R, которая тоже является возрастающей. Более того, еслидополнительно известно, что f непрерывна, то f −1 тоже непрерывна.Доказательство. Функция f является возрастающей, поэтому из неравенства x1 < x2 следует, что f (x1 ) < f (x2 ).

То есть, если x1 ̸= x2 , то f (x1 ) (̸= f (x)2 ). Это означает, что f инъек()тивна. Кроме того, f является сюръекцией [a, b] на f [a, b] . Поэтому f (: [a, b]) → f [a, b]— биективное отображение и, следовательно, оно имеет обратное f −1 : f [a, b] → [a,( b]. )−1Докажем, что f — возрастающая функция.

Возьмем произвольные y1 , y2 ∈ f [a, b] ,такие, что y1 < y2 . Тогда существуют x1 , x2 ∈ [a, b], такие, что y1 = f (x1 ) и y2 = f (x2 ),причем x1 = f −1 (y1 ) и x2 = f −1 (y2 ). Необходимо показать, что x1 < x2 . Предположим,что x1 > x2 . Тогда, поскольку f — возрастающая функция, y1 = f (x1 ) > f (x2 ) = y2 , чтопротиворечит выбору точек y1 и y2 .() []Пусть теперь f непрерывна. Тогда f [a, b] = f (a), f (b) . Следовательно([])( ())f −1 f (a), f (b) = f −1 f [a, b] = [a, b].()()Поскольку a = f −1 f (a) и b = f −1 f (b) , мы получаем, что([]) [()()]f −1 f (a), f (b) = f −1 f (a) , f −1 f (b) .Следовательно f −1 непрерывна.Это утверждение, очевидно, справедливо не только для возрастающей, но и для убывающей функции.Упражнение 1.5.

Доказать, что функция f : [a, b] → R обратима тогда и только тогда,когда она строго монотонна.Пример 1.6. Рассмотрим функцию f : [−π/2, π/2] → R, такую, что f (x) = sin x. f —возрастающая,обратная функция, которая обозначается через arcsin.( поэтому существует)Поскольку f [−π/2, π/2] = [−1, 1],arcsin : [−1, 1] → [−π/2, π/2].Аналогично определяетсяarccos : [−1, 1] → [0, π].В отличие от arcsin эта функция будет убывающей.1•22.1Показательная, логарифмическая и степенная функцииПоказательная функцияПусть a — положительное вещественное число. В этом пункте мы для каждого σ ∈ R определим вещественное число aσ и изучим его свойства. Для некоторых значений σ мы такоечисло уже определили, когда ввели понятие вещественного числа. Напомним некоторыефакты, которые нам уже известны.1◦ .

Если n ∈ N, то an есть результат (n − 1)-кратного умножения числа a на себя: an =a · a · · · a. Таким образом, в правой части последнего равенства стоит произведение nчисел a.2◦ . Если m ∈ N, то x = a1/m ∈ R+ есть единственное решение уравнения xm = a.3◦ . a−1 = 1/a есть вещественное число, обратное к a, то есть, a−1 a = 1.Кроме того, мы договорились, что b0 = 1 для любого b ∈ R.В этих определениях выражения an , a1/m , a−1 следует воспринимать, как символы, которые обозначают однозначно определенные вещественные числа, удовлетворяющие некоторому уравнению, и ничего больше.

Например, мы не можем утверждать, что a a1/m =a1+1/m . Во-первых, число в правой части этого равенства пока не определено, а во-вторых,не доказано, что при умножении степени числа (отличные от натуральных) необходимосложить. Далее в этом параграфе мы, опираясь на приведенные выше факты, шаг за шагом определим числа aσ , которые обладают привычными со школы свойствами. Начнеммы с определения ap для рациональных чисел p.Лемма 2.1. Для всех a ∈ R+ и всех p ∈ Q однозначно определены числа ap , обладающиеследующими свойствами:1◦ . a−p = 1/(ap ) для любого p ∈ Q.2◦ . ap1 +p2 = ap1 ap2 для всех p1 , p2 ∈ Q.3◦ .

Пусть p1 , p2 ∈ Q и p1 < p2 . Тогда ap1 < ap2 при a ∈ (1, ∞) и ap1 > ap2 при a ∈ (0, 1).I Шаг 1. Пусть n ∈ N. Покажем, что (a−1 )n = (an )−1 . В самом деле, если x = (a−1 )n ,то x = (1/a) · (1/a) · · · (1/a). Умножив x на an (то есть, n раз на a), мы получим, чтоx · an = 1 · 1 · · · 1 = 1. Это значит, что x является вещественным числом, обратным к an .Поэтому x = (an )−1 , что и требовалось доказать. Таким образом, мы имеем право ввестиследующее обозначение:a−n := (a−1 )n = (an )−1 .)n(( )1/m= a1/m для всех n ∈ Z и m ∈ N. Если n = 0, то этоШаг 2. Докажем, что an)0(равенство сразу следует из того, что a0 = 1, 11/m = 1 (т.к.

1m = 1) и a1/m = 1.( )1/mявляется единственным решениемРассмотрим случай, когда n ∈ N. Число x = anmn1/mуравнения x = a . В то же время, число y = aесть единственное решение уравненияmy = a. Тогда( )m( )nxm = an = y m = y mn = y n .2Отсюда следует, что x = y n , а это и есть доказываемое равенство.( )1/mПусть теперь n = −k и k ∈ N. Число x = anявляется единственным решением( )kmуравнения x = 1/a . Это следует из того, что в силу доказанного на шаге 1 утверждения( )−1 ( −1 )k ( )kan = a−k = ak= a= 1/a .( 1/m )Кроме того, число y = 1/ aесть единственное решение уравнения y m = 1/a.

В самомделе,( 1 )m ()( 1/m m )−11/m −1 m=(a)=(a )= a−1 .1/maПоэтому( )k( )mxm = (1/a)k = y m = y mk = y k .Отсюда следует, что x = y k и( n )1/m ( 1 )k ( 1/m −1 )ka= 1/m = (a )= (a1/m )−k = (a1/m )n .aТаким образом, для любых n ∈ Z и m ∈ N мы имеем право ввести следующее обозначение:( )1/m ( 1/m )nan/m := an= a.Шаг 3. На предыдущем шаге мы фактически уже определили ap для любого рационального числа p = n/m, где n ∈ Z и m ∈ N. Однако остался невыясненным вопрос о единственности этого определения. Дело в том, что рациональные числа — это несократимые дроби.Поэтому докажем ещё, что для любых n ∈ Z, m ∈ N и k ∈ N справедливо равенство:ank/(mk) = an/m .Действительно,()nk(an/m )km = (a1/m )nkm = (a1/m )m= ank .Доказываемое равенство теперь следует из того, что x = an/m является единственнымрешением уравнения xkm = ank .

Таким образом, для каждого p ∈ Q мы однозначно определили ap .Шаг 4. Докажем свойство 2◦ . Пусть p1 = n1 /m1 и p2 = n2 /m2 , где ni ∈ Z и mi ∈ N, i = 1, 2.Тогдаn 1 m2 + n 2 m1.p1 + p2 =m1 m2Поэтому( p1 p2 )m1 m2 ( p1 )m1 m2 ( p2 )m1 m2a a= aa= (a1/m1 )n1 m1 m2 (a1/m2 )n2 m1 m2 = an1 m2 an2 m1 = an1 m2 +n2 m1 ,откуда сразу следует доказываемое равенство.Шаг 5. Докажем свойство 1◦ . Пусть p — произвольное рациональное число. Положим вравенстве из свойства 2◦ p1 = p и p2 = −p. Тогда ap a−p = ap−p = a0 = 1. Согласноопределению обратного числа a−p = 1/ap .Шаг 6.

Докажем свойство 3◦ . Пусть p1 , p2 ∈ Q и p1 < p2 . Поскольку p = p2 − p1 > 0,существуют натуральные числа n и m, такие, что p = n/m. Если a ∈ (1, ∞), то a1/m > 13(иначе, a = (a1 /m)m 6 1m = 1) и ap = (a1/m )n > 1. Поэтому ap2 a−p1 = ap > 1. Умножив этонеравенство на положительное число ap1 , мы получим требуемое неравенство. В случаеa ∈ (0, 1) доказательство аналогично.Таким образом, лемма полностью доказана.JВ лемме 2.1 для каждого a ∈ R+ на множестве рациональных чисел Q определенафункция p 7→ ap со значениями в R+ . Докажем непрерывность этой функции.Лемма 2.2.lim ap = ap0 для каждого a ∈ R+ и каждого p0 ∈ Q.Q∋p→p0I Достаточно показать, чтоlim ap = 1.

При изучении предела последовательностиQ∋p→0мы доказали, что lim a1/k = 1. Отсюда, в частности, следует, что для любого ε > 0k→∞существует такое kε ∈ N, что |a1/kε − 1| < ε. В силу свойства 3◦ из леммы 2.1 мы получаем,что |ap − 1| < ε, если |p| < 1/kε . Согласно определению предела функции это и означаеттребуемое соотношение.J4.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги