1610912303-24cbdaed0d8cee9134492a0e77d01611 (824692)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Пределы функцийПусть функция f (x) определена в проколотой δ0 -окрестности точки x0 , т.е. на множестве U̇δ0 (x0 ) =αxx{x : 0 < |x − x0 | < δ0 }. Примеры: f (x) = sinx x , f (x) = e x−1 , f (x) = (1±x)x −1 , f (x) = 1−cos,x21arctg xarcsin xlnxf (x) = x , f (x) = x , x0 = 0; f (x) = x x−1 , x0 = 1; f (x) = x−1 , x0 = 1; .Определение предела функции по Коши.lim f (x) = a ⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ U̇δ (x0 ) : |f (x) − a| < ε;x→x0lim f (x) ̸= a ⇔ ∃ε > 0 ∀δ > 0 ∃x ∈ U̇δ (x0 ) : |f (x) − a| ≥ ε.x→x0Определение предела функции по Гейне. Число a называется пределом (по Гейне) функции f (x) в т.

x0 , если ∀{xn } ⊂ U̇δ0 (x0 ), xn → x0 : f (xn ) → a = lim f (x).x→x0@ lim f (x) означает, что либо ∃{xn } ⊂ U̇δ0 (x0 ), xn → x0 : @ lim f (xn ), либо ∃{xn }, {yn } ⊂ U̇δ0 (x0 ),x→x0n→∞xn → x0 , yn → x0 : lim f (xn ) ̸= lim f (yn ).n→∞n→∞Некоторые замечательные пределы.sin x1loga (1 + x)1lim= 1; lim (1 + x)1/x = lim (1 + )x = e; lim=, a > 0, a ̸= 1;x→0 xx→0x→∞x→0xxln aax − 1ln(1 + x)ex − 1(1 + x)α − 1lim= ln a, a > 0; lim= 1; lim= 1; lim= α, α ∈ R.x→0x→0x→0x→0xxxxТеорема о пределе "зажатой"функции. Если в некоторой U̇δ0 (x0 ) выполняются неравенства g(x) ≤ f (x) ≤ h(x), и если lim g(x) = lim h(x) = a, то lim f (x) = a.x→x0x→x0x→x0Теорема о пределе суммы, произведения и частного.

Если lim f (x) = a, lim g(x) = b,x→x0то lim (f (x) ± g(x)) = a ± b; lim (f (x)g(x)) = ab;x→x0x→x0lim f (x)x→x0 g(x)=a,bx→x0b ̸= 0.Теорема о пределе сложной функции. Если существуют lim φ(x) = a, lim f (y), причемx→x0y→aв U̇δ (x0 ) определена сложная функция f (φ(x)) и φ(x) ̸= a, то сложная функция f (φ(x)) имеетпредел в точке x0 и справедливо равенство lim f (φ(x)) = lim f (y).x→x0y→aПредел слева. Пусть область определения функции f (x) содержит интервал (x0 − δ0 , x0 ).Число a называется пределом слева функции f (x) в точке x0 (или при x → x0 − 0), если для∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ (x0 − δ, x0 ) : |f (x) − a| < ε.

Обозначение: a = lim f (x).x→x0 −0Предел справа. Пусть область определения функции f (x) содержит интервал (x0 , x0 + δ0 ),δ0 > 0. Число a называется пределом справа функции f (x) в точке x0 (или при x → x0 + 0),если для ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ (x0 , x0 + δ) : |f (x) − a| < ε. Обозначение: a = lim f (x).x→x0 +0Эквивалентные функции. Символ o(g). Пусть функция g(x) не обращается в нуль в некоторой проколотой окрестности точки x0 . Тогда:• если limf (x)x→x0 g(x)= 1, то говорят, что функция f (x) эквивалентна функции g(x) при x → x0 ,и пишут f (x) ∼ g(x) при x → x0 ;• если limf (x)x→x0 g(x)= 0, то говорят, что f (x) есть o малое от g(x) при x → x0 , и пишут f (x) =o(g(x)), x → x0 ; Примеры: x2 = o(x), cos x sin2 x = o(x), tg3 x sin x1 = o(x), x → 0.Примеры эквивалентных функций.

Если f (x) ∼ Ax при x → 0, то f −1 (x) ∼ Ax при x → 0.x ∼ sin x ∼ arcsin x ∼ tg x ∼ arctg x ∼ ex − 1 ∼ ln(1 + x) при x → 0.(1 + x)α − 1 ∼ αx, ax − 1 ∼ x ln a, loga (1 + x) ∼ x ln a.Критерий эквивалентности функций. Для того чтобы f (x) ∼ g(x) при x → x0 , необходимо и достаточно, чтобы f (x) = g(x) + o(g(x)), x → x0 .2Примеры: sin x = x + o(x), arcsin x = x + o(x), 1 − cos x = x2 + o(x2 ).Замена функций эквивалентными при вычислении пределов. Пусть функции g(x) ̸=0 и g1 (x) ̸= 0 в некоторой проколотой окрестности точки x0 , f (x) ∼ f1 (x), g(x) ∼ g1 (x) при(x)(x)(x)(x)x → x0 , ∃ lim fg11 (x).

Тогда существует lim fg(x)и справедливо равенство lim fg(x)= lim fg11 (x).x→x0x→x0x→x0x→x0.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги