Главная » Просмотр файлов » 1610906281-ae38486ec859a3a9dcd398b8f34f26aa

1610906281-ae38486ec859a3a9dcd398b8f34f26aa (824377), страница 3

Файл №824377 1610906281-ae38486ec859a3a9dcd398b8f34f26aa (Лекции конечные автоматы Морозов) 3 страница1610906281-ae38486ec859a3a9dcd398b8f34f26aa (824377) страница 32021-01-17СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Âûäåëåííûìè ñîñòîÿíèÿìè áóäóò 1 è 2.Ôóíêöèÿ ïåðåõîäîâ áóäåò çàäàâàòüñÿ ñëåäóþùåé òàáëèöåé:ñîñòîÿíèå/ñèìâîëab010121202Ðèñ. 2.6: Ôóíêöèÿ ïåðåõîäîâÝòîò àâòîìàò èçîáðàæ¼í íà Ðèñ. 2.7.ÓïðàæíåíèÿÃëàâà 2. Àâòîìàòíûå ÿçûêè20EDEDDEÐèñ. 2.7: Ïîëó÷åííûé àâòîìàò.1. Ïîñòðîéòå è èçîáðàçèòå ãðàôè÷åñêè êîíå÷íûé àâòîìàò A, ðàñïîçíàþùèéà) ÿçûê L = ∅ íàä àëôàâèòîì A = {0};á) ÿçûê L = {Λ} íàä àëôàâèòîì A = {0};â) ÿçûê L = {0} íàä àëôàâèòîì A = {0, 1};ã) ÿçûê L = A (ò.å., ìíîæåñòâî îäíîýëåìåíòíûõ ñëîâ) íàä àëôàâèòîìA = {0, 1, 2};ä) ÿçûê L = {0}∗ íàä àëôàâèòîì A = {0, 1};å) ÿçûê L = {0, 1}∗ íàä àëôàâèòîì A = {0, 1, 2};æ) ÿçûê, ñîñòîÿùèé èç ñëîâ, íà÷èíàþùèõñÿ íà 00 íàä àëôàâèòîì A ={0, 1};ç) ÿçûê, ñîñòîÿùèé èç ñëîâ, íå íà÷èíàþùèõñÿ íà 00 íàä àëôàâèòîìA = {0, 1};è) ÿçûê, ñîñòîÿùèé èç ñëîâ, íà÷èíàþùèõñÿ íà 01 íàä àëôàâèòîì A ={0, 1, 2};ê) ÿçûê, ñîñòîÿùèé èç ñëîâ, îêàí÷èâàþùèõñÿ íà 00 íàä àëôàâèòîì A ={0, 1};ë) ÿçûê, ñîñòîÿùèé èç ñëîâ, îêàí÷èâàþùèõñÿ íà 01 íàä àëôàâèòîì A ={0, 1, 2};ì) ÿçûê, ñîñòîÿùèé èç ñëîâ, ñîäåðæàùèõ ðîâíî îäèí ñèìâîë 1 è ðîâíîäâà ñèìâîëà 0 íàä àëôàâèòîì A = {0, 1, 2};í) ÿçûê, ñîñòîÿùèé èç ñëîâ, ñîäåðæàùèõ ÷åòíîå ÷èñëî ñèìâîëîâ 1 èíå÷åòíîå ÷èñëî ñèìâîëîâ 2 íàä àëôàâèòîì A = {0, 1, 2};î) ÿçûê L = {1| .{z.

. 1} 6= Λ | n ∈ N} íàä àëôàâèòîì A = {0, 1};2nï) ÿçûê L = {s ∈ A | â ñëîâå s ðàçíîñòü ÷èñëà ñèìâîëîâ 0 è ÷èñëà ñèìâîëîâ 1 ÷åòíà} íàä àëôàâèòîì A = {0, 1};ð) ÿçûê L = {s ∈ A | â ñëîâå s ðàçíîñòü ÷èñëà ñèìâîëîâ 0 è ÷èñëà ñèìâîëîâ 1 äåëèòñÿ íà 5} íàä àëôàâèòîì A = {0, 1};2.2. Ëåììà î íàêà÷èâàíèèñ) ÿçûê L = {f|. . .

f (0) | n ∈ N}{z }21íàä àëôàâèòîì A = {f, 0, (, )};ò) ÿçûê L = {s ∈ {a, b}∗ | â s íå âñòðå÷àåòñÿ ïîäðÿä äâå áóêâû b};ó) ÿçûê L = {s ∈ {a, b}∗ | â s âñòðå÷àåòñÿ äâå áóêâû b ïîäðÿä};ô) ÿçûê L = {s ∈ {a, b}∗ | â s åñòü ïîäñëîâî abab};õ) ÿçûê L = {s ∈ {a, b}∗ | â s íå ñîäåðæèòñÿ ïîäñëîâî abab};ö) ÿçûê L = {s ∈ {a, b}∗ | â s âñòðå÷àåòñÿ äâå áóêâû a ïîäðÿä è äâåáóêâû b ïîäðÿä};÷) ÿçûê L = {s ∈ {+, −, 0, . . . , 9}∗ | s çàïèñü öåëîãî ÷èñëà};ø) ÿçûê L = {s ∈ {0, . . . , 9}∗ | s çàïèñü ÷¼òíîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà};ù) ÿçûê L = {s ∈ {0, . .

. , 9}∗ | s çàïèñü íàòóðàëüíîãî ÷èñëà, äåëÿùåãîñÿ íà 3}.2.2nËåììà î íàêà÷èâàíèèÇäåñü ìû îïèøåì îäíî ïðîñòîå íî âàæíîå ñâîéñòâî àâòîìàòíûõ ÿçûêîâ,îòñóòñòâèå êîòîðîãî â áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ ëåãêî ïðîâåðÿåìî, è ïîýòîìóäàííîå ñâîéñòâî îáû÷íî ïîçâîëÿåò áåç îñîáûõ óñèëèé äîêàçûâàòü íåàâòîìàòíîñòü ÿçûêîâ. Îíî îñíîâàíî íà ïðîñòîì íàáëþäåíèè, ñîñòîÿùåì âòîì, ÷òî åñëè íåêîòîðîå ñëîâî ïðèíèìàåòñÿ êîíå÷íûì àâòîìàòîì.

ò.å.,ïðî÷èòûâàåòñÿ âäîëü ïóòè ïî íåìó, êîòîðûé âåä¼ò èç íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ â âûäåëåííîå è ïðè ýòîì ñîäåðæèò ïåòëþ, òî ìû ìîæåì äîéòè äîýòîé ïåòëè âäîëü äàííîãî ïóòè, ïðîéòè å¼ ñêîëüêî óãîäíî (â òîì ÷èñëå è íîëü) ðàç è ïîòîì, íàêîíåö, ïðîéòè îñòàòîê ïóòè. Ïðè ýòîì ïðîéäåííûé ïóòü ñíîâà áóäåò ïóò¼ì èç íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ â âûäåëåííîå.Ñîîòâåòñòâåííî, âñå ñëîâà, ÷èòàåìûå âäîëü òàêèõ ïóòåé, òîæå äîëæíûïðèíèìàòüñÿ ýòèì àâòîìàòîì!Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ÿçûê L îáëàäàåò ñâîéñòâîìíàêà÷èâàíèÿ, åñëè ñóùåñòâóåò íàòóðàëüíîå ÷èñëî p òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîãî ñëîâà âèäà uvw èç L òàêîãî, ÷òî |v| > p, ñóùåñòâóåò ïðåäñòàâëåíèå v â âèäå v = αβγ òàêîå, ÷òî β 6= Λ, è äëÿ ëþáîãî k ∈ N ñïðàâåäëèâîuαβ k γw ∈ L.Îïðåäåëåíèå 2.2.1Òåîðåìà 2.2.1 (Ëåììà î íàêà÷èâàíèè)ëàäàåò ñâîéñòâîì íàêà÷èâàíèÿ.Ëþáîé àâòîìàòíûé ÿçûê îá-Ãëàâà 2.

Àâòîìàòíûå ÿçûêè22Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû. Ïóñòü ÿçûêèpLðàñïîçíà¼òñÿ àâòîìàòîì ÷èñëî åãî ñîñòîÿíèé. Âîçüì¼ì ïðîèçâîëüíîå ñëîâî÷òî|v| > p.òàêîå,Òîãäà ïóòü èç íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ, âäîëü êîòîðîãî ïðî÷è-òûâàåòñÿ ñëîâî|v| > p,uvw ∈ LA,uvw,çàêàí÷èâàåòñÿ â âûäåëåííîì ñîñòîÿíèè. ÏîñêîëüêóΓ, ñîîòâåòñòâóþùèé ôðàãìåíòó v , ïðîõîäèò ÷åðåçs àâòîìàòà A êàê ìèíèìóì äâàæäû.

Òàêèì îáðàçîì,ñëîâî v ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå v = αβγ , ãäå α, β , γ ïðî÷èòûâàþòñÿñîîòâåòñòâåííî âäîëü îòðåçêîâ ïóòè Γ äî s, ïåòëå îò s äî s è îñòàâøåéñÿ÷àñòè. Ïðè ýòîì |β| 6= Λ, è ó÷àñòîê β íà÷èíàåòñÿ è çàêàí÷èâàåòñÿ â îäíîì è òîì æå ñîñòîÿíèè s. Ðàññìîòðèì ïóòü ïî àâòîìàòó, âûõîäÿùèé èçíà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ, ïðîõîäÿùèé ïîñëåäîâàòåëüíî ó÷àñòêè u, α, ïîòîìïðîõîäÿùèé k ðàç ó÷àñòîê β (ïî ïåòëå), ïîòîì ïî ó÷àñòêó γ , è ïîòîì ïîw.

Ëþáîé òàêîé ïóòü íà÷èíàåòñÿ â íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèè è çàêàí÷èâàåòkñÿ â âûäåëåííîì ñîñòîÿíèè. Âäîëü íåãî áóäåò ÷èòàòüñÿ ñëîâî vαβ γw ,kîòêóäà vαβ γw ∈ L(A) = L, ÷òî è òðåáîâàëîñü. ó÷àñòîê ïóòèíåêîòîðîå ñîñòîÿíèåÄîêàæåì ñ ïîìîùüþ Ëåììû î íàêà÷èâàíèè, ÷òî ÿçûêN}L = {ai bi | i ∈íå àâòîìàòåí. Ïðåäïîëîæèâ, ÷òî îí àâòîìàòåí, ìû ïî ýòîé ëåììåïîëó÷èì, ÷òî îí îáëàäàåò ñâîéñòâîì íàêà÷èâàíèÿ. Çàôèêñèðóåìpêàêâ îïðåäåëåíèè íàêà÷èâàíèÿ. Âîçüì¼ì ïðîèçâîëüíîå íàòóðàëüíîå ÷èñëîm > p. Òîãäà ïî ëåììå î íàêà÷èâàíèè ñëîâî am bm ∈ L ìîæíî ïðåäñòàâèòüâ âèäåam b m = al an ar b m ,ãäåm=l+n+rèn>0al ank ar bm = al+nk+r bm ∈ L.íî ïîñëåäíåå íåâîçìîæíî, ïîñêîëüêó èççà n > 0 ïðè k = 0 ïîëó÷èìl + n · 0 + r < l + n + r = m, è, ñòàëî áûòü, al+n·0+r bm ∈/ L.òàê, ÷òîáû äëÿ ëþáîãîk ∈ NâûïîëíÿëîñüÑåé÷àñ ìû ïîêàæåì, ÷òî ñâîéñòâî íàêà÷èâàíèÿ íåëüçÿ ðàññìàòðèâàòü, êàê êðèòåðèé àâòîìàòíîñòè, ïîñêîëüêó ñóùåñòâóþò íåàâòîìàòíûåÿçûêè, óäîâëåòâîðÿþùèå ýòîìó ñâîéñòâó.

Âïðî÷åì, ýòî íå âëèÿåò íà îáùóþ óñïåøíîñòü ïðèìåíåíèÿ ýòîé ëåììû ïðè äîêàçàòåëüñòâàõ íåàâòîìàòíîñòè ÿçûêîâ.Òåîðåìà 2.2.2÷èâàíèÿ.Ñóùåñòâóåò íåàâòîìàòíûé ÿçûê ñî ñâîéñòâîì íàêà-Ýòà òåîðåìà áóäåò ïîëó÷åíà êàê ñëåäñòâèå èç äðóãîãî áîëåå îáùåãî ðåçóëüòàòà, äëÿ ïîíèìàíèÿ äîêàçàòåëüñòâà êîòîðîãî òðåáóåòñÿ çíàêîìñòâî ñ òåîðåòèêîìíîæåñòâåííûì ïîíÿòèåì ìîùíîñòè. Ìàòåðèàë äîêîíöà ýòîãî ïàðàãðàôà ìîæíî îïóñòèòü.2.2. Ëåììà î íàêà÷èâàíèè23Íàä ëþáûì òð¼õýëåìåíòíûì àëôàâèòîì ÷èñëî ÿçûêîâ,îáëàäàþùèõ ñâîéñòâîì íàêà÷èâàíèÿ, íåñ÷¼òíî.Òåîðåìà 2.2.3A ñîñòîèò èç ñèìâîëîâ 0, 1, 4. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ñëîâî w ∈ A ñîäåðæèò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ε =ε0 ε1 .

. . εk−1 ∈ {0, 1}∗ , åñëè ñëîâî 4ε0 4ε1 4 . . . 4εk−1 4 ÿâëÿåòñÿ íà÷àëüíûì ñåãìåíòîì w . Íà÷àëüíûå ñåãìåíòû ñëîâà âèäà 4ε0 4ε1 4 . . . 4εk−1 4,ε0 , ε1 , . . . , εk−1 ∈ {0, 1}, áóäåì íàçûâàòü ïðàâèëüíûìè ñåãìåíòàìè. ÎòìåÄîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü àëôàâèò∗òèì ñëåäóþùèå ñâîéñòâà ââåä¼ííûõ ïîíÿòèé:•Åñëèwñîäåðæèòñîäåðæèò•ε,èγÿâëÿåòñÿ íà÷àëüíûì ñåãìåíòîìε,òîwγ.Ó ëþáîãî ñëîâà åñòü ìàêñèìàëüíûé ïðàâèëüíûé ñåãìåíò îòíîñèòåëüíî îòíîøåíèÿ ¾áûòü íà÷àëüíûì ñåãìåíòîì¿.•Ó ëþáîãî ñëîâà åñòü ìàêñèìàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, êîòîðóþîíî ñîäåðæèò.Áóäåì îáîçíà÷àòü ìàêñèìàëüíûé ïðàâèëüíûé ñåãìåíò ñëîâàè ìàêñèìàëüíîå ñëîâî, êîòîðîå îíî ñîäåðæèò ÷åðåç∗Ïîäìíîæåñòâî T â {0, 1} íàçîâ¼ì äåðåâîì, åñëèâíèç, ò.å., äëÿ ëþáûõ ñëîâ÷àëüíûé ñåãìåíòβèβ ∈ T,αw ÷åðåç µ(w)s(w).Λ∈Tè T çàìêíóòîβ ñïðàâåäëèâî ñâîéñòâî: åñëè α íàα ∈ T .

Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ñóùåñòâóåòèòîêîíòèíóóì ðàçëè÷íûõ äåðåâüåâ.ÅñëèT äåðåâî, òî îïðåäåëèìLT = {w ∈ A∗ | s(w) ∈ T }.T0 6= T1 ñëåäóåò íåðàâåíñòâî ÿçûLT0 6= LT1 .  ñàìîì äåëå, ïóñòü, íàïðèìåð, ε0 ε1 . . . εk−1 ∈ T0 \T1 . Òîãäàñëîâî 4ε0 4ε1 4 . . . 4εk−1 4 ïðèíàäëåæèò LT0 \ LT1 . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òîñóùåñòâóåò êîíòèíóóì ðàçëè÷íûõ ÿçûêîâ âèäà LT .Çàìåòèì, ÷òî èç íåðàâåíñòâà äåðåâüåâêîâÒåîðåìà áóäåò ñëåäîâàòü èç ñëåäóþùåé ëåììû:Ëåììà 2.2.1 Ëþáîé ÿçûê âèäà LT îáëàäàåò ñâîéñòâîì íàêà÷èâàíèÿ ñïàðàìåòðîì p ðàâíûì 2.Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíûé ÿçûê âèäàèçâîëüíîå ïîäñëîâî ñëîâàwäëèíû2.LT .Ïóñòüw ∈ LTèβ ïðî-Ðàññìîòðèì ñëåäóþùèå ñëó÷àè:Ãëàâà 2.

Àâòîìàòíûå ÿçûêè24Ñëó÷àé 1. Ñëîâî β íàõîäèòñÿ âíóòðè ñåãìåíòà µ(w). ýòîì ñëó÷àå β ñîäåðæèò ñèìâîë a, ðàâíûé 0 èëè 1. Çàìåíÿÿ â ñëîâåw ñèìâîë a íà ëþáîå ñëîâî ai (i ∈ N), ò.å., íàêà÷èâàÿ ýòîò ñèìâîë, ìûñíîâà ïîëó÷èì ñëîâî èç LT .Ñëó÷àé 2. Ñëîâî β íå íàõîäèòñÿ âíóòðè ñåãìåíòà µ(w), íî èìååò ñ íèìíåïóñòîå ïåðåñå÷åíèå.  ýòîì ñëó÷àå β îáÿçàòåëüíî ñîäåðæèò ïîñëåäíèéiñèìâîë 4 èç µ(w). Çàìåíÿÿ åãî íà ëþáîå ñëîâî âèäà 4 (i ∈ N), ò.å.,íàêà÷èâàÿ ïîñëåäíèé ñèìâîë, ìû ñíîâà ïîëó÷èì ñëîâî èç LT .Ñëó÷àé 3. Ñëîâî β íå ïåðåñåêàåòñÿ ñ µ(w), è µ(w) 6= Λ.Çäåñü ìû ðàññìîòðèì äâà ïîäñëó÷àÿ:Ïîäñëó÷àé 3.1. Ñëåâà ê β ïðèìûêàåò ñèìâîë 4.Åñëè õîòÿ áû îäèí èç ñèìâîëîâ ñëîâà β ðàâåí 4, òî, íàêà÷èâàÿ âñëîâå w îñòàâøèéñÿ ñèìâîë, ìû ñíîâà ïîëó÷èì ñëîâà èç LT .Åñëè íè îäèí èç ñèìâîëîâ ñëîâà β íå ðàâåí 4, è ñïðàâà ê íåìó ïðèìûêàåò ñèìâîë 4, òî ìû ìîæåì íàêà÷àòü âñ¼ ñëîâî β , îñòàâàÿñü ïðèýòîì â LT ; åñëè ïðè ýòîì ñïðàâà ê íåìó ïðèìûêàåò ñèìâîë 0 èëè 1, òîìîæíî íàêà÷àòü ëþáîé èç ñèìâîëîâ ñëîâà β , îñòàâàÿñü â LT .Ïîäñëó÷àé 3.2.

Ñëåâà ê β ïðèìûêàåò ñèìâîë 0 èëè 1. ýòîì ñëó÷àå ìû ìîæåì íàêà÷àòü âòîðîé ñèìâîë ñëîâàâβ,îñòàâàÿñüLT .Ñëó÷àé 4. µ(w) = Λ. ýòîì ñëó÷àå ïåðâàÿ áóêâà ñëîâàáóêâû ñëîâàβw íå ðàâíà 4, è íàêà÷èâàíèå âòîðîéñîõðàíèò ýòî ñâîéñòâî, ïîýòîìó âñå ïîëó÷èâøèåñÿ òàêèìñïîñîáîì ñëîâà áóäóò ëåæàòü âLT .Äîêàçàòü íåàâòîìàòíîñòü ñëåäóþùèõ ÿçûêîâ:1. {ap | p ïðîñòîå}2. {w ∈ {a, b}∗ | ÷èñëî áóêâ a â ñëîâå w ðàâíî ÷èñëó áóêâ b}3.

{w ∈ {a, b}∗ | ÷èñëî áóêâ a â ñëîâå w ðàâíî óäâîåííîìó ÷èñëó áóêâ b}4. {am | m ∈ N}5. {w ∈ {a, b}∗ | ÷èñëî áóêâ a â ñëîâå w íà 2 áîëüøå ÷èñëà áóêâ b â í¼ì}Óïðàæíåíèÿ22.3. Íåäåòåðìèíèðîâàííûå àâòîìàòû2.325Íåäåòåðìèíèðîâàííûå àâòîìàòûÇäåñü áóäóò ðàññìîòðåíû òàê íàçûâàåìûå íåäåòåðìèíèðîâàííûå àâòîìàòû ñî ñêà÷êàìè è êàê ÷àñòíûé ñëó÷àé íåäåòåðìèíèðîâàííûå àâòîìàòû. Êàê âûÿñíèòñÿ, ýòè àâòîìàòû îïðåäåëÿþò òîò æå ñàìûé êëàññÿçûêîâ, ÷òî è îáû÷íûå êîíå÷íûå àâòîìàòû. Ïîëüçà îò íèõ ñîñòîèò â òîì,÷òî îíè ïðåäîñòàâëÿþò ãîðàçäî áîëüøå óäîáñòâ äëÿ äîêàçàòåëüñòâà àâòîìàòíîñòè òîãî èëè èíîãî ÿçûêà: êàê ïðàâèëî, íåäåòåðìèíèðîâàííûéàâòîìàò äëÿ ðàñïîçíàâàíèÿ ÿçûêà áûâàåò ãîðàçäî ëåã÷å ïîñòðîèòü, ÷åìïðîñòî êîíå÷íûé àâòîìàò.Ñíà÷àëà ìû íåôîðìàëüíî îõàðàêòåðèçóåì íåäåòåðìèíèðîâàííûå àâòîìàòû. Îòëè÷èå íåäåòåðìèíèðîâàííûõ àâòîìàòîâ îò îáû÷íûõ ñîñòîèò âòîì, ÷òî â ýòèõ àâòîìàòàõ âìåñòî îäíîçíà÷íî çàäàííîãî ñîñòîÿíèÿt(s, a),s ïðè ïîñòóïëåíèè íàâõîä ñèìâîëà a, îïðåäåëÿåòñÿ íåêîòîðîå ìíîæåñòâî âîçìîæíûõ ñîñòîÿíèé T (s, a) äëÿ òàêîãî ïåðåõîäà.

 ÷àñòíîñòè, ýòî ìíîæåñòâî ìîæåòâ êîòîðîå ñëåäóåò ïåðåéòè èç òåêóùåãî ñîñòîÿíèÿñîäåðæàòü âñåãî îäèí ýëåìåíò (è òîãäà ñëåäóþùåå ñîñòîÿíèå, êàê è ðàíåå, çàäàíî îäíîçíà÷íî), ìîæåò áûòü ïóñòûì (è òîãäà íèêàêîé ïåðåõîäâîîáùå íåâîçìîæåí), íó è, êîíå÷íî, îíî ìîæåò ñîäåðæàòü áîëåå îäíîãîýëåìåíòà, è òîãäà ó íàñ åñòü âîçìîæíîñòü ïåðåéòè â ëþáîå èç ñîñòîÿíèéèç ìíîæåñòâàT (s, a)!Ìû òàêæå äîïóñêàåì, ÷òîáû ó íåäåòåðìèíèðîâàí-íîãî àâòîìàòà áûëî áîëåå îäíîãî íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ ëèáî âîîáùå íåáûëî íè îäíîãî.Ìû ïîéä¼ì, îäíàêî, åù¼ äàëüøå ïî ïóòè îáîáùåíèÿ ïîíÿòèÿ êîíå÷íîãî àâòîìàòà, à èìåííî, ðàçðåøèì â îòäåëüíûõ ñëó÷àÿõ ïåðåõîäû â ñëåäóþùèå ñîñòîÿíèÿ âîîáùå áåç ïîñòóïëåíèÿ íà âõîä êàêèõëèáî ñèìâîëîâ,ñêà÷êè.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
697,82 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6513
Авторов
на СтудИзбе
302
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее