1610840900-6b427cf5bfcd0cc0b9a85ea758232dac (824176)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Задачи по аналитической геометрии2012, мех-мат. МГУЗадача 1Дан тетраэдр OABC . Выразить через векторы OA, OB, OC вектор EF с началом всередине E ребра OA и концом в точке F пересечения медиан треугольника ABC .Решение. Пусть D − середина ребра BC (рис. 54).112221AF = AD = (OB + OC − 2OA) . Далее,33111EF = AF − AE = (OB + OC − 2OA) + OA = ( 2OB + 2OC − OA) .326Тогда OD = (OB + OC ) , AD = OD − OA = (OB + OC − 2OA) , а16Ответ: EF = (2OB + 2OC − OA) .Задача 2Дан правильный шестиугольник ABCDEF . Принимая за базисные векторы AB и AC ,найти в этом базисе координаты векторов AB, BC , CD, DE , EF , FA (рис.

55).Решение. Очевидно, что координаты в данном базисе вектора AB есть {1, 0} , акоординаты вектора DE − {−1, 0} . Так как BC = AC − AB , то BC ={−1,1} иEF ={1, −1} .Далее, AD = 2 BC = 2( AC − AB) и CD = AD − AC = AC − 2 AB . Поэтому, CD ={−2,1} , аFA ={2,−1} .Ответ: AB ={1, 0} , BC ={−1,1} , CD ={−2,1} , DE ={−1, 0} , EF ={1, −1} , FA ={2,−1}.Задача 3Даны четыре вектора a ={1, 2, 3} , b ={2,−2,1} , c ={4, 0, 3} и d ={16,10,18} .

Найтивектор, являющийся проекцией вектора d на плоскость, определяемую векторами a иb , при направлении проектирования, параллельном вектору c .Решение. Разложим вектор d по базису a, b, c , т.е. найдем такие числа α , β , γ , чтоd = αa + βb + γ c . Запишем последнее равенство покоординатно: 16 = α + 2β + 4γ , 10 = 2α − 2β , ⇔ 18 = 3α + β + 3γ α = 2, β −= 3, γ = 5.Таким образам, вектор d имеет в базисе a, b, c координаты {2,−3, 5} , а искомыйвектор d ′ − координаты {2,−3, 0} . Поэтому, d ′ = 2a − 3b = {−4,10, 3} . Последниекоординаты получены уже в исходном базисе.Ответ: {−4,10, 3} .Задача 4Пусть на плоскости или в пространстве даны отрезок AB и точка O .

Пусть на прямойAB дана такая точка C , отличная от точки B , чтоAC = λCB, λ ∈ R, λ ≠ −1 .Пусть также OA = a, OB = b, OC = c (рис. 56).Выразить векторчерез векторыcaи b и число λ .Решение: Имеемc = OC = OA + AC = OA +Ответ: c =λλa + λb.AB = a +(b − a ) =1+ λ1+ λ1+ λa + λb.1+λЗадача 5Доказать, что сумма векторов, идущих из центра правильного многоугольника к еговершинам, равна 0 .Решение. Пусть a − сумма векторов, идущих из центра правильного n -угольника к еговершинам. При повороте данного многоугольника вокруг его центра на угол 2π n векторa , с одной стороны, должен повернуться на этот же угол.

С другой стороны, при этомповороте многоугольник переходит в себя, поэтому вектор a должен остатьсянеизменным. Следовательно, a = 0 , что и требовалось доказать.Задача 6Пусть на плоскости или в пространстве дан набор точек M 1 , , M n и точка O . Пусть вnточки M 1 , , M n помещены массы m1 , , mn , причем∑mi =1i≠ 0 . Скажем, что точка Mявляется центром масс системы точек M 1 , , M n , если∑ m OM=∑ mni =1OMini =1i.iДоказать, что положение центра масс не зависит от выбора точки O .Решение.

Возьмем произвольную точку O′ , отличную от точки O . Пусть M ′ − центрмасс системы точек M 1 , , M n , соответствующий точке O′ . Докажем, что M ′ = M .Имеем:∑ m O′M∑ mnO′M ′ =i =1ini =1∑=niii =1mi (O′O + OM i )∑ni =1mi∑ mi OM i = O′O + OM = O′M ,= O′O + i =1 n∑i =1 minследовательно, M ′ = M , что и требовалось доказать.Задача 7Доказать, что при любом расположении точек A, B, C , D на плоскости или в пространствеимеет место равенство( BC , AD ) + (CA, BD ) + ( AB, CD ) = 0 .Решение. ПустьDA = a, DB = b, DC = c(рис.57).Имеем( BC , AD) + (CA, BD) + ( AB, CD ) = (c − b,−a ) + (a − c,−b) + (b − a,−c ) =(a, b) − (a, c ) − (a, b) + (b, c) − (b, c ) + (a, c) = 0 ,что и требовалось доказать.Задача 8Доказать, что если A, B, C , D − четыре произвольные точки (на плоскости или впространстве), а P и Q − середины отрезков AC и BD , тоAB 2 + BC 2 + CD 2 + DA2 = AC 2 + BD 2 + 4PQ 2 .Решение.

ПустьDA = a , DB = b, DC = c(рис. 58).ТогдаPQ = PA + AD + DQ =111(a − c) − a + b = (b − a − c) .222Имеем далееAC 2 + BD 2 + 4 PQ 2 = (c − a, c − a ) + (b, b) + (b − a − c, b − a − c) == (c, c ) − 2( a, c ) + ( a, a ) + (b, b) + (b, b) + (a, a ) + (c, c ) − 2( a, b) − 2(b, c) + 2(a, c ) == 2( a, a ) + 2(b, b) + 2(c, c ) −2(a, b) −2(b, c ) .С другой стороны,AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA2 = (b − a, b − a ) + (c − b, c − b) + (c, c ) + ( a, a ) == (b, b) + ( a, a ) − 2(a, b) + (c, c) + (b, b) − 2(b, c) + (c, c ) + (a, a ) == 2( a, a ) + 2(b, b) + 2(c, c ) −2(a, b) −2(b, c ) .22AB+BC+ CD 2 + DA2 = AC 2 + BD 2 + 4PQ 2 , что и требовалось доказать.Следовательно,Задача 9Вычислить длину d диагонали OD параллелепипеда, зная длины OA = a , OB = b ,OC = c трех его ребер, выходящих из одной точки O , и углы ∠BOC = α , ∠COA = β ,∠AOB = γ между ними.

Найти также косинусы углов, образуемых диагональю OD сребрами OA, OB, OC .Решение. Пусть OA = a, OB = b, OC = c, OD = d (рис. 59).Имеемd = OD = ( d , d ) = (a +b +c, a +b +c ) = ( a, a ) +(b, b) +(c, c ) + 2( a, b) + 2( a, c ) + 2(b, c ) == a 2 +b 2 + c 2 + 2ab cos γ + 2ac cos β + 2bc cos α .Далееcos ∠DOA ==( a, d )( a, a + b + c ) ( a , a ) + ( a , b ) + ( a , c )===adad| a | ⋅| d |a 2 + ab cos γ + ac cos β a + b cos γ + c cos β=.addАналогично получаем, чтоcos ∠DOB =a cos γ + b + c cos αdcos ∠DOC =a cos β + b cos α + c.dиОтвет:d = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab cos γ + 2ac cos β + 2bc cos α ,cos ∠DOB =cos ∠DOA =a cos γ + b + c cos αa cos β + b cos α + c, cos ∠DOC =.dda + b cos γ + c cos β,dЗадача 10Пусть r − радиус окружности, описанной около правильного n -угольника.

Найти 1)сумму квадратов длин всех сторон и всех диагоналей этого многоугольника, выходящихиз одной вершины; 2) сумму квадратов длин всех сторон и всех диагоналей этогомногоугольника.Решение. 1) Пусть A1 A2  An − данный правильныйоколо него окружности, OAi = ai , i =1, , n . Имеемn -угольник,O − центр описаннойnnn22222AA=(a−a,a−a)=2rn−2(a,a)=2rn−2a,∑∑∑1 ii1i11i1 ∑ ai  = 2r n − ( a1 , 0) = 2 r n .i =1i =1i =1 i =1 Предпоследнее равенство верно, так как согласно задаче 5 сумма векторов, идущих изцентра правильного многоугольника к его вершинам, равна 0 .2) Сумму квадратов длин всех сторон и всех диагоналей данного многоугольникаможно найти, если умножить сумму квадратов длин всех сторон и всех диагоналей этогомногоугольника, выходящих из одной вершины, на количество вершин, и разделить на 2,так как каждая сторона или диагональ многоугольника соответствует ровно двум еговершинам.

Таким образом, искомая сумма равна r 2 n 2 .nОтвет: 1) 2r 2 n ; 2) r 2 n 2 .Задача 11В треугольнике ABC проведена биссектриса AD . Известно, чтоAB = c, AC = b, ∠BAC = α . Найти длину биссектрисы AD .Решение. Пусть AB = c, AC = b (рис. 60).Так как, согласно теореме о биссектрисе внутреннего угла треугольникаBD c= ,DC bимеем:AD =b c + cb.b +cТогда длина этого вектора равна b c + cb b c + cb AD = ( AD, AD) =  b +c , b +c  =2b 2c 2 + 2bc (b, c )=b +c2b 2c 2 + 2b 2c 2 cosα bc 2 + 2 cosα 2bc cos α2 .===b+ cb+ cb+ cОтвет:2bc cos α2AD =b+ c.Задача 12В треугольнике ABC проведена биссектриса AD .

Известно, чтоAB = c, AC = b, CD = x, BD = y . Найти длину биссектрисы AD .Решение. ПустьAB = c, AC = b, AD = d , CD = x, BD = y , ∠BAC =α(рис. 60) . Имеем:xy = −( x, y ) = −(d − b, d − c ) = −d + (b, d ) + (c, d ) − (b, c) =2− d 2 + d (b + c) cos α2 − bc cosα = − d 2 + 2bc cos2 α2 − bc cosα = − d 2 + bc .Здесь в предпоследнем равенстве мы воспользовались формулой для вычисления длиныбиссектрисы, полученной в предыдущей задаче:d 2 = bc − xyОтвет:AD = bc − xy⇔ d = bc − xy2bc cos α2d=b+ c.

Следовательно,..Задача 13Пусть на плоскости или в пространстве дан набор точек M 1 , , M n и точка O . Пусть вnточки M 1 , , M n помещены массы m1 , , mn , причем∑mi =1i≠ 0 , а точка M − центрмасс системы точек M 1 , , M n . Назовем моментом инерции точки O относительно{M }системы точек M 1 , , M n величину J O i =n∑ m OMi =1i2i. Доказать, что момент инерцииточки O относительно системы точек M 1 , , M n равен сумме момента инерции точкиO относительно центра масс M и момента инерции точки M относительно системыточек M 1 , , M n , то естьJ O{M i } = J OM + J M{M i } .При этом центр масс мы принимаем за систему, состоящую из одной точки, в которуюnпомещена масса∑mii =1.Решение.

Имеем:nnnni =1i =1i =1J OM + J M{M i } = OM 2 ∑ mi + ∑ mi MM i2 = OM 2 ∑ mi + ∑ mi ( MO + OM i , MO + OM i ) =i =1nn2OM 2 ∑ mi + ∑ miOM i2 + 2 MO, ∑ mi OM i  = 2OM 2 ∑ mi + ∑ mi OM i2 + 2 MO, OM ∑ mi  =i =1i =1i =1i =1i =1i =1nnnnnnnni =1i =1i =1i =1= 2OM 2 ∑ mi + ∑ mi OM i2 − 2OM 2 ∑ mi = ∑ miOM i2 = J O{M i } ,что и требовалось доказать.Задача 14Доказать, что сумма векторов, перпендикулярных к граням тетраэдра, равных поабсолютной величине площадям этих граней и направленных в сторону вершин,противолежащих граням, равна нулю.Решение. Обозначим данный тетраэдр через OABC и положим OA = a, OB = b, OC = c .Кроме того, выберем в пространстве ориентацию таким образом, что векторы[ a, b], [b, c ], [c, a ] , перпендикулярные к граням тетраэдра и равные по абсолютнойвеличине площадям этих граней, будут направлены в сторону вершин, противолежащихграням (рис.

61).Тогда вектор [ AC , AB] также будет направлен в сторону вершины, противолежащейграни ABC . Имеем[OA, OB ] +[OB, OC ] +[OC , OA] +[ AC , AB] =[ a, b] +[b, c ] +[c, a ] +[c − a, b − a] ==[ a, b] +[b, c ] +[c, a ] +[c, b] −[ a, b] −[c, a ] −[ a, a ] = 0 ,что и требовалось доказать.Задача 15Доказать тождества:1) [[a, b], c] = −a (b, c) +b(a, c) ;2) [ a,[b, c]] =b(a, c) −c(a, b) ;3) ([a, b],[c, d ]) =4)( a, c )(b, c )(a, d );(b, d )[[a, b],[c, d ]] = c < a, b, d > − d < a, b, c > = b < a, c, d > − a < b, c, d > ;( x, a )5) < a, b, c > ⋅ < x, y , z >= ( y , a)( z, a)( x, b )( y, b)( z , b)( a, a )( a, b)( a, c )26) < a, b, c > = (b, a )( c, a )(b, b)( c, b )(b, c) .( c, c )( x, c )( y, c) ;( z, c)Решение.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов курсовой работы