1610840681-c7c8a0f4cc2f319e4e81be4a1f4ed926 (824165), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Для тройки векторов аз(3,0,1), аг( — 1,1,2), аз(1,2,1) найти взаимную тройку (см. задачу 3.29). 3.31. Решить систему векторных уравнений в пространстве: (х,а) = р, (х, Ь) = о, (х, с) = о (векторы а, Ь, с некомпланарны). Геометрическая интерпретация решения дается в зада ее 2.33. 3.32. 'Гочка ЛХ лежит на ребре ВВ1 куба АВСРА1В1С1Рм причем [ВЛХ; [ЛХВ1[ = 2: 1. Длина ребра куба равна а. Найти расстояние между прямыми СР1 и ЛХР. 3.33. Доказать, что площадь треугольника, составленного из медиан треугольника АВС, равна 3/4 площади треугольника АВС. 3.34. В треугольнике АВС через точку Н на стороне АС проведена прямая параллельно стороне ВС до пересечения со Гл.
Х. Векгпоры и координаты стороной АВ в точке М. Площадь треугольника ВНЛХ в 4,5 раза меньше площади треугольника АВС. Найти отношение )АМ); (ЛХВ). 3.35. Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны. Найти площадь трапеции, если длина высоты ее равна ее. 3.36. Площадь трапеции АВСР равна Я, отношение длин оснований ~АР~: ~ВС~ = 3: 1.
Отрезок ММ параллелен стороне СР и пересекает сторону АВ. При этом ~АМ~: ~ВХ~ = 3: 2, )ЛХМ); ~СР~ = 1: 3; отрезок АЛХ параллелен отрезку ВХ. Найти площадь треугольника В%С. 3.37. Точка ЛХ -- середина бокового ребра АА1 параллелепипеда АВСРА-„В1С1 Рп Прямые ВР, МР1 и А1С попарно перпендикулярны. Известны длины отрезков: ~ВР~ = 2а, )А~С) = 4а, )ВС) = ЗаХ2. Найти длину высоты параллелепипеда. 3.38.
Доказать, что любая плоскость, проходящая через середины двух скрещивающихся ребер произвольного тетраэдра, делит этот тетраэдр на две одинаковые по объему части. 3.39. В правильном тетраэдре АВСР проведены два сечения, параллельные ребрам АС и ВР. Найти длину ребра тетраэдра, если площади сечений равны 51 и Яз, а расстояние между секущими плоскостями равно Й. 3.40. Доказать, что все четыре грани произвольного тетраэдра равновелики тогда и только тогда, когда они конгруэнтны. 5 4.
Замена базиса и системы координат 4.1. На плоскости даны два базиса ем ез и е'„е~. Векторы второго базиса имеют в первом базисе координаты ( — 1,3) и (2, — 7) соответственно. 1) Найти координаты вектора в первом базисе, если известны его координаты ее1м ее~~ во втором базисе. 2) Найти координаты вектора во втором базисе, если известны его координаты ам еез в первом базисе. 3) Найти координаты векторов еи ео во втором базисе. 4.2. В пространстве даны два базиса еп ез, ез и е1, е~з, е~з. Векторы второго базиса имеют в первом базисе координаты (1, 1, 1), ( — 1, — 2, — 3), (1, 3, 6) соответственно. 1) Найти координаты вектора в первом базисе, если известны его координаты а1м о!~, о~з во втором базисе.
З" З. 3 мена базиса и системы координат 25 2) Найти координаты вектора во втором базисе, если известны его координаты оы се2, сез в первом базисе. 3) Найти координаты векторов еы ез, ез во втором базисе. 4.3. На плоскости даны две системы координат О, еы ео и О~, е~ы е~2. Начало второй системы координат имеет в первой системе координаты ( — 1, 3), а базисные векторы второй системы имеют в базисе первой системы координаты (2,3) и (1,1) соответственно. 1) Найти координаты точки в первой системе, если известны ее координаты х', у' во второи системе координат. 2) Найти координаты точки во второй системе, если известны ее координаты х, д в первой системе координат.
3) Найти координаты точки О во второй системе и координаты векторов еы ев в базисе второй системы координат. 4.4. В пространстве даны две системы координат О, еы еа, ез и О~, е~м е~з, е~з. Начало второй системы координат имеет в первой системе координаты (1, 1, 2), а базисные векторы второй системы координат имеют в базисе первой системы координаты (4,2,1), (5,3,2), (3,2,1) соответственно. 1) Найти координаты точки в первой системе координат, если известны ее координаты х', у', з' во второй системе. 2) Найти координаты точки во второй системе, если известны ее координаты т,, у, г в первой системе.
3) Найти координаты точки О во второй системе координат и координаты векторов еы ез,ез в базисе второй системы. 4.5. Координаты х, у каждой точки плоскости в системе координат О, еы ео выражаются через координаты х', у этой же точки в системе О', е~м ез~ фоРмУлами х = 2х' — У'+ 5, у = зх'+ у' + 2.
1) Выразить координаты х', у' через координаты х, у. 2) Найти координаты начала О и базисных векторов еы ез первой системы координат во второй системе. 3) Найти координаты начала О' и базисных векторов е~, е~2 второй системы координат в первой системе. 4.6. Координаты х, у, з каждой точки пространства в системе координат О, еы е2, ез выражаются через координаты х, у', з' этой же точки в системе О', е1, е~, е~з формулами х = х'+ у' + з' — 1, у = -х' + з' + 3, з = -х' — у' — 2. 1) Выразить координаты т,', д', е' через координаты х, у, з. 2) Найти координаты начала О и базисных векторов еы ео, ез первой системы координат во второй системе.
26 Гл. й Вектпоры и координаты 3) Найти координаты начала 0' и базисных векторов е1, ез, ез второй системы в первой системе. 4.7. Найти координаты вектора в базисе еа(2,3), е2(3,4) на плоскости, если известны его координаты о1» а~2 в базисе е1(1, — 1), е~(2, — 3). 4.8. Найти координаты вектора в базисе е1(1,3,2), еа( — 1,1,0), ез(2, — 1,1) в пространстве, если известны его координаты а1м о~~, а~з в базисе е~( — 1,0,2), е~(1,1, 1), е~з(4,3, — 1). 4.9.
Найти координаты точки в системе координат 0(2, — 1), е1(1,5), ео( — 1,4) на плоскости, если известны ее координаты х', у' в системе координат 0'(3,2), е1(1, — 1), е~(4,2). 4.10. Найти координаты точки в системе координат 0(1,3, 3), е1(3,3,1), ез(3,5,2), ез(1,2,1) в пространстве, если известны ее координаты х', д', з' в системс координат 0'( — 1,0,2), е',(1, — 2,1), е~(4,2,1), е~(2, — 1,3). 4.11 (р). В параллелограмме АВСР точка Е лежит на диагонали ВР, причем ~ВЕ~: ~ЕР~ = 1: 2. Найти координаты точки плоскости в системе координат А, АВ, АР, если известны ее координаты х', у' в системе координат Е, ЕС, ЕР.
4.12. В параллелограмме АВСР точка Е лежит на стороне ВС, а точка Е -- на стороне АВ, причем ~ВЕ~: ~ВС~ = = 1: 4, (ВЕ(: (АЕ! = 2: 5. Найти координаты точки плоскости в системе координат С, СЕ, СР если известны ее координаты х', у' в системе координат Е, ЕЕ, ЕР. 4.13. В треугольнике АВС точка Р лежит на стороне ВС, а точка Е лежит на продолжении стороны АС за точку С, причем ~ВР~: ~РС~ = 1: 2, (АС); ~СЕ~ = 3; 1. Найти координаты точки плоскости в системе координат А, АВ, АС, если известны сс координаты х', у' в системе координат .Р, РА, РЕ.
4.14. В треугольнике АВС точка Р лежит на стороне АС, а точка Е на отрезке ВР, причем ~АР~; (АС! = 1: 3, )ВЕ); ~ЕР~ = 2: 3. Найти координаты точки плоскости в системе координат А, АВ, АР если известны ес координаты х', д' в системс координат С, СВ, СЕ. 4.15. Дан правильный шестиугольник АВСРЕЕ. Найти координаты точки плоскости в системе координат А, АВ, АЕ, если известны ее координаты х~, у в системе координат С, СВ, СЕ. б 4. 3 мена базиса и системы координат 27 4.16.
В трапеции АВСР диагонал»л пересекаются в точке Е, а длины оснований ВС и АР относятся как 2: 3. 11айти координаты точки плоскости в системе координат А, АВ, А.Р, если известны ее координаты х', у' в системе координат Е, ЕА, ЕВ. 4.17. В трапеции АВСР длины оснований ВС и АР относятся как 3: 4, точка Е является серединой основания АР, а продолжения боковых сторон пересекаются в точке Г. Найти координаты точки плоскости в системе координат Е, ЕВ, ЕС, если известны ее координаты х', у' в системе координат Г, ГВ, ГС. 4.18.
В основании призмы АВСРА» »ѻл лежит ромб с острым углом А, равным 60'. Точка К лежит на продолжении ребра АВ за точку В, причем угол АРК прямой. Найти кое»»- динаты точки пространства в системе координат А, АВ, АР, АА», если известны ее координаты х', у', з' в системе координат К, КА, КР, КС». 4.19. В треугольной призме АВСА»В» С» точка ЛХ - - точка пересечения медиан грани А»В»С». Найти координаты точки пространства в системе координат А, АВ, АС, АВ», если известны ее координаты х', у', х' в системе координат А», А»В, А»С, А»ЛХ. 4.20. Н тетраэдре АВСР точка ЛХ точка пересечения медиан грани ВСР. Найти координаты точки пространства в системе координат А, АВ, АС, АР, если известны ее координаты х', у', з' в системе координат ЛХ, МВ, ЛХС, МА.
4.21. В правильной шестиугольной пирамиде ЯАВСРЕГ с вершиной Я точка ЛХ является центром основания. Найти кооЕдинать» точки пространства в системе координат А, АВ, АГ, АЯ если известны ее координаты х', у', г' в системе координат Е. 8С, Й~, ВЛХ. 4.22. Дан параллелепипед АВСРА»В»С» Р». Найти кооопдинаты точки пространства в системе координат А, АС, АВ», АА», если известны ее координаты х', у', з' в системе координат Р,РР,РС,РВ. 4.23.
Координаты х, у каждой точки плоскости в первой системе координат выражаются через координаты х', у этой же точки во второй системе координат соотношениями х = = апх'+ а»2у +а»о, у = а»пх'+а2зу'+ азо. Первая система координат является прямоугольной. При каком необходимом и 28 Гли 1. Векгпоры и координаты достаточном условии вторая система также является прямоугольной? 4.24. Координаты х, д, г каждой точки пространства в первой системе координат выражаются через координаты х, у', х' этой же точки во второй системе координат соотношениями х = а11х'+ агау'+ а1зх'+ аш, у = аз1х'+ иззу'+ аззз'+ ахь х = аз1х'+ ааву'+ азах'+ азо.
1) Пусть первая система координат является прямоугольной. При каком необходимом и достаточном условии вторая система также является прямоугольной? 2) При каком необходимом и достаточном условии ориентация базисов первой и второй систем одинакова? 4.25. На плоскости даны две прямоугольные системы координат О, ем ез и О~, е1, е~2. Начало второй системы координат имеет в первой системе координаты хо, уе, а векторы е1 и е~2 получаются из векторов е1 и ез соответственно поворотом на один и тот же угол ео в направлении кратчайепего поворота от е1 к ез.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
