1610840681-c7c8a0f4cc2f319e4e81be4a1f4ed926 (824165), страница 4
Текст из файла (страница 4)
2.30. Даны три вектора а(4,.1.,5), Ь(0,5,2) и с( — 6.,2,3). Найти вектор х, удовлетворяющий системе уравнений (х,а) = = 18, (х,Ь) = 1, (х,с) = 1. 2.31. Даны ненулевой вектор а и скаляр р. Выразить через а и р какой-нибудь вектор х, удовлетворяющий уравнению (х,а) =р. 2.32. Объяснить геометрический смысл всех решений векторного уравнения (х,а) =р, а также его частного решения, коллинеарного вектору а: 1) на плоскости; 2) в пространстве. 2.33. Объяснить геометрический смысл: 1) решения системы векторных уравнений (х, а) = р, (х, Ь) = т1 на плоскости (векторы а и Ь неколлинеарны); 2) решения системы векторных уравнений (х, а) = р, (х,Ь) = т1, (х,с) = сч в пространстве (векторы а., Ь, с нскомпланарны).
2.34 (р). Даны два вектора а(1,— 1,1) и Ь(5,1,1). Вычислить координаты вектора с, который имсет длину 1 и ортогоналсн векторам а и Ь. Сколько решений имеет задача? 2.35. Даны два вектора а (1, — 1, 1) и Ь (5,1,1). Вектор с имеет длину 1, ортогонален вектору а и образует с вектором Ь угол агссоз (~/2/27). Вычислить координаты вектора с. Сколько решений имеет задача? 2.36. В равнобедренном треугольнике медианы., проведенные к боковым сторонам, взаимно псрпсндикулярны. Найти углы треугольника. 2.37.
В параллелограмме АВСР точки К и  — середины сторон ВС и СР. Найти ~АР1 если (АК) = 6, ~АВ~ = 3, а угол КАЛ = тт/3. Х е. Ска хрвое произведение векгаоров 2.38. Длины сторон треугольника связаны соотношением аг + бог = 5сг. Доказать, что две медианы треугольника перпендикулярны. 2.39. Длины соседних сторон параллелограмма относятся как т: и, а угол между этими сторонами равен се. Найти угол между диагоналями параллелограмма. 2.40. В выпуклом четырехугольнике сумма квадратов двух противоположных сторон равна сумме квадратов двух других противоположных сторон.
Найти угол между диагоналями четырехугольника. 2.41. В прямоугольной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны, а отношение длин оснований равно ш:и (т > > и). Найти: 1) отношение длин боковых сторон; 2) отношение длин диагоналей; 3) величину острого угла трапеции.
2.42. Доказать, что если в треугольнике равны длины двух медиан, длины двух высот или длины двух биссектрис, то этот треугольник равнобедренный. 2.43. Пусть М точка пересе сения медиан треугольника АВС. Доказать, что (АМ(~+ )ВМ(г+ (СМ(~ = (~АВ~г+ + (ВС) г + (АС(г) с3 2.44. Длины ребер ААи АВ и АР параллелепипеда АВСРАсВсСсРс равны соответственно а, 6, с. Величины углов между ними е'.ВАР, ~Ас АР и ~Аг АВ равны соответственно о,,б, у.
Найти длину диагонали АСь 2.45. Дан произвольный тетраэдр АВСР. Доказать: если перпендикулярны ребра АВ и СР и ребра АС и ВР, то ребра ВС и А.Р также перпендикулярны. 2.46. Даны два отрезка АВ и СР (вообтт~е говоря, в пространстве). Доказать, что отрезки перпендикулярны, если ~АС~ + ~ВР~~ = ~АР~ + (ВС~ . Верно ли обратное утверждение? 2.47. В правильном тетраэдре АВСР точки М и Р -- середины ребер АР и СР соответственно, точки Х и Я .
центры граней ВСР и АВС соответственно. Найти угол между прямыми Мст и РЯ. 2.48. Длина ребра куба АВСРАсВсСгРс равна а. Точка Р—. середина ребра ССы точка Я "центр грани ААсВгВ. От- Гл. Е Векгпоры и координаты 20 резок МХ с концами на прямых АР и А~ В~ пересекает прямую РЯ и перпендикулярен ей. Найти длину этого отрезка.
2.49. В правильном тетраэдре АВСР точки Е и Е являются серединами ребер АР и ВС соответственно. На ребро СР взята точка Х, на отрезке ЕЕ точка М так, что л'.МХС = 45', ~ЯМЕ = атосов [2/3). В каком отношении точки М и?У делят отрезки ЕЕ и СР? 2.50. В правильной шестиугольной пирамиде ЯАВСРЕЕ ф вершина) длина стороны основания равна 2. Вершины К и М ромба КАМЕ лежат на ребрах АВ и БР соответственно, и [КМ[ = 3, а отрезок КЕ пересекает ребро ЯВ. Найти объем пирамиды. 3 3. Векторное и смешанное произведения векторов 3.1. Найти векторное произведение векторов а и Ь, заданных своими координатами: 1) а(3, — 1, 2), Ь[2, — 3, — 5); 2) а[2, — 1, 1), Ь [ — 4, 2, — 2); 3) а(6, 1, О)., Ь(3, — 2, О). 3.2.
Упростить выражения; 1) [а+Ь, а — Ь); 2) [а — Ь+ с/2, — а+ 2Ь вЂ” 5с). 3.3. Доказать, что векторное произведение не изменится, если к одному из сомножителей прибавить вектор, коллинеарный другому сомножителю. 3.4. Векторы а и Ь не коллинеарны. При каких значениях скаляра Л коллинеарны векторы Ла+ Ь и За+ ЛЬ? 3.5. Векторы ем ев, ез образуют; 1) ортонормированный правый базис; 2) ортонормированный левый базис; 3) ортогональный правый базис. Выразить векторные произведения [ем ез], [ез, ез), [ез, е~[ через векторы ем ез, ез. 3.6. Известно, что а = [Ь, с[, Ь = [с, а), с = [а, Ь).
Найти длины векторов а, Ь, с и углы между ними. 3.7. Решить задачи: 1) 2.34; 2) 2.35, дополнительно потребовав, чтобы ориентация тройки векторов а, Ь, с совпадала с ориентацией ортонормированного базиса, в котором заданы координаты векторов. З о. Векторное и емееааииое произоедеииа еектороо 21 3.8. На векторах а(2,3,1) и Ь( — 1,1,2), отложенных из одной точки, построен треугольник. Найти: 1) площадь этого треугольника; 2) длины трех его высот. 3.9 (р). Длины базисных векторов е1 и ез общей декартовой системы координат на плоскости равны соответственно 3 и 2, а угол между ними равен 30'. В этой системе координат даны координаты трех последовательных вершин параллелограмма: (1,3), (1,0) и ( — 1,2).
Найти площадь параллелограмма. 3.10. Доказать, что площадь выпуклого четырехугольника АВСР равна половине длины векторного произведения [АС, ВР~. 3.11. Доказать, что сумма векторов, перпендикулярных к граням произвольного тетраэдра, равных по длине площадям этих граней и направленных в сторону вершин,противолежащих этим граням, равна нулю. 3.12. Доказать, что для трех нсколлинсарных векторов а, Ь, с равенства [а, Ь1 = [Ь, с) = [с,а) выполняются тогда и только тогда, когда а+ Ь + с = о.
3.13. Доказать тождества: Ь) (Ь,Ь) (а, а) (а, Ь) 2) [а, [Ь, сЦ = Ь(а, с) — с(а, Ь); 3) [[,Ь),[, 11)= ) д (а,с) (а,г1) 3.14. Даны ее, р, у плоские углы трехгранного угла. Найти его двугранные углы. 3.15. Даны два вектора а и Ь такис, что а ~ О, (а, Ь) = О. Выразить через а и Ь какой-нибудь вектор х, удовлстворякь еций уравнению [х,а) = Ь. 3.16. Объяснить геометрический смысл всех решений векторного уравнения [х,а) = Ь, а также его частного решения, коллинеарного вектору (а, Ь). 3.17.
Из одной точки отложены четыре вектора а, Ь, с, г1. Вектор е1 имеет длину 1 и образует с некомпланарными векторами а, Ь, с: 1) равные острые углы; 2) равныс тупые углы. Выразить вектор д через векторы а, Ь, с. Гл. 1. Вектпоры и координаты 3.18. Из одной точки отложены четыре вектора а( — 1,1, — 1), Ь( — 1,1,1), с(5, — 1, — 1) и г1. Вектор е1 имеет длину 1 и образует с векторами а, Ь, с равные острые углы. Вычислить координаты вектора е1.
3.19. Найти смешанное произведение векторов а, Ь, с, заданных своими координатами; 1) а(1,— 1,1), Ь(7,3,— 5), с(-2,2,-2); 2) а(3,5,1), Ь(4,0,— 1), с(2,1,1); 3) а(2,1,0), Ь(3,4,-1), с(-1,-3,1); 4) а(1, 2, 3), Ь(5, — 2, 1), с(2, 1, 2). 3.20. Проверить, компланарны ли векторы, заданные своими координатами в произвольном базисе: 1) а(2,3,5), Ь(7,1,— 1), с(3,— 5,— 11): 2) а(2,0,1), Ь(5,3,— 3), с(3,3,10).
3.21. Векторы а, Ь, с некомпланарны. При каких значениях скаляра Л компланарны векторы а+ 2Ь+Лс, 4а+5Ь+бе, 7а+ 8Ь+ Л2с? 3.22. Три некомпланарных вектора а, Ь, с отложены из одной точки. Найти: 1) обьсм треугольной призмы, основание которой построено на векторах а и Ь, а боковое ребро совпадает с вектором с; 2) объем тетраэдра, построенного на векторах а, Ь, с. 3. 23. Даны точки А (2, 1, — 1), В (3, О, 2), С (5, 1, 1), Р (О, — 1, 3), являющиеся вершинами тетраэдра. Найти: 1) объем тетраэдра; 2) длину высоты тетраэдра, опущенной из вершины С. 3.24.
Длины базисных векторов ем ео, ез в пространстве равны соответственно 1, 2, ~'2, а углы между ними равны; л'.(ен ез) = 120', Л(еы ез) = 45', е'.(ез, ез) = 135'. Вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах, имеющих в этом базисе координаты ( — 1,0,2), (1,1,3), (2,— 1,1). 3.25. Даны неколлинеарные векторы а, Ь и скаляр р. 1) Найти какой-нибудь вектор х, удовлетворяклций уравнению (х,а, Ь) = р. 2) Объяснить геометрический смысл всех решений уравнения (х, а, Ь) = р, а также его частного решения, ортогонального к векторам а, Ь.
3.26. Доказать тождества: 1) (а, Ь,с)~+ [[[а,Ь),с[[~ = [[а, Ь)[~. [с[~; Х о. Векторное и емееиаииое произведения оеитороо 23 2) [[а, Ь], [с, й]] = с(а, Ь, й) — й(а, Ь, с); 3) й(а, Ь,с) = а(Ь,с,й) + Ь(с,а, й) + с(а,Ь,с1); 4) ([а, Ь],[Ь, с],[с,а]) = (а, Ь, с)~; а Ь с 5) (а,Ь,с)[х,у] = (а,х) (Ь,х) (с,х) (а,у) (Ъ,у) (с,у) (а,х) (Ь ) ( ) ,х с,х 6) (а,Ь,с)(х,у,х) = (а,у) (Ъ,у) (с,у) (а,и) (Ъ,я) (с,я) 3.27. Доказать, что проекция вектора Ь на прямую, перпендикулярную вектору а, равна [а, [Ь, а]]/[а[~.
3.28. Доказать, что: 1) если векторы [а,Ь], [Ь,с], [с,а] компланарны, то векторы а, Ъ, с компланарны; 2) если векторы [а, Ь], [Ь, с], [с, а] компланарны, то они коллинеарны. 3.29 (р). Две тройки векторов ам аа, аз и Ьм Ьз, Ьз называются взаимными, если (а;,Ь,) = 0 при г ф 1, (а,,Ь;) = 1. 1) Доказать, что для существования тройки Ьм Ьз, Ьз, взаимной к ам аз, аз, необходимо и достаточно, чтобы векторы ам ао, аз были некомпланарны; 2) выразить в атом случае векторы Ьм Ь2, Ьз через векторы ам аз, аз. 3) Доказать, что если векторы ам аз, аз образуют базис, то векторы взаимной тройки образуют базис той же ориентации (базис, взаимный к базису ам аг, аз). 3.30.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
