Феодосьев В.И (823545), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Тогда получимNdzdu =EF'илиduNHz ~ ~EFВ результате получаем систему, состоящую из двух уравнений: первого уравнения системы (В9) (полагая Q2 = N) иуравнения (1.5), которая позволяет определить напряженнодеформированное состояние прямолинейного стержня, нагруженного осевыми силами:dNdz + «(*) = 0;(1-6)duNd^~^FИз первого уравнения системы (1.6) находим осевое усилие7V(z), а из второго - u(z). Получаемые выражения для N и ибудут содержать две произвольные постоянные, определяемыеиз двух краевых условий: при z = 0 и z = I.Абсолютное удлинение стержня переменного сечения надлине I будет равно(1-7)В том случае, когда стержень нагружен только по концам,нормальная сила N = Р не зависит от 2.
Если, кроме того,стержень имеет постоянные размеры поперечного сечения F,то из выражения (1.5) получаемПри решении многих практических задач возникает необходимость наряду с удлинениями, обусловленными напряжением ст, учитывать также удлинения, связанные с температурным воздействием. В этом случае пользуются способом44наложения и деформацию е рассматривают как сумму силовойи чисто температурной деформации:агде а - коэффициент температурного расширения материала.Для однородного стержня, нагруженного по концам и равномерно нагретого, получаемА,Pi,EFТаким образом, силовая и температурная деформации рассматриваются как независимые. Основанием этому служит экспериментально установленный факт, что модуль упругости Епри умеренном нагреве слабо меняется с температурой, точнотак же как и а практически не зависит от а.
Для стали этоимеет место до температуры порядка 300 .. .400 °C. При болеевысоких температурах необходимо учитывать зависимость Еот t.Рассмотрим примеры определения напряжений и перемещений в некоторых простейших случаях растяжения и сжатия.= — + /at.Пример 1.1. Требуется выявить закон изменения нормальных сил, напряжений и перемещений по длине ступенчатого стержня, на*груженного на конце силой Р (рис. 1.7, а), определить числовые значениянаибольшего напряжения и наибольшего перемещения, если Р = 50 кН,F = 2 см2, I = 1 м.
Материал - сталь, Е = 200 ГПа. Поскольку сила Рвелика, собственный вес стержня можно не учитывать.Рис. 1.745Из условии равновесия любой отсеченной части стержня вытекает,что нормальная сила N в каждом сечении стержня равна внешней силеР. Построим график изменения силы N вдоль оси стержня. Графикиподобного рода называются в сопротивлении материалов эпюрами. Онидают наглядное представление о законах изменения различных исследуемых величин.
В данном случае эпюра нормальной силы представленана рис. 1.7, б прямоугольником, поскольку N — Р = const. На рисункеэпюра N заштрихована линиями, которые проведены параллельно откладываемым на графике значениям 7V. В данном случае значение силы Nоткладывают вверх, поэтому штриховка проведена вертикально.Для того чтобы получить эпюру напряжений <yt надо ординаты эпюры N изменить обратно пропорционально величине F (рис.
1.7, в). Большее значение <г равно— P/Ftmn = 50 кН/2 см3 = 250 МПа.Определим перемещение и (см) каждого сечения стержня по направлению силы Р. Перемещение z-ro сечения равно удлинению отрезкадлиной z. Следовательно, согласно формуле (1.6), u = Pz/(EF). Таким образом, на участке изменения z от нуля до I перемещение и пропорционально z (рис.
1.7, г). На втором участке стержня перемещениеu = Pl/(EF) 4- Pz\/{2EF). Зависимость и от z\ также будет линейной. Наибольшее перемещение имеет торцевое сечение стержня: um»x == 3P//(2£F) = 1,87 мм.Пример 1.2. Построить эпюры нормальных сил, напряженийи перемещений для свободно подвешенного цилиндрического стержня, нагруженного силами собственного веса (рис. 1.8, а). Длина стержня /, площадь поперечного сечения F, плотность материала 7.Рис. 1.8Нормальная сила в сечении z равна весу нижележащей части стержня: N = *tFz. Следовательно, нормальная сила пропорциональна z.
Эпюру N в данном случае штрихуют горизонтальными линиями, поскольку46значения N откладывают в горизонтальном направлении (рис. 1.8, б). Нагпряжение в сечении равно а = 72 (см. рис. 1.8, в).Перемещение и в сечении 2 равно удлинению верхнего участкастержня. Согласно формуле (1.5),и—7^С <<( _ 7_ ,зEF ~ 2е"Таким образом, закон изменения и изображается квадратичной функцией я. Наибольшее перемещение Umax имеет нижнее торцевое сечение(рис. 1.8, г):Umax — ТГо*Пример 1.3. Колонна (рис.
1.9, а) нагружена силой Р и силамисобственного веса. Требуется подобрать такой закон изменения площадипоперечного сечения F = ^(2), чтобы напряжения во всех сечениях былиодинаковы и равны P/Fq. Построить эпюры нормальных сил, напряженийи перемещений.аРис. 1.9На расстоянии 2 от торца нормальная сжимающая сила N равнаXFdCО47По условию задачиXР + Ч I FC{Р-------- ------- = ^ = const,откуда*P + -f j Fd<;= jrF.оДифференцируя обе части этого равенства по zt получим yFР dFJР dF п= — -у—, или dz = —-—=-. После интегрирования находимго dzо*7г(In F - In С),Z=или=F = Ce^Fot/P'>.7F0При z — О F — Fo, следовательно, С = Fo и тогда искомый законизменения площади F принимает вид F = Foe7*^.®Построение эпюр удобнее всего начинать с эпюры напряжениякоторое вдоль оси колонны по условию не меняется (рис.
1.9, б). Поскольку напряжение постоянно, то постоянным будет и относительное удлинение е. Поэтому перемещение и возрастает пропорционально расстояниюот основания колонны (рис 1.9, б).Нормальная сила в сечении z равна W = &F = Pe1FQ*! p. Эпюра Nпоказана на рис. 1.9, г.Рассмотренная задача относится к числу часто встречающихся всопротивлении материалов задач на отыскание условий равнопрочности.Если напряжение в некотором теле (в данном случае в колонне) будетпостоянно для всех точек объема, такую конструкцию называют равнопрочной. В подобных конструкциях материал используется наиболее эффективно.Пример 1.4.Кронштейн АВС нагружен на конце силой Р(рис. 1.10, а). Требуется подобрать поперечное сечение стержней АВ иВС с таким расчетом, чтобы возникающие в них напряжения имели одинаковую заданную величину а.
При этом угол а должен быть выбран изусловия минимального веса конструкции при заданном вылете кронштейна I.Из условий равновесия узла В (рис. 1.10, б) находим нормальные силы в стержнях: /Vi = Р ctg at, ^2 = F/sin а.Далее определяем площади поперечного сечения стержней по величине заданного напряжения а:мР— = — ctg at;<т<т48Nt(г1sin аLaРис. 1.10Вес конструкции кронштейна пропорционален объему: V = l\F\ + /2F2.Подставляя длины и площади стержней, находимР11sin а сое аВеличина V имеет минимум при cos2 а = 1/3; а = 55°.1.3. Потенциальная энергия деформациипри растяжении - сжатии стержняРассмотрим энергетические процессы деформированияупругого тела.Внешние силы, приложенные к упругому телу, совершают работу. Обозначим ее через А. В результате этой работынакапливается потенциальная энергия деформированного тела U.
Кроме того, работа идет на сообщение скорости массетела, т.е. преобразуется в кинетическую энергию К. Балансэнергий имеет вид А = U + К.Если нагружение производится медленно, скорость перемещения масс тела будет весьма малой. Такой процесс нагружения называется статическим. Тело в любой момент времени находится в состоянии равновесия.
В этом случае А = [/, иработа внешних сил целиком преобразуется в потенциальнуюэнергию деформации.При разгрузке тела за счет потенциальной энергии производится работа. Таким образом, упругое тело является аккумулятором энергии. Это свойство упругих тел широко используется, например, в заводных пружинах часовых механизмах49и в различных упругих амортизирующих элементах (рессоры,пружины, торсионные валы и др.).На рис. 1.11 показан растянутый стержень. Для большей наглядности последующих рассуждений удлинение стержня изображено в увеличенном масштабе и соответственно отрезку Д/ внизу показан график изменения силы Р.Рис.
1.11Поскольку на пути Д/ сила Р не остается постоянной, работа, затраченная на растяжение стержня, должна быть определена интегрированием по элементарным участкам пути. Наэлементарном перемещении d(Д/) работа текущей силы Р равна dA = РОчевидно, работа на перемещении Д/ численно равна площади треугольника ОВС, т.е. А = U = 1/2РД/.Таким образом, работа силы на упругом перемещенииопределяется половиной произведения наибольшего значениясилы и перемещения Д/.
Если бы между силой и перемещением не было прямой пропорциональности, вместо коэффициента1/2 был бы получен какой-то другой коэффициент. В частности, при постоянной силе он равен единице. В дальнейшемпри определении работы внешних сил коэффициент 1/2 будемставить без пояснений.
Исключая из полученного для U выражения Д/, найдемР21U=rFFL8Если нормальная сила N меняется вдоль оси стержня, топотенциальная энергия деформации должна определяться суммированием по участкам dz (см. рис. 1.11). Для элементарного50№ dzучастка dU = ■, а для всего стержняzEF__[ N2 dzU-J^F-,.(1'9>0Энергетические соотношения широко используются приопределении перемещения в сложных упругих системах. Общие теоремы, относящиеся к этому вопросу, будут рассмотрены в гл.
5.1.4. Статически определимые и статическинеопределимые стержневые системыВо всех рассмотренных до сих пор задачах нормальныесилы в поперечных сечениях стержня определяли при помощи метода сечений из условий равновесия отсеченной части.Но такое нахождение нормальных сил, да и вообще внутренних сил, далеко не всегда возможно. На практике постоянновстречаются системы, в которых имеется большое число наложенных связей, и для определения внутренних сил уравненийстатики оказывается недостаточно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
