Рыжков основы тепломассобмена уч пос 2007 (818108), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Коэффициент температуропроводности а показывает, чтотела, имеющие бόльшую температуропроводность, нагреваютсяили охлаждаются быстрее по сравнению с телами, имеющими–7 2меньшую температуропроводность, и изменяется от 1,4·10 м /с–3 2для масел до 0,2·10 м /с для серебра.Коэффициент а характеризует специфические теплоинерционные свойства тела, так как он пропорционален коэффициенту теплопроводности λ, с увеличением которого растут потоки теплоты,идущие в тело, и обратно пропорционален объемной теплоемкостисρ. С возрастанием сρ уменьшаются изменения температуры элемента.Левая часть уравнения (3) характеризует скорость изменениятемпературы некоторой точки тела во времени, правая – пространственное распределение температуры вблизи этой точки.∂ 2T ∂ ⎛ ∂T ⎞= ⎜Производная⎟ определяет интенсивность изме∂x 2 ∂x ⎝ ∂x ⎠нения первой производной от температуры в направлении оси х.Она же служит мерой интенсивности изменения потока теплоты вгде a =∂T∂ 2T).

Поэтому величина∂x∂x 2характеризует различие между тепловым потоком, подходящим кэлементу, и потоком, отходящим от него. Именно этим различиеми обусловлено изменение температуры в данной точке.Для ∂T/∂τ = 0 уравнение (3) приобретает вид уравнения Лапла-направлении оси х (так как q x = −λса: ∇ 2T = 0.В двумерном стационарном потенциальном (безвихревом) потоке невязкой жидкости функция тока ψ(x, y) удовлетворяет уравнению Лапласа:92222∂ ψ/∂x + ∂ ψ/∂y = 0.Учитывая количество теплоты, выделяющейся (поглощающейся) в теле вследствие действия внутренних источников (стоков)теплоты, имеем уравнение∂ (cv ρT ) ∂ ⎛ ∂T ⎞ ∂ ⎛ ∂T ⎞= ⎜λ⎟+⎟ + ⎜λ∂τ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂y ⎝ ∂y ⎠+∂ ⎛ ∂T ⎞⎜λ⎟ + qv ,∂z ⎝ ∂z ⎠(4)где сv – удельная теплоемкость при постоянном объеме,кДж/(кг ⋅ К); qv – удельная мощность внутренних источников (сто3ков) теплоты, Вт/м .Уравнение (4), называемое дифференциальным уравнениемФурье – Кирхгофа, устанавливает связь между временным и пространственным изменениями температуры в любой точке тела.При постоянном значении λ уравнение (4) упрощается – получается линейное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка параболического типа:⎛ ∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T ⎞ q∂T= a⎜ 2 + 2 + 2 ⎟ + v .⎜ ∂x∂τ∂y∂z ⎟⎠ cvρ⎝(5)Для анизотропных тел, у которых теплопроводность зависит отнаправления, уравнение Фурье – Кирхгофа принимает видcv ρ∂T i =3 ∂ ⎛ ∂T ⎞=∑⎜λ⎟+q .∂τ i =1 ∂xi ⎜⎝ i ∂xi ⎟⎠ v(6)Если значения λ, ρ и сv в анизотропном теле не зависят от температуры, то уравнение (6) путем преобразования xi, xi = xi a ,можно привести к виду (5).Дифференциальное уравнение теплопроводности (4) выглядитследующим образом:10а) в цилиндрической системе координатcv ρ∂T ∂ ⎛ ∂T ⎞ λ ∂T 1 ∂ ⎛ ∂T ⎞= ⎜λ+⎟+⎜λ⎟ + qv∂τ ∂r ⎝ ∂τ ⎠ r ∂r r 2 ∂ϕ ⎝ ∂z ⎠(7)и при λ = const⎛ ∂ 2T 1 ∂T 1 ∂ 2T ∂ 2T ⎞∂T= a⎜ 2 +++⎟+q ;⎜ ∂ r r ∂r r 2 ∂ϕ∂z ∂z 2 ⎟ v∂τ⎝⎠(8)б) в сферической системе координатcv ρ+∂t ∂ ⎛ ∂t ⎞ 2λ ∂t∂ ⎛ ∂T ⎞1= ⎜λ ⎟ ++ 2 2⎜λ⎟+∂τ ∂r ⎝ ∂r ⎠ r ∂r r sin ψ ∂ϕ ⎝ ∂ϕ ⎠∂ ⎛∂T ⎞⎜ λ sin ψ⎟ + qv∂ψ ⎠r sin ψ ∂ψ ⎝12(9)и при λ = const⎡ ∂ 2T 2 ∂T∂t1∂ 2T1∂ ⎛∂T ⎞ ⎤= a⎢ 2 ++ 2 2+ψsin⎜⎟⎥ +r ∂r r sin ψ ∂ϕ2 r 2 sin ψ ∂ψ ⎝∂τ∂ψ ⎠ ⎦⎥⎣⎢ ∂r+qv.cv ρ(10)Здесь r , z – координаты; ϕ, ψ – углы.Условия однозначности – условия, которые в совокупности сдифференциальным уравнением однозначно определяют единичное явление.Эти условия включают в себя: а) геометрическую форму и размеры тела; б) значения физических параметров (теплофизическихс, ρ, λ и распределения внутренних источников теплоты); в) распределение температур в теле в начальный момент времени (начальное условие); г) условия теплообмена на границе тела (граничные условия).Граничными условиями определяются особенности протеканияпроцесса на поверхности тела.

Эти условия могут быть заданы несколькими способами.Граничные условия I рода: задается распределение температуры на поверхности тела для каждого момента времени, т. е.11Tст = f(xст, yст, zст, τ),(11)где Tст – температура на поверхности тела; хст, yст, zст – координаты точки на поверхности тела.В частном случае, когда температура на поверхности тела неизменяется по времени, Tст = f(хcт, yст, zст), а если она постояннапо поверхности, то Tст = const.Граничные условия II рода: заданной является плотность теплового потока для каждой точки поверхности тела в любой моментвремени, т.

е.qст = f(xст, yст, zст, τ).Например, при нагревании металлических изделий в высокотемпературных печах qст = const. Тогда граничное условие II рода записывается в виде−λ∂T∂nст= qст .(12)Граничные условия III рода: задаются температура среды Tж иусловия теплообмена этой среды с поверхностью тела.Процессы теплообмена между средой и телом являются исключительно сложными и зависят от многих факторов.Для описания интенсивности теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой используется гипотеза Ньютона –Рихмана, согласно которойqст = α(Tст – Tж),(13)где α – коэффициент пропорциональности, называемый коэффи2циентом теплоотдачи, Вт/(м ⋅ К).Коэффициент теплоотдачи численно равен количеству теплоты, отдаваемой (или воспринимаемой) единицей поверхности телав единицу времени при разности температур между поверхностьютела и окружающей средой, равной 1 К.С учетом уравнений (12) и (13) граничное условие III рода записывается в виде−λ12∂T∂nст1= α(Tст − Tж ).(14)Когда коэффициент теплоотдачи имеет большие значения (например, при кипении жидкости на поверхности тела), граничныеусловия III рода переходят в граничные условия I рода, так как вэтом случае температура поверхности тела становится практически равной температуре жидкости.Граничные условия IV poдa формулируются на основании равенства тепловых потоков, проходящих через поверхность соприкосновения тел, т.

е.−λ1∂T∂nст1= λ2∂T∂nст2.(15)При совершенном тепловом контакте оба тела на поверхностисоприкосновения имеют одинаковую температуру, т. е. изотермынепрерывно переходят из одного тела в другое, а градиенты температур в этих точках удовлетворяют условию (15).В реальных конструкциях тепловой контакт между соприкасающимися деталями обычно нельзя считать идеальным, так какдействительная поверхность контакта составляет только малуючасть всей поверхности, даже если эти поверхности гладкие исжимающая сила велика.Если коэффициенты теплопроводности находящихся в контакте тел существенно выше, чем теплопроводность среды, заполняющей полости, то основная часть теплоты будет передаватьсячерез точки контакта.

Различие температур соприкасающихся поверхностей пропорционально контактному термическому сопротивлению или обратно пропорционально контактной тепловойпроводимости, которая количественно характеризуется коэффициентом αк. В этом случае условие (15) принимает вид−λ1∂T∂nст1= λ2∂T∂nст2= α k (Tст1 − Tcт2 ).Коэффициент контактного теплообмена зависит от множествафакторов, и его определение является сложной задачей.Из сопоставления уравнений (12), (14) и (15) ясно, что они различаются правыми частями. Исключение составляет граничноеусловие I рода (11), которое задается температурой поверхноститела.

Граничное условие III рода преобразуется в граничное условие I рода при α → ∞, т. е. при очень интенсивной теплоотдаче.Тогда из уравнения (13) следует, что Tcт = Tж. Граничные условия13могут существенно осложниться процессами радиационного теплообмена, массообмена с фазовыми переходами и т.

п.Дифференциальное уравнение (4) совместно с условиями однозначности дает полную математическую формулировку конкретной задачи теплопроводности. Решение этой задачи может бытьвыполнено аналитически, численным или экспериментальным методом. В последнем случае используются методы физического подобия и аналогий.1.1. Стационарная теплопроводностьПри стационарном режиме температурное поле не зависит отвремени (dT/∂τ = 0) и дифференциальное уравнение теплопроводности (4) принимает вид∂ ⎛ ∂T ⎞ ∂ ⎛ ∂T ⎞ ∂ ⎛ ∂T ⎞⎟ + ⎜λ⎜λ⎟ + ⎜λ⎟ + qv = 0.∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂y ⎝ ∂y ⎠ ∂z ⎝ ∂z ⎠(16)Рассмотрим несколько случаев, когда температура будет зависеть только от одной координаты.Если боковые поверхности неограниченной плоской стенкиизотермические, то изменением температуры в ней по осям у и z⎛ ∂T ∂T⎞можно пренебречь ⎜== 0 ⎟ и дифференциальное уравнение⎝ ∂y ∂z⎠теплопроводности (16) записать в виде∂ ⎛ ∂T ⎞⎜λ⎟ + qv = 0.∂x ⎝ ∂x ⎠(16a)Как для сплошного, так и для полого неограниченных цилиндров в том случае, когда поверхности являются изотермическими,имеем (см.

уравнение (7) )()∂T ∂T== 0 r 2 = x2 + y2 ,∂z ∂ϕи дифференциальное уравнение теплопроводности принимает вид1 ∂ ⎛ ∂T ⎞⎜ rλ⎟ + qv = 0.r ∂r ⎝ ∂r ⎠14(17)В случае изотермичности внутренней и наружной поверхностей для полого и сплошного шаров имеем (см. уравнение (9) )∂T ∂T==0∂ϕ ∂ψ( r 2 = x2 + y 2 + z 2 ) .Следовательно, дифференциальное уравнение теплопроводности в этом случае запишется так:1 ∂ ⎛ 2 ∂T ⎞⎜r λ⎟ + qv = 0.∂r ⎠r 2 ∂r ⎝(18)Нетрудно заметить, что дифференциальные уравнения теплопроводности (17) и (18) можно объединить в одно:1 ∂ ⎛ n ∂T⎜ς λ∂ςς n ∂ς ⎝⎞⎟ + qv = 0,⎠(19)где ζ – обобщенная координата.При ζ = х(n = 0) дифференциальноеуравнение теплопроводности (19) переходит в дифференциальное уравнение теплопроводности (16a), при ζ == r(n = 1) – в уравнение (17), а при ζ == r(n = 2) – в уравнение (18).Однослойная плоская (неограниченная) стенка.

Рассмотрим однородную и изотропную стенку с постоянным коэффициентом теплопроводности λ и при отсутствии внутреннихтепловых источников (qv = 0). Предположим, что стенка, в которой рассмат- Рис. 2. Теплопроводностьривается процесс теплопроводности, в однослойной плоскойстенкеимеет длину и ширину на порядокбольшие по сравнению с ее толщиной δ (рис. 2).В этом случае для стационарного температурного поля дифференциальное уравнение теплопроводности имеет вид∂ 2T∂x 2= 0.15Определим температурное поле стенки аналитически. Законраспределения температур по толщине стенки найдем двойныминтегрированием последнего уравнения.

Тогда решение будетиметь видT = C1 x + C2 ,(20)где C1 и С2 – постоянные интегрирования.Для определения постоянных интегрирования С1 и С2 воспользуемся граничными условиями I рода, т. е. зададимся законом распределения температур на поверхности тела для любого моментавремени:при х = 0 T = Tст1; при х = δ T = Tст2;где Tст1 – температура более нагретой поверхности стенки, °С;Tст2 – температура более холодной поверхности стенки, °С.Тогда из уравнения (20) при х = 0 получим Tст1 = С2; при х = δTст2 − T cт1.δПодставляя значения С1 и С2 в уравнение (20), находимC1 =T=Tст2 − Tст1x + Tст1.δ(21)Уравнение (21) есть окончательное решение задачи, так как описываемое им распределение температур удовлетворяет как дифференциальному уравнению, так и использованным граничным условиям.T − Tст2Введя безразмерную температуру θ =и безразмерTст1 − Tст2xную координату X = , получим θ = 1 − X .δПлотность теплового потока через стенку определяем из закона∂TФурье q = −λ:∂xqст =16λ(Tст1 − Tст2 ).δ2Отношение λ/δ, Вт/(м ⋅ К), называется тепловой проводимо2стью стенки, а обратная величина δ/λ, (м ⋅ К)/Вт, – тепловым, илитермическим, сопротивлением стенки.Общее количество теплоты Qτ, Дж, которое передается черезповерхность F стенки за промежуток времени τ, составляетQτ = qст F τ =λ(Tст1 − Tст2 ) F τ.δДля случая, когда коэффициент теплопроводности λ являетсяпеременной величиной, зависящей от температуры, дифференциальное уравнение теплопроводности становится нелинейным:∂ ⎡∂T ⎤λ(T ) ⎥ = 0.⎢∂x ⎣∂x ⎦(22)Введем новую переменную ϑ, называемую переменной Кирхгофа:Tϑ=∫λ(T )dT .(23)Tст1Тогда уравнение (22) относительно переменной ϑ будет иметь вид∂ 2ϑ∂x 2=0(24)с граничными условиями ϑ = ∫ λ(T ) dT = ϑcт1 при х = δ и ϑ = 0при х = 0.Решая уравнение (24) и переходя к температуре T, получаемT∫Tст2где λ =1Tст1 − Tст2xλ(T )dT = λ(Tст1 − Tст2 )(1 − ),δTст2∫λ(T )dT – среднеинтегральная теплопровод-Tст1ность пластины.17Плотность теплового потокаλ(Tст1 − Tст2 ).(25)δИз уравнения (25) следует, что при переменном коэффициентетеплопроводности λ = f (T ) распределение температуры по толщине пластины не подчиняется линейному закону.

При этом, еслиdλ/dT < 0, то поле температуры прогибается вниз, а если dλ/dT > 0,то вверх (рис. 3).Плотность теплового потока в этом случае определяется той жеформулой, что и при λ = const, только в уравнение надо подставитьсреднеинтегральную теплопроводность λ.Многослойная плоская стенка. Стенки, состоящие из нескольких разнородных слоев, называют многослойными (рис.

Характеристики

Список файлов книги