5 (810789)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 5. Идеальные квантовые газы.«Хорошая теория сложных систем должна представлятьлишь хорошую «карикатуру» на эти системы, утрирующую те свойства их, которые являются наиболее типическими, и умышленно игнорирующую все остальные - несущественные – свойства.»Я. И. Френкель.1. Идеальный газ частиц или квазичастиц. 2.

Плотность одночастичных состояний. 3. Энтропия идеальной системы. 4. Неравновесная энтропия ферми- и бозе-газов. 5. Распределения Бозе и Ферми.Принцип максимальности энтропии. 6. Ещё один вывод распределений Бозе-Эйнштейна, Ферми-Дирака и Больцмана из большого канонического распределения. 7. Ещё один, последний, вывод распределенийБозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака, из  -потенциала. 8. Картинки свыставки.1.

Идеальный газ частиц или квазичастиц.Идеальным газом называют систему частиц, энергиейвзаимодействия между которыми можно пренебречь посравнению с их кинетической энергией. К таким системамотносятся идеальные одноатомные газы, твёрдое тело в гармоническом приближении, излучение чёрного тела и т.д. Этамодель далее играет важную роль в концепции квазичастиц,являющейся основой всей современной теории конденсированного состояния. Таким образом, в качестве идеальнойпринимается модель газа, состоящего из невзаимодействующих частиц или квазичастиц.Отсутствие взаимодействия между частицами позволяет свести квантовомеханическую задачу определения уровней энергии всей системы EnN в целом к задаче об опреде3лении уровней энергии отдельной частицы  p .

Энергия Enтогда выражается суммой энергий каждого атомаEn   p1   p 2  ...   pN(5.1)Здесь под p понимается одночастичное квантовое состояние (p, sz ) , которое, когда спин неважен, мы будем обозначать просто как p . Тогда состояние газа в целом удобноописывать новыми величинами – числами заполнения одночастичных состояний np . Это числом частиц газа, находящихся в p -м квантовом состоянии, np  aˆp aˆp .2.

Плотность одночастичных состояний.Каковы же одночастичные квантовые состояния, какони нумеруются? Ответ универсален, он годится для перечисления мод любой непрерывной системы (поле, волноваяфункция, …), заключённой в воображаемый ящик размеромLx  Ly  Lz . Если мы представим себе этот ящик бесконечноповторенным своими точными копиями по x , по y и по z ,то все непрерывные функции внутри ящика окажутся разложенными в ряды Фурье. Моды этих разложений и будут одночастичными состояниями в нашем ящике. Их удобнее нумеровать в пространстве импульсов. На одно состояние приходится кубик этого пространства объемом (2 )3 / V , таким образом, плотность одночастичных состояний будет4 p 2 dpg ( p)dp  V(2 )3(5.2)Поскольку «зёрнышки» состояний идут в импульсномпространстве очень часто ( px  2 / Lx ), то суммы по состояниям можно заменить на интегралы по «правилу суммирования»44 p 2 dp(5.3)p ...

  ...npV (2 )3   ...n( ) g ( )dПоскольку np , как правило, зависит от энергии однойчастицы, как функции ее импульса  ( p) , удобно ввести также плотность состояний по энергиям. Для этого нужно воспользоваться законом дисперсии (спектром)    p   ( p ) ив правиле сумм (5.3) заменить p на  .

Например, для нерелятивистских частиц   p 2 / 2m со спином s получаемm3 22 2g ( )d   (2s  1)V3 d(5.4)а для фотонов   cp с учетом их поперечности:g ( )d  V  2d 2c3 3(5.5)Для фононов, у которых три поляризации, этот ответ нужноеще домножить на 3/2. В общем случае плотность числа состояний зависит от размерности пространства D и от видаспектра частиц  p  p d . Действительно,g ( )d   p D 1dp  dp D  d  D d(5.6)то естьDg ( )   d1(5.7)3.

Энтропия идеальной системы.Почему так важны одночастичные состояния? Потому,что это основа квазичастичного описания любой конденсированной системы с сильным взаимодействием. Сначала рассматриваются слабые возбуждения системы над ее основнымсостоянием («вакуумом»). Эти коллективные возбуждения иесть квазичастицы, образующие идеальный газ. А потом вво5дится взаимодействие между ними как слабое возмущениеидеальной системы. Итак, нам нужно научиться новому языку – языку одночастичных состояний.

Словарик переводатаков: поскольку взаимодействие отсутствует, квантовое состояние n всей системы есть композиция всех одночастичных чисел заполненияn  {np1 np2 np3 ...}(5.8)При этом, естественноN  np1  np2  ...   npp(5.9)По той же причине вероятность состояния всей системы в целом есть произведение вероятностей одночастичныхсостояний: n   (np )  (np )  (np )...    (np )123p(5.10)Тогда неравновесная энтропия всей системы также есть сумма одночастичных вкладов: S    n ln  n n   (np1 )  (np2 )... ln  (np1 )  ln  ( np2 )  ...np1np(5.11)2Если применить теперь к каждому слагаемому условие нормировкиmax  (n )  1np  0p(5.12)то получитсяmaxS     (np ) ln  (np )p np  0(5.13)До какого « max » числа заполнения следует суммировать, сколько может быть частиц в одном квантовом состоянии? У фермионов это 0,1 ; у бозонов 0,1, 2... .

Для нужд ста6тистической физики про тождественные частицы из квантовой механики больше знать ничего не нужно.4. Неравновесная энтропия ферми- и бозе-газов.Идея описания идеальной системы заключается в том,что все термодинамические величины (энтропия, энергия,давление) выражаются через средние числа заполнения np , асама функция распределения  (np ) не очень-то и нужна.Рассмотрим сначала ферми-частицы. Числа заполненияnp  0 или 1 с вероятностями  (0) и  (1) . Тогдаnp  0   (0)  1   (1) ,  (0)   (1)  1(5.14)Каждую сумму в энтропии можно выразить только черезсредние числа заполнения:  (n ) ln  (n )   (0) ln  (0)   (1) ln  (1) ppp(5.15) (1  np ) ln(1  np )  np ln npОкончательноSФД    (1  np ) ln(1  np )  np ln np p(5.16)А у бозе-частиц ситуация лишь немногим сложнее.Числа заполнения принимают любое значение 0,1, 2...

, поэтому, возможно, в принципе, любое соотношение распределения вероятностей  (np ) с числами заполнения np . Чтобыкаждую одночастичную сумму в энтропии (5.13) выразитьчерез один параметр – среднее число заполнения в этом состоянии np , нужно ещё дополнительно потребовать, чтобы всоответствии с принципом максимальности энтропии этасумма   ( np ) ln  ( np ) была максимальна при заданномnpсреднем числе заполнения данного состояния7np   np  (np )(5.17)npМетод множителей Лагранжа легко справляется с этойзадачкой и дает геометрическое распределение вероятностей (np )  (1  q)q , q npnp1  np(5.18)Для неравновесной энтропии бозе-частиц получаем:S БЭ   (1  np ) ln(1  np )  np ln np p(5.19)При высоких температурах средние числа заполнениямалы np  1 (больцмановский газ; частицы сидят «редко»,частиц мало, уровней много, нет разницы между ферми- ибозе-частицами), и различие между выражениями (5.16),(5.19) становится несущественным.

Обе формулы даютнеравновесную энтропию больцмановского газа:S Б   np lnpnpe(5.20)Все три выражения удобно записать единообразно,введя символический индекс принадлежности к статистике : для статистики Ферми-Дирака   1 , для статистикиБозе-Эйнштейна   1 и для статистики Больцмана   0 .S    (np   1 ) ln(1   np )  np ln np p(5.21)Индекс принадлежности к статистике  не имеет особогофизического смысла и придуман исключительно для удобства записи.5. Распределения Ферми и Бозе. Принцип максимальности энтропии.8Посмотрим, когда наша неравновесная энтропия Sдостигает максимума при заданных полном числе частиц иполной энергии: (  n ) ln(1   n )  nppppnpln np   maxN(5.23)p np p(5.22)E(5.24)pДействуя, как обычно, методом множителей ЛагранжаS  N   E  0 np (5.25)получаем:  1 ФД ,    0 Бnp    (5.26)pe 1 БЭВ дальнейшем мы увидим, что    / T и   1/ T .16.

Ещё один вывод распределений Бозе-Эйнштейна,Ферми-Дирака и Больцмана из большого канонического распределения.В который уж раз запишем большое каноническое распределениеnN  e  N  EnNT, Nnpp, EnN  np p(5.27)pПоскольку газ идеальный и энергия системы складывается изэнергий одночастичных состояний (5.1),  nN распадается насомножители9TnN   (np )  (np )...  e  e1    np1p1T2   npe2Tp2...(5.28)Это значит, что распределение вероятностей каждого одночастичного состояния  (np ) естьp np (np )  Ce(5.29)где для удобства введено обозначениеp   pT(5.30)а C - нормировочная константа. Как мы догадались, чтофакторизация дает (5.29)? Можно мысленно «свернуть»  nNпо переменным всех состояний, кроме первого и получить(5.29).

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций