9 (810780)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 8. Ферромагнетизм. Теория Ландауфазовых переходов II рода.«Величайшим триумфом человеческого разума является то, что мы можем понять вещи, которыеуже не в силах вообразить.»Л.Д. Ландау.1. Теория среднего (самосогласованного) поля Вейсса. 2. Гамильтониан Гейзенберга. 3. Спиновые волны (магноны). Закон дисперсии, теплоёмкость, намагниченность магнонов.

4. Теория Ландау фазовыхпереходов второго рода.1. Теория среднего (самосогласованного) поля (П. Вейсс,1907).Загадка ферромагнетизма заключается в том, что умагнита есть намагниченность даже в отсутствие внешнегополя B . Первую попытку штурма этой загадки предпринялПьер Вейсс еще в 1907 г., задолго до создания квантовой механики. Он предложил гипотезу «молекулярного поля». Будем считать, что взаимодействие между магнитными моментами атомов вещества настолько сильное, что загадочнымобразом возникает коллективное магнитное поле, значительно превосходящее внешнее.

Таким образом, каждый атомный магнитный момент μ находится в некотором эффективном поле. Величина этого поля, помимо собственного поляобразца, может определяться только намагниченностью вещества M ; больше просто нечем. Вейсс предположил самоепростое соотношение между ними:Beff  B  b  M .(8.1)Это выражение напоминает эффективное поле в формуле Лоренц – Лорентца, где b  4 / 3 . Выше мы убеди3лись, что средний магнитный момент, возникающий в полеBeff , есть B M  n     eff  , T (8.2)где n - концентрация моментов (атомов), а ( x) - одна изфункций Бриллюэна, соответствующих, как в дальнейшемвыяснила квантовая механика, спину атома. Нам для дальнейшего понадобится только её поведение вблизи нуляx  1( x)   x   x 3  ...(8.3)Зависимость намагниченности M от приложенногополя B определяется системой двух уравнений B M  n  eff (8.4) T Beff  B  b  M .Поскольку функция M (B ) содержится в этой системев неявном виде, понять поведение её решений проще всегографически.

Введём для удобства x  Beff / T , тогдаM  n ( x   x3  ...)TBM  x .b(8.5)bВидно, что если внешнее поле отсутствует B  0 тоненулевое решение для намагниченности появляется толькониже критической температуры (Кюри) T  Tc , гдеTc  n 2 b .(8.6)Выше этой температуры система имеет только нулевоерешение. Таким образом, введение самосогласованного поляобъясняет существование фазового перехода: появление4спонтанной намагниченности M 0 ниже температуры Кюри.Из (8.5) также получаем, что вблизи перехода спонтаннаянамагниченность ведет себя «корневым образом» 1  Tc(T  T ), приT  TcM0 (T )   b  c 0 приT  Tc(8.7)что соответствует эксперименту. Из тех же уравнений (8.5)можно получить магнитную восприимчивость. Подставляянамагниченность в виде M  M 0   M , где  M    B ,получаем закон Кюри – ВейссаTc 2b(T  T ) , приT  TccTc, приT  Tc b(T  Tc )(8.8)Таким образом, теория среднего поля воспроизводитвсе основные черты фазового перехода ферромагнетик – парамагнетик, наблюдаемые экспериментально.

Единственнойсложностью этой феноменологической теории является порядок величин. Подстановка в (8.6) известных из опыта величин Tc ~ 103 K , n ~ 1022 см3 ,  ~  B позволяет оценитьвеличину b ~ 104 ; в то время, как исходно мы ожидали b ~ 1.Эта оценка показывает, что выстраивающее моменты взаимодействие моменты взаимодействие гораздо сильнее диполь-дипольного. Какова же его природа?2. Гамильтониан Гейзенберга (1928).Взаимодействие такой огромной силы в квантовой механике называется обменном.

Природа обменного взаимодействия – электростатическая. Два электронных облака со5седних атомов взаимодействуют кулоновским образом сэнергией, зависисящей от их спинового состояния.Рассмотрим для примера обменное взаимодействиедвух электронов с суммарным спином Sˆ  Sˆ 1  Sˆ 2 . Поскольку S ( S  1)  S1 ( S1  1)  S 2 ( S 2  1)  2Sˆ 1Sˆ 2 , а S1  S 2  1 / 2 ,то разницу энергий синглетного ( S  0 ) и триплетного( S  1 ) состояний удобно описывать слагаемым с обменныминтегралом  J ( r )Sˆ 1Sˆ 2 . Впервые такую форму записи взаимодействия электронов предложил Дирак, поэтому она называется гамильтонианом Гейзенберга.

Это позволяет нам длясистемы взаимодействующих спинов в решётке ферромагнетика записать гамильтониан Гейзенберга.1Hˆ    B g  Sˆ i  B   J ij Sˆ i Sˆ j .2 i ji(8.9)В приближении самосогласованного среднего поля будем считать, что в образце существует единая для всей решётки средняя намагниченность M   B gn S , а отклонения спинов от среднего малы Sˆ i  Sˆ   Sˆ i ,  Si  S .Таким образом, в этом приближении гамильтонианГейзенберга можно представить в виде1Hˆ    B g  Sˆ i  B J ij Sˆ  .(8.10) B g j iiВыражение в скобках в (8.10) и есть B eff  B  b  M .С учётом того, что обменный интеграл J ij  J ( rij ) экспоненциально быстро убывает с расстоянием, в сумме можноучесть взаимодействие только с z ближайшими соседями.Тогда b zJи для температуры Кюри получаемn B2 g 26Tc S ( S  1) zJ,3(8.11)где мы учли, что производная функции Бриллюэна в нуле  (S  1) / 3S .

Видно, что по порядку величины температура Кюри – это обменный интеграл. Эта оценка великолепносогласуется с опытом Tc ~ 103 K . Таким образом, обменноевзаимодействие позволяет объяснить как возникновениесреднего поля, так и его огромную величину.3. Спиновые волны (магноны). Закон дисперсии, теплоёмкость, намагниченность магнонов.Имея в руках гамильтониан Гейзенберга, возникаетжелание применить его для исследования спектра спиновыхволн. Впервые получил его и исследовал вклад магнонов(квантов спиновых волн) в термодинамику и магнитныесвойства ферромагнетиков Феликс Блох (1930).

Он понял,что раз спины выстроены в фалангу, и их отклонения отсреднего малы, то обменное взаимодействие может сыгратьроль «пружинок». Тогда «рябь» колыхания спиновых стрелокможет бежать по кристаллу в виде гармонической волны.Проверим это предположение прямым расчётом.Разделим спины атомов на продольный (вдоль спонтанной намагниченности и внешнего поля, направленного пооси ẑ ) и поперечный.Sˆi  Sˆix  i  Sˆiy ,  Sˆiz , Sˆ j    ij Sˆi , Sˆi , Sˆ j   2 ij Sˆiz .Тогда гамильтониан Гейзенберга запишется как:(8.12)1Hˆ    B g  B  Sˆiz   J ij Sˆiz Sˆ jz  Sˆi Sˆ j .2 i ji7(8.13)Уравнения движение оператора спина Sˆi имени того жеВернера ГейзенбергаiSˆi  Sˆi , Hˆ t(8.14)в нашем случае даютSˆii  B gB  Sˆi   J ij Sˆ jz Sˆi  Sˆ j Sˆiz .ti j(8.15)Полученная система уравнений нелинейна и не имеетволновых решений.

Ситуацию спасает всё то же самосогласованное поле. Уравнения (8.15) допускают линеаризациюпри T  Tc , когда все спины практически параллельны осиẑ , а поперечные флуктуации малы. Тогда Sˆiz  Sˆ , и мыполучаемiSˆi  B gB  Sˆi   S J ij Sˆi  Sˆ j .ti j(8.16)Как решить такую систему? Это дифференциальныеуравнения с постоянными коэффициентами, распределённыев пространстве.

Ситуация, типичная для волнового уравнения, поэтому естественно поискать решение в виде бегущейволны:(8.17)Sˆi  Sˆk e  ik t ikri .Подставляя (8.17) в (8.16), убеждаемся, что это – действительно решение и получаем спектр спиновых волн:ik  r  r k   B gB  SJ ij 1  e i j .(8.18)i jСчитая, например, что кристалл имеет простую кубическуюрешётку и каждый спин взаимодействует одинаково J ij  Jс z  6 ближайшими соседями на расстоянии a , получаем вдлинноволновом пределе ka  18k   B gB  J S a 2 k 2 .(8.19)Таким образом, квант спиновых волн, который естественно назвать «магноном», в отсутствие внешнего поляимеет такой же спектр, как частица с массой2k2,2m *22S ( S  1)m*  2S a 2Tca Tck (8.20)Если перейти к атомным единицам, которые связаны соотношением Ry  2 / me aB2 , то для отношения массы магнонак массе электрона получаем m * / me  (aB / a ) 2 Ry / Tc .

Притипичных значениях параметров, масса магнона m * раз вдесять превышает массу me .Итак, в низкотемпературном пределе теории среднегополя имеется магнонная ветвь возбуждений бозевского типа.Она даёт вклад в теплоёмкость и намагниченность ферромагнетика. Число магнонов:1N kkeT1k 2 dkV 02 2ek2 m*T T 3/ 2 .(8.21)1Энергия магнонов:kEkkeT1V 02k 2 k 2 dk 2k 2 T 5/ 2 .2m * 2 m*Te1(8.22)Следовательно, теплоёмкость магноновCV  T 3/ 2 .(8.23)Выше уже отмечалось, что магноны – бозоны.

это общее свойство квазичастиц, которые возникают при квантовании гармонических волн (например, фотоны, фононы…).Действительно, энергия гармонической волны может быть9велика, следовательно, в ней может содержаться много магнонов с одинаковыми k и k . Поэтому магноны – бозоны.Кроме того, легко сообразить, что спин одного магнона –единица. Действительно, среднее поле выстраивает спинывсех атомов кристалла в одном направлении. При T  0 упорядочение максимально, назовём это состояние 0 . Принагревании в ферромагнетике рождаются магноны, и суммарный спин кристалла уменьшается. Но спин любой квантовомеханической системы может изменяться только на единицу , следовательно, магнон представляет собой один перевёрнутый спин, бегающий по кристаллу. Это рассуждениеможно обосновать и чисто формально: состояниеN 1/2 Sˆi 0 , соответствующее одному магнону (8.17), яв-iляется собственным вектором оператора полного спина кристаллаSˆiz с собственным значением 1 .

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций