Fedorenko-RP-Vvedenie-v-vychislitelnuyu-fiziku (810773), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Пусп Х(г) — точное гладкое решение, а Х„= Х(~„). Сделаем один шаг по схеме (36), (38) и вычислим ве- численные методы млтемлтической эизики 234 (ч. и личину Я по формуле 4, = Х„+ т „"' М,т (У'), 2 1 где Ут получены обычным образом из (38) (с заменой х„на Х„). Подлежащая оценке величина есть т„., =Х„„— Я. Для ее оценки вычислим Х„+, тем же самым способом, т.е. выпишем для нее систему соотношений типа (36), (38). Конечно, это будет не в точности та же самая система: она будет отличаться на некоторые погрешности аппроксимации. Возьмем вместо Ут значения х(т„+ «тт), обозначая их через х'. подставим хг в (38), добавляя соответствующие невязки! Х! = Х„+ т ~Ч' а," У(Х2) + а', ! = 1, 2, ... „з, ! где а! = О(т*+!), В результате мы получили уравнения для величин, подлежащих сравнению (! = 1, 2, ..., з); У' = Х„+ т ,'~ а, У(Ут), Х! = Х„+ т "' а! 2(Хт) + а', ' (39) Я = Х„+ т ", Ы,т(ут), Х„, ! = Х„+ т ", М /'(Хт) + а.
2 2 Нас интересует оценка 82 — Х„+!8, для а имеем оценку О(т'+'). Дальше должна работать стандартная схема. Из того, что системы (39) мало отличаются друг от друга, следует заключение, что их решения (У', ..., У', Е) и (Х', ..., Х', Х„ь,), которые мы теперь обозначим У и Х соответственно (их размерности, очевидно, равны (з + 1) б(ш х), также мало отличаются друг от друга и можно получить оценку для погрешности согласования: !~у„,Д ~)2 — Х, !Ц н С8а8, т.е. 8Я О(т*+').
(40) Эта оценка была бы тривиальной, если бы малмй параметр т был настолько мал, что 8у„8т «1. Но мы имеем дело с принципиально иной ситуацией: гбао„8 та-1. Система существенно нелинейная, и нужное соотношение (40) удается получить за счет специальных свойств /: используя диссипативность или одностороннюю константу Липшица 1= О(1). Вообще говоря, соотношение (40) справедливо далеко не для всех схем. Это — особое свойство лишь некоторых Ь гг1 ЖЕСТКИЕ СИСТЕМЫ ОДУ Исследование ВЗ-устойчивости. Это один из важнейших элементов исследования схемы. Выделим основные факторы, на основе которых удается установить ВЯ-устойчивость. Вычитая уравнения (39), получаем (1 = 1, 2, ..., ») Х' — У' = т ~; а,.
(~(Х~) — ДУТ)) + а~, г Х„т, — 2 = т ~Х' М (~(Х~) — ДУ~)) + а. (41) Введем векторы У = (Х' — У', ..., Х' — У'), И'- У(Х') — ЛУ') " У(Х*) — У(У')). Каждая компонента этих векторов есть вектор размерности Ф= оба х; таким образом, У, Ь'Е Я"*. Введем еще единичную матрицу е в Ьг-мерном пространстве. Определим матрицм (42) В = (Ь!е, Ьзе, ..., Ь*е). А = (а,.еЦ,. Очевидно, А — матрипд М»- М»,  — матрица Ф»- ЬГ. Теперь уравнения (41) можно записать в виде У= ТАИг+ а, у= ТВИг+ а, а= (а', аз, ..., а'), (43) Ключевым фактом, используемым для установления ВБ-устойчивости, является соотношение (44) схем, которые считаются согласно В-теории пригодными для численного интегрирования жестких систем. Для этого свойства вводится соответствующий термин. Оп р еде лен не б.
Разностная схема называется ВБ-устойчивой, если нз (39) следует (40). Итак, ВЯ-устойчивость — это новое для нас свойство разностной схемы, связывающее погрешность согласования с погрешностью аппроксимации. Напомним, что В-теория оперирует именно с погрешностью согласования. Погрешность аппроксимации, вычисление которой тривиально в стандартном случае (когда искомое решение— гладкая функция, а ~ и все ее необходимые производные суть величины О(1)), в жестком случае оценивается на гладком решении далеко не просто. После этого предстоит сложная работа по оценке погрешности согласования.
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ (ч. и гзз (! — односторонняя константа Липшнца для у'). Оно устанавлива- ется прямой проверкой: (г, и) = Х (йг-у!, ~(~7)-~(уг» а Х ~ 11~!-у!11'= ( 11 ~~11'. г ! ! 1 Перепишем (43) в виде А !г'= тИ'+ А 'а. (45) Умножая (45) скалярно на $', получаем (А !У, г') = т($', И') + (А 'а, $'). С учетом (44) имеем оценку (А !У, И) < т(11И11г+ 11А !11 11а11 11И11.
Выше неявно использовалось предположение о невырожденности А. Примем теперь более жесткое предположение о том, что матрица А ' определяет метрику в том смысле, что существуют положительные С„С, для которых справедливо С 11цга (А !т', И) а С 11ц1г, Ь'И. (46) Отсюда следУет 1Щ1(С! — т!) < Сг11а11 н пРи т! < С, имеем 11~11а~ '„11а11.
! (47) Теперь можно оценить Т11 Иг11 из (45): т11и~11 а 11А '11 11$'11 + 11А '11 11а11 а с 11а11. И наконец, получаем окончательный результат: 11 у„+!11 а 11В11 т 11Ит11 + 11а11 = О(11а11 + 11а11). Итак, при условии (46) схема является ВЯ-устойчивой в том смысле, что погрешность согласовании есть величина О(тг+!), где Перестановкой строк и столбцов матрицу А можно привести к блочно-диагональному виду, в котором матрица представляет собой Ж стоящих на диагонали блоков, каждый из которых есть матрица (а,,) (размером зх з). Очевидно, свойство (46) достаточно проверять только для такого блока, т.е. справедливость (46) зависит только от узлов гг н не зависит от размерности Ж решаемой системы. Используя (46), получаем оценку С 11г11га т( 11Ц1г+ Сг11а11 11У11.
ззт й П) жзсткиз систвмы одт Исследование В-устойчивости. Оно состоит в оценке поведения величины рх„— х,8 для двух разных решений разностной схемы. Выпишем уравнения для х„н х„(1 = 1, 2, ..., з): у' = х„+ т "' а, /'(уу), у' = х„+ т "' а„. у(уЗ), т ! (48) х„+, ° х„+ т ~Г а,. У(Ут). l х„+, —— х„+ т ,'Г М ~(УЗ), з Вычитая нх, получаем (1= 1, 2, ..., з) У' — У' = (х„— х,) + т ~т' а. (У(У') — у'(Ут)», у (49) х„+~ — х„+~ = (х„— х„) + т „"' М (/(У~) — ~(У~)». 2 Используем определенные выше векторы $', )т и матрицы А, В. Введем Ь„= х„— х„, а также матрицы Е и В (типа Ф- Мз и Ме — Мз соответственно): Ь!е 0 Ьзе Е=(е,е,...,е»', В 0 Ь*е В этих терминах можно записать (49) в виде а) У = ЕЬ„+ тАй', б) Ь„, =Ь„+ тВИ~. (50) Приступим к оценке.
Из (50б) имеем — +,В1У~~г = (Ь 4.,В1У, Ь 4. тВ1У) = = ЦЬ„Ц з + 2т (Ь„, ВИ~) + тз (ВМ~, ВМ~), р — наиболее низкий порядок В-аппроксимацин (его называют стадийным порядком аппроксимации). Выше была использована и ограниченность зВя, но это есть факт общего характера в отличие от требования (4б), которое для одних схем выполняется, для других — нет, Перейдем к следующему моменту В-теории — к исследованию В-усгойчивостн. Здесь тоже есть некоторая общая схема анализа. числвнныз методы мкткмАтичзской еизнкн 1ч. и гзв Проделаем простые и очевидные преобразования: !!Ь„+1!!3 = !!Ь„!!2+ 2т (В'Ь„, Иl) + тз (ВИ/, ВУУ) = = !!Ь„!!з+ гт ( ܄— ВУ+ ВУ, И ) + т' (ВИ", ВИ ) = = !!ь„!!'+ г (ву, и ) — г (В1 — в" ь„, и ) + (ви~, ви ).
для слагаемого (Ву, И') = г. В~ (уг — у~, у(у~) — у(у')), ограничи/ ваясь, для простоты, диссипативными системами (с неположительной односторонней константой Липшица 1:а О) и принимая существенное, но весьма естественное предположение о положительности всех коэффициентов квацратурной формулы (Ы ж О, Ч 2), получаем очевидную оценку (В1, 1У) по. (51) Если для схемы имеет место оценка !!у' — у'!! < С !!х„— х„!!, 1= 1, 2, ..., з, (52) с постоянной Ск = О(1) на всем рассматриваемом классе жестких систем, вместо (51) имеем оценку типа (ВУ, И') ж Сз !!Ь„!!, Сз = О(1), (53) которая тоже может быть использована для установления В-устойчивости.
Из соотношения (50а), предполагая обратимость А, находим И~ =- А '(У вЂ” ЕЬ„). (54) Подставим это выражение в полученную для !!Ь„~,!!~ формулу: !!Ь,,!!з = !!Ь !!з+ 2т(ВУ, Иl) — 2(ВУ вЂ” В'Ь„, А (У вЂ” ЕЬ„)) + + (ВА '(и — ЕЬ„), ВА '(У вЂ” ЕЬ„)). (55) Используя почти очевидное соотношение В' = ВЕ и преобразуя третий член правой части (обозначнм г = У вЂ” ЕЬ„) имеем 2(ву — в'ь„, А-'(у — еь„)) = 2(ву — веь„, А-'(у — еь„)) = = 2(Вз, А 'з) = (В'А 'з, з) + ((А ~)'Вз, з).
Наконец, представим последний член правой части (55) в форме (ВА ~з, ВА 'з) = ((А ~)'В'ВА 'з, з). 5 ш1 ЖЕСТКИЕ СИСТЕМЫ ОДУ Используя эти преобразования, запишем окончательное выражение: вз зб ез» 2т (В1У 11У) (Дз з), (56) где (57) Д= В'А '+ (А ')" — (А ')"В'ВА Итак, если система диссипативна, коэффициенты квадратуры М н О, матрица А имеет обратную матрицу А ' н самосопряженная матрица 12 неотрицательна, то разностная схема обладает свойством аттрактивности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
