Fedorenko-RP-Vvedenie-v-vychislitelnuyu-fiziku (810773), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Если случайно оказалось, что точка спектра расположена очень близко от прямолинейного участка контура (ХВ, Х,Ф,), описанная выше процедура определения аргумента может привести к принципиальной ошибке: в окрестности корня Ф(Х) (тем более, если близко к друг другу расположены несколько корней Ф или около контура находится кратный корень) изменение направления поля может быть большим на малом расстоянии.
В начале расчета, когда область О выбирается на основании грубых априорных соображений, вероятность столкнуться с такой ситуацией очень мала. По мере дробления области, когда происходит локализация корня в области все меньшей и меньшей, корень, конечно, приближается к контуру, но одновременно происходит и уменьшение шага, с которым обходится контур. В принципе, при благоприятном ходе вычислительного процесса обход каждого контура требует примерно одного и того же числа вычислений Ф(Х): ведь одновременно с уменьшением шага уменьшается и длина контура очередной области локализации.
Если, например, в области 0 есть всего один корень и шаг АРФ, — Х, регулируется так, что в среднем при переходе от Х,. к Х, „ значение агя Ф(Х) изменяется на и/4, вычисление вращения «стоит» всего десяти вычислений Ф(Х). Кроме того, имеется дополнительная возможность сокращения объема вычислений за счет использования уже имеющейся информации: производя деление очередного прямоугольника пополам, можно вычислить вращение поля вдоль каждого из двух новых контуров, вычисляя вращение лишь вдоль введенной на этом шаге линии раздела. Однако такой способ требует в общем случае достаточно хитроумного программирования и хранении полученной ранее информации.
Если читатель сочтет изложенное выше не слишком надежным, не гарантирующим правильного решения задачи вычисления всех !В9 В 151 спвктглльиля зхдхчл шт~тмх-лигвилля точек спектра в некоторой заданной области, он будет совершенно прав. Такую процедуру можно сделать сколь угодно надежной, уменьшая шаг обхода контура (т.е.
увеличивая обьем вычислений) и, наконец, просто «точной», если заменить описанную выше процедуру вычисления вращения на хорошо известный в теории функций комплексного переменного контурный интеграл. Однако эта точность обманчива: ведь интеграл нужно вычислять по какойто квадратурной формуле, и на стадии ее реализации в расчет войдет какая-то сетка со всеми вытекающими отсюда последствиями. Мы встречаемся здесь с достаточно типичной в вычислительной математике ситуацией: практически, доведенный до числа расчет редко дает полностью гарантированный ответ.
Содержательная интерпретация такого численного результата содержит элемент риска, уменьшение которого связано с увеличением объема вычислительной работы. Алгебраические методы. Аппроксимируя задачу конечномерной, мы получаем формально стандартную алгебраическую спектральную проблему.
Для ее решения разработаны надежные алюритмы, оии включены в системы математического обеспечения ЭВМ, и можно просто воспользоваться одним из них. Этот путь возможен, но нужно внимательно отнестись к выбору средства аппроксимации. Общие алгебраические методы весьма чувствительны к такому фактору, как размерность пространства. Следует использовать методы дискретизации, которые при относительно невысокой размерности пространства позволяют получать достаточно высокую точность.
Метод конечных разностей к таковым не относится, его достоинства в другом. Проиллюстрируем сказанное, описав в общих чертах алгоритм, разработанный К,И, Бабенко. Эффективность этого метода основана на двух основных идеях: а) обращение главной части дифференциальною оператора; б) выбор эффективною аппарата конечномерной аппроксимации. Обращение главной части оператора состоит в решении краевой задачи —" = а — «+ Ьх — Хх, х(0) = х(1) = О, дв яг причем правая часть считается «известной». Решение имеет явное выражение: применение к обеим частям оператора (Нз/агз) ' состоит в интегрировании после умножения на функцию Грина К(Г, $). В результате получаем эквивалентное уравнение; ! х(г) = ~ К(г, В) [аД) хЯ) + ЬД) хД) — й хД)] с(Ц. (9) о ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ 1ч.
и Явный вид ядра К(«, $) считается, разумеется, известным. В рассматриваемом случае К(«, ~) = й(1 — «) при Ца«, «(1 — ~) прн ~> «). Дальнейшее продвижение связано с заменой искомой функции х(«) подходящей аппроксимацией. В частности, предлагается искать х(«) в форме сеточной функции, определенной в чебышевских узлах и восполняемой до непрерывной с помощью интерполяционного полинома. Итак, приближенное решение ищется в виде (!0) х(«) =~ч; х 1" («), а О где 1" («) есть интерполяционный базис — полиномы степени Д«(см.
3 3). Значения ха пока неизвестны, для ннх будет получена система линейных уравнений с параметром Х. Прямая подстановка конструкции (10) в (9) приведет, очевидно, к неразрешимой задаче, так как в нашем распоряжении имеется всего Д«+ 1 параметр, а (9) — это «континуум» уравнений. Поэтому вводится сетка так называемых точек коллокацнн (ф" о, и выполнение (9) для х(«) в форме (10) требуется лишь в точках «'. Таким способом получается система уравнений ~~; Ха «и(«е) = ~~~„ЬЕ „Ха — Х ,'Г се а ха аа О, й = О, 1, ..., М, (11) а О а О а О 1 с „3 К(«Ф, Р,) «м'(В) е«Е.
о Теперь для определения (х„) н Х мы имеем л«+ 1 уравнений (11), которым можно придать стандартную форму спектральной задачи Ах = ХСх. Опыт показал, что сравнительно небольшие значения л«, приводящие к не очень трудоемкой алгебраической проблеме собственных значений, при таком подходе позволяют получить с хорошей точноспио сравнительно большое число точек спектра дифференциального оператора (примерно Ф/2 и даже больше), Например, для уравнения Ламе такой алгоритм уже при Л«= 21 дает дня первых восьми собственных значений величины, совпадающие с 1 1В1 ГЛАВНАЯ СПЕКТРАЛЬИАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 191 «каноннческими табличными» в девяти десятичных знаках, следующие четыре собственных значения совпадают с табличными в восьми десятичных знаках, н т.д.
При оценке трудоемкости и точности алгоритма нужно иметь в виду, что она существенно зависит от того, как вычисляются интегралы, определяющие коэффициенты матриц А и С. Наиболее эффективные результаты получаются в том случае, когда интегралы Ь „, с» „«берутся» в конечном виде и вычисления проводятся по каким-то не очень сложным формулам с очень высокой точностью.
Если же таких формул нет н приходится вычислять интегралы (а их не так уж мало, примерно 21тз) по какнм-то квадратурным формулам, трудоемкость алгоритма заметно возрастает. й 16. Главная спектральная задача для краевых задач математической фкзмкк В приложениях часто возникает задача, которую формально можно записать в простой форме. Пусть А — линейный дифференциальный оператор, соответствующий некоторой краевой задаче для 'уравнений с частными производными. Нужно найти главное собственное число н соответствующую ему собственную функцию: Аи = 1!и. Главным собственным числом называют обычно крайнюю точку спектра, например с наибольшим значением Ве 1. Поясним суть дела, рассмотрев важный в приложениях пример — математическую модель ядерного реактора.
Разумеется, мы ограничимся сравнительно простой моделью. Ядерный реактор будем представл1пь себе в виде некоторого прямоугольного тела (например, в виде трехмерноГо куба). Распределение нейтронов в реакторе описывается системой двух- групповых уравнений диффузии: дФ! — — — б»т Р! кгаб Ф, — АЫФ, + Аыфз, ! (2) — — = б»т Рз кгаб Фз — Аз»Ф» + АмФ1, дФЗ с краевыми условиями на границе Г куба Ф, =Фз = О н какими-то начальными данными. Здесь Ф1(1, х, у, з) (1 ° 1, 2) — 'функции, описывающие распределение быстрых (Ф1) и медленных (Фз)'нейтронов. Уравнения (2) описывают нх эволюцию во времени с учетом следующих процессов: 192 НРИБЛНЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ 1Ч.
и 1) диффузия (члены <ИТЮ, ягаб Фз); 2) поглощение нейтронов (члены — Аыф, и — АЗВФВ); 3) рождение быстрых нейтронов при поглощении медленных (член А,ВФ ) н наоборот (член АВ,Ф,). Коэффициенты системы 1!9, А суть некоторые функции х, у, з, определяемые физическими консгантамн материалов, из которых составлен реактор. Зздача линейна относительно Фг Ее можно записать в компактной форме: <р,=Ар, (3) где ~р = (Ф,,ФВ), А — линейный дифференциальный оиерзтор эллиптического типа, главная дифференциальная часть которого 6190 хгаб при постоянном Ю есть просго ЮЬ (свойства оператора А во многом похожи на свойства оператора Лапласа). Чтобы представить себе характер процессов, протекающих в реакторе, воспользуемся методом Фурье для решения уравнения (3). Так как А не зависит от 1, частные решения (3) можно искать в виде ~р(1) е"'и.
Подставляя в (3), имеем 1.сын .4еыи еиАН или Аи = Хи, т.е. Х должно быть собственным числом, и — соответствующей собственной функцией оператора А. Из теории эллиптических уравнений мы знаем, что имеется дискретное множество собственных значений ХВ н соответствующих собственных функций зЦ„, образующих полную систему. Занумеруем собственные значения в порядке убывани Ке ХВ: ке 1ье- — В при е- Ф . Начальную функцию р„разложим в ряд по ф,: ре = ~~, сьзрь. Тогда сразу имеем решение: (4) ~р(г) =~ с е~'зрю Нетрудно убедиться, что при достаточно большом времени г в решении (4) выделяется главный член с наибольшим значением Ке Х: р(1) ж с~с" 'зрг Кстати, нужно понимать, какое время является большим для процесса, описываемого системой (2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
