Teorema_Carnot (810498), страница 2
Текст из файла (страница 2)
1) ðàâíà ðàçíîñòè ïëîùàäåé êðèâîëèíåéíûõ òðàïåöèé S1 123S2 è S1 143S2 ,ò. å. ðàâíà ïëîùàäè, îõâà÷åííîé öèêëîì. Ïîñêîëüêó âåëè÷èíà ïëîùàäè öèêëà íå çàâèñèòîò òîãî, ðàçáèâàåì ìû å¼ íà âåðòèêàëüíûå ñòîëáèêè T dS èëè æå íà ãîðèçîíòàëüíûå S dT ,òî äëÿ ðàáîòû, ñîâåðøàåìîé â öèêëå, ìû òàêæå ìîæåì íàïèñàòü:IIA = T dS = S dT ;çàìåòèì, ÷òî òàê æå îïèðàÿñü íà ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë èíòåãðàëà, ìû è â êîîðäèíàòàõ (P, V ) ìîæåì íàïèñàòü äëÿ ðàáîòû, ñîâåðøàåìîé â öèêëå :IIA = P dV = V dP .Êïä (êîýèöèåíòîì ïîëåçíîãî äåéñòâèÿ) òåïëîâîãî äâèãàòåëÿ íàçûâàåòñÿ, ïî îïðåäåëåíèþ, îòíîøåíèå ïîëåçíîãî ýåêòà óíêöèîíèðîâàíèÿ äâèãàòåëÿ (â äàííîìñëó÷àå ðàáîòû A, õîòÿ ìîæíî òàêæå èñïîëüçîâàòü è ñáðàñûâàåìîå òåïëî Qîõë , íàïðèìåð,äëÿ îòîïëåíèÿ) ê çàòðàòàì íà óíêöèîíèðîâàíèå äâèãàòåëÿ (â äàííîì ñëó÷àå âçÿòîìó îò íàãðåâàòåëÿ êîëè÷åñòâó òåïëîòû Qí ), ñ ó÷¼òîì (2) ïîëó÷àåìη=AQí − QîõëQîõë==1−,QíQíQí(3)òàêèì îáðàçîì êïä òåïëîâîãî äâèãàòåëÿ ïðè ëþáîì òåðìîäèíàìè÷åñêîì öèêëå îïðåäåëÿåòñÿ ÷åðåç îòíîøåíèå êîëè÷åñòâ òåïëîò: Qîõë îòäàííîãî îõëàäèòåëþ, è Qí ïîëó÷åííîãîîò íàãðåâàòåëÿ.Ïî îáðàòíîìó öèêëó, êîãäà ïðîèñõîäèò îòáîð òåïëà Qîõë îò îõëàäèòåëÿ (õîëîäíîãî ìåñòà)è ïåðåäà÷à òåïëà Qí íàãðåâàòåëþ (ò¼ïëîìó ìåñòó) çà ñ÷¼ò âíåøíåé ðàáîòû A = Qí − Qîõëðàáîòàþò îáû÷íûå õîëîäèëüíèêè, à òàêæå òåïëîâûå íàñîñû.
Çàòðàòàìè íà óíêöèîíèðîâàíèå ýòèõ óñòðîéñòâ ÿâëÿåòñÿ âíåøíÿÿ ðàáîòà A, à ïîëåçíûì ýåêòîì êîëè÷åñòâîîòîáðàííîé òåïëîòû Qîõë äëÿ õîëîäèëüíèêà, èëè êîëè÷åñòâî ïåðåäàííîé òåïëîòû Qí äëÿòåïëîâîãî íàñîñà, ïîýòîìó ýåêòèâíîñòü ðàáîòû ýòèõ óñòðîéñòâ áóäåò õàðàêòåðèçîâàòüñÿ óæå íå êïä (3), à äðóãèìè ïîêàçàòåëÿìè (ïðàâäà, ñâÿçàííûìè ñ êïä ïðÿìîãî öèêëà (3));äëÿ òåïëîâîãî íàñîñà:ηòí =Qí11Qí== > 1,=QîõëAQí − Qîõëη1 − Qíäëÿ õîëîäèëüíèêà:QîõëηõîëQîõë1−ηQîõë1Qí===== − 1 = ηòí − 1 .QîõëAQí − Qîõëηη1 − Qí43.Ïåðåéä¼ì ê äîêàçàòåëüñòâó òåîðåì Êàðíî.Òåîðåìà 1(Êàðíî).Êïä òåïëîâîãî äâèãàòåëÿ, ðàáîòàþùåãî ïî öèêëó Êàðíî, íå çàâè-ñèò îò ïðèðîäû èñïîëüçóåìîãî ðàáî÷åãî âåùåñòâà, îïðåäåëÿåòñÿ òîëüêî òåìïåðàòóðàìèíàãðåâàòåëÿ è îõëàäèòåëÿ, è íå çàâèñèò îò äðóãèõ ïàðàìåòðîâ öèêëà. êîîðäèíàòàõ (T, S ) äëÿ ëþáîãî âåùåñòâà èçîòåðìû (T = onst) èçîáðàæàþòñÿ ãîðèçîíòàëüíûìè îòðåçêàìè, à àäèàáàòû (S = onst) âåðòèêàëüíûìè îòðåçêàìè.
Ïîýòîìó öèêëû Êàðíî (ñîñòîÿùèå èç èçîòåðì è àäèàáàò) èçîáðàæàþòñÿ â êîîðäèíàòàõ (T, S ) ïðÿìîóãîëüíèêàìè íåçàâèñèìî îò òîãî, ñ êàêèì âåùåñòâîì ïðîâîäèòñÿöèêë Êàðíî. Ñëåäîâàòåëüíî, êïä òåïëîâîé ìàøèíû, ðàáîòàþùåé ïî öèêëó Êàðíî, ìîæåòçàâèñåòü òîëüêî îò ïàðàìåòðîâ ïðÿìîóãîëüíèêà, èçîáðàæàþùåãî öèêë Êàðíî â êîîðäèíàòàõ (T, S ), íî íå ìîæåò çàâèñåòü îò ïðèðîäû èñïîëüçóåìîãî ðàáî÷åãî âåùåñòâà.Äîêàçàòåëüñòâî.Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî êïä ïðîèçâîëüíîãî öèêëà Êàðíî îïðåäåëÿåòñÿ òîëüêî òåìïåðàòóðîé íàãðåâàòåëÿ è òåìïåðàòóðîé îõëàäèòåëÿ òåïëîâîé ìàøèíû. àññìîòðèì äâà ïðîèçâîëüíûõ öèêëà Êàðíî ñ îäèíàêîâûìè òåìïåðàòóðàìè íàãðåâàòåëÿ Tmax è îõëàäèòåëÿ Tmin(ðèñ. 3).TTmaxTmin12564387S1S2S5S6∆S1S∆S2èñ.
3. Ê ðàâåíñòâó êïä âñåõ öèêëîâ Êàðíî ñ îäèíàêîâûìèTmaxèTmin öèêëå 1 → 2 → 3 → 4 → 1 òåïëî ïîñòóïàåò íà ó÷àñòêå 1 → 2, è åãî êîëè÷åñòâî ðàâíîïëîùàäè S1 12S2ZZZT dS =Tmax dS = TmaxdS = Tmax ∆S1 ,Qí1 =1→21→21→2à îòäà¼òñÿ òåïëî íà ó÷àñòêå öèêëà 3 → 4, è åãî êîëè÷åñòâî ðàâíî ïëîùàäè S1 34S2 ZZZZQîõë1 = T dS =TmindS = TmindS = Tmin ∆S1 ,T dS =3→44→34→34→3òàêèì îáðàçîì äëÿ öèêëà 1 → 2 → 3 → 4 → 1Qîõë1Tmin ∆S1Tmin==.Qí1Tmax ∆S1TmaxÀíàëîãè÷íî â öèêëå 5 → 6 → 7 → 8 → 5Qí2 = ïëîùàäü (S5 56S6 ) = Tmax ∆S2 ,5Qîõë2 = ïëîùàäü (S5 87S6 ) = Tmin ∆S2 ,è äëÿ ýòîãî öèêëà òîæåQîõë2Tmin.=Qí2TmaxÒàêèì îáðàçîì, äëÿ îáîèõ ïðîèçâîëüíûõ (è ðàçíûõ) öèêëîâ Êàðíî ñ îäèíàêîâûìè òåìïåðàòóðàìè Tmax è Tmin ìû èìååìQîõëTmin,=(4)QíTmax÷òî, ñîãëàñíî (3), äà¼òäëÿ ëþáîãîöèêëà Êàðíî ñëåäóþùåå âûðàæåíèå äëÿ êïäTmin,(5)Tmaxçàâèñÿùåå, êàê è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü, òîëüêî îò òåìïåðàòóðû íàãðåâàòåëÿ Tmax è òåìïåðàòóðû îõëàäèòåëÿ Tmin.ηC = 1 − õîäå äîêàçàòåëüñòâà ìû òàêæå ïîäòâåðäèëè äëÿ öèêëà Êàðíî ïðàâèëî ðàâåíñòâà ïðèâåä¼ííûõ òåïëîò, óñòàíîâëåííîå Êëàóçèñîì, è âûòåêàþùåå èç (4):QîõëQí=;TmaxTminýòî ðàâåíñòâî ñïðàâåäëèâî è â îáðàòíîì öèêëå Êàðíî (êîãäà êîëè÷åñòâà òåïëîòû Qí èQîõë ìåíÿþò çíàê íà îáðàòíûé).Òåîðåìà 2(Êàðíî).Èç âñåõ òåðìîäèíàìè÷åñêèõ öèêëîâ, òåìïåðàòóðà ðàáî÷åãî òåëà óêîòîðûõ èçìåíÿåòñÿ â çàäàííûõ ïðåäåëàõ, íàèáîëüøèé êïä èìååò öèêë Êàðíî.Îêðóæèì ïðîèçâîëüíûé öèêë 1 → 2 → 3 → 4 → 1 öèêëîì Êàðíî B →C → D → E → B ñ òåì æå ïåðåïàäîì òåìïåðàòóð Tmin Tmax è òîé æå ìàêñèìàëüíîéðàçíîñòüþ ýíòðîïèè â öèêëå ∆S (ðèñ.
4); íàïîìíèì, ÷òî ïî òåîðåìå 1 êïä öèêëà Êàðíîîïðåäåëÿåòñÿ òîëüêî Tmin è Tmax è íå çàâèñèò îò ∆S .Äîêàçàòåëüñòâî.TBTmax2C31TminE4S1DS3S∆Sèñ. 4. Ê ìàêñèìàëüíîñòè êïä öèêëà Êàðíî ïî ñðàâíåíèþ ñ ëþáûì öèêëîì ñ òåìè æåTmaxèTminÎáîçíà÷èâ ÷åðåç ∆Qí ñóììó ïëîùàäåé êðèâîëèíåéíûõ òðåóãîëüíèêîâ 1B2 è 2C3 ìîæåìíàïèñàòü äëÿ êîëè÷åñòâà òåïëà Qí , ïîëó÷àåìîãî ðàáî÷èì òåëîì îò íàãðåâàòåëÿ â öèêëå1 → 2 → 3 → 4 → 1:Qí = ïëîùàäü (S1 123S3 ) = ïëîùàäü (S1 BCS3 ) − ∆Qí == Tmax ∆S − ∆Qí = Tmax ∆S · (1 − δí ) ,6ãäå îáîçíà÷åíî δí =∆QíTmax ∆S> 0.Àíàëîãè÷íî äëÿ êîëè÷åñòâà òåïëà Qîõë , îòäàâàåìîãî ðàáî÷èì òåëîì îõëàäèòåëþ â ýòîìæå öèêëå 1 → 2 → 3 → 4 → 1:Qîõë = ïëîùàäü (S1 143S3 ) = ïëîùàäü (S1 EDS3 ) + ∆Qîõë == Tmin ∆S + ∆Qîõë = Tmin ∆S · (1 + δîõë ) ,ãäå ∆Qîõë ñóììà ïëîùàäåé êðèâîëèíåéíûõ òðåóãîëüíèêîâ E14 è 43D , è òàêæå ââåäåíîîõëîáîçíà÷åíèå δîõë = T∆Q> 0.min ∆SÒàêèì îáðàçîì, äëÿ íàøåãî ïðîèçâîëüíîãî öèêëà 1 → 2 → 3 → 4 → 1 èìååì:Tmin 1 + δîõëQîõëTmin ∆S · (1 + δîõë )Tmin=·,=>QíTmax ∆S · (1 − δí )Tmax 1 − δíTmaxè ïîýòîìó êïä ýòîãî ïðîèçâîëüíîãî öèêëà, ñîãëàñíî (3) è (5),η = 1−QîõëTmin 1 + δîõëTmin=1−<1−·= ηC ,QíTmax 1 − δíTmax÷òî è äîêàçûâàåò òåîðåìó.
Çàìåòèì, ÷òî äîêàçàòåëüñòâî îñòàíåòñÿ ñïðàâåäëèâûì, åñëèîäíî èç ÷èñåë: δí èëè δîõë áóäåò ðàâíî íóëþ.4.Ïðè âûâîäå êïä öèêëà Êàðíî îáû÷íî ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî â òåïëîâîé ìàøèíå Êàðíî òåìïåðàòóðà ðàáî÷åãî òåëà ïðè åãî êîíòàêòå ñ íàãðåâàòåëåì èëè îõëàäèòåëåì íå îòëè÷àåòñÿ (èëè îòëè÷àåòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëî) îò òåìïåðàòóðû, ñîîòâåòñòâåííî, íàãðåâàòåëÿ èëèîõëàäèòåëÿ. Òàê êàê äëÿ ïåðåíîñà òåïëà íåîáõîäèìà ðàçíîñòü òåìïåðàòóð, òî òåïëîîáìåíðàáî÷åãî òåëà äâèãàòåëÿ ñ íàãðåâàòåëåì è îõëàäèòåëåì áóäåò ïðè ýòîì ïðåäïîëîæåíèèáåñêîíå÷íî ñëàáûì è, ñëåäîâàòåëüíî, áóäåò ïðîäîëæàòüñÿ áåñêîíå÷íî äîëãî.
Òàêèì îáðàçîì, èäåàëüíûé äâèãàòåëü Êàðíî, îáëàäàÿ ìàêñèìàëüíî âîçìîæíûì êïä, èìååò íóëåâóþìîùíîñòü.Ìîæíî ðàññìîòðåòü áîëåå ðåàëüíóþ ìîäåëü òåïëîâîãî äâèãàòåëÿ, â êîòîðîé òåìïåðàòóðàðàáî÷åãî òåëà ïðè òåïëîîáìåíå îòëè÷àåòñÿ îò òåìïåðàòóð íàãðåâàòåëÿ è îõëàäèòåëÿ, èïîýòîìó ïîëó÷åíèå òåïëà îò íàãðåâàòåëÿ, ïåðåäà÷à åãî îõëàäèòåëþ è ïîëó÷åíèå ïîëåçíîéðàáîòû ïðîèñõîäÿò óæå çà êîíå÷íîå âðåìÿ.
Ïóñòü èêñèðîâàííûå òåìïåðàòóðû íàãðåâàòåëÿ è îõëàäèòåëÿ ðàâíû Tmax è Tmin ñîîòâåòñòâåííî, à öèêë Êàðíî ïðîâîäèòñÿ ìåæäóòåìïåðàòóðàìè T1 < Tmax è T2 > Tmin (ðèñ. 5).A = Qí − QîõëTmaxQíT1Öèêë ÊàðíîQîõëT2èñ. 5. Äâèãàòåëü Êàðíî ñ íåíóëåâîé ìîùíîñòüþ (TmaxTmin> T1 > T2 > Tmin ) .Ñ óâåëè÷åíèåì ðàçíîñòåé òåìïåðàòóð ∆T1 = Tmax − T1 è ∆T2 = T2 − Tmin òåïëîîáìåíðàáî÷åãî òåëà ñ íàãðåâàòåëåì è îõëàäèòåëåì áóäåò áîëåå èíòåíñèâíûì è, ñëåäîâàòåëüíî,âðåìÿ öèêëà t áóäåò ïðè ýòîì óìåíüøàòüñÿ. Îäíàêî, ïðè èêñèðîâàííûõ Tmax è Tmin , ñóâåëè÷åíèåì ∆T1 è ∆T2 ðàáî÷èå òåìïåðàòóðû äâèãàòåëÿ T1 è T2 áóäóò ñáëèæàòüñÿ, ÷òî2áóäåò óìåíüøàòü êïä äâèãàòåëÿ ηC = T1T−Tè, ñëåäîâàòåëüíî, ñíèæàòü ðàáîòó A äâèãàòåëÿ1çà öèêë.
Òàêèì îáðàçîì, ìîùíîñòü N = A/t ýòîãî äâèãàòåëÿ, áóäó÷è ïî îïðåäåëåíèþ7íåîòðèöàòåëüíîé, îáðàùàåòñÿ â íóëü ïðè ∆T1 = ∆T2 = 0 (êîãäà t → ∞), à òàêæå ïðè∆T1 + ∆T2 = Tmax − Tmin (êîãäà T1 = T2 , ηC = 0 è A = 0), ïîýòîìó ìîùíîñòü N äîëæíàèìåòü ìàêñèìóì.Âûïèñàâ âûðàæåíèå äëÿ ìîùíîñòè N äâèãàòåëÿ , ðàáîòàþùåãî ïî ñõåìå ðèñ. 5, è çàòåììàêñèìèçèðóÿ åãî ïî ïåðåìåííûì ∆T1 è ∆T2 (ñì. [3℄) ìîæíî ïîëó÷èòü ñëåäóþùåå âûðàæåíèå äëÿ êïä äâèãàòåëÿ Êàðíî ñ ìàêñèìàëüíîé ìîùíîñòüþ:rTmin.ηN = 1 −(6)TmaxÂûðàæåíèå (6) âûâîäèëîñü â ðàçëè÷íûõ ìîäåëÿõ è ðàçëè÷íûìè ñïîñîáàìè (Íîâèêîâ È.È.(1957); Curson F.L., Ahlborn B.
(1975); Van den Broek (2005), è äð.), ïîýòîìó îíî îáëàäàåò îïðåäåë¼ííîé îáùíîñòüþ è äîëæíî õîðîøî îïèñûâàòü ðåàëüíûå òåïëîâûå ìàøèíû,ïîñêîëüêó èíæåíåðíûå è êîíñòðóêòîðñêèå ðåøåíèÿ íåðåäêî íàöåëåíû íå ïðîñòî íà ïîâûøåíèå ýåêòèâíîñòè, íî è íà ïîâûøåíèå ìîùíîñòè ñîçäàâàåìûõ òåïëîâûõ ìàøèí. òàáëèöå ïðèâåäåíû ðàáî÷èå òåìïåðàòóðû è ðåàëüíûå êïä η àêò íåêîòîðûõ òåïëîâûõ ìàøèí, à òàêæå âû÷èñëåííûå äëÿ ýòèõ ìàøèí çíà÷åíèÿ êïä ïðè ìàêñèìàëüíîé ìîùíîñòè ηN(ñì.
(6)) è êïä èäåàëüíîãî öèêëà Êàðíî ηC (ñì. (5)).ÍàèìåíîâàíèåäâèãàòåëÿÏàðîâîéòóðáîãåíåðàòîðÄèçåëüÊàðáþðàòîðíûéäâèãàòåëüÒóðáîðåàêòèâíûéäâèãàòåëüàçîòóðáèííàÿóñòàíîâêàTmaxTminη àêòηNηC(623 K)(708 K)(753 K)(823 K)(2103 K)30 ◦ C (303 K)30 ◦ C (303 K)30 ◦ C (303 K)30 ◦ C (303 K)530 ◦ C (803 K)0,250,320,360,400,350,370,300,350,370,390,380,510,570,600,630,622530 ◦ C (2803 K)830 ◦ C (1103 K)0,240,270,370,61850 ◦C (1123 K)510 ◦ C (783 K)äî 0,240,170,301110 ◦ C (1373 K)525 ◦ C (798 K)0,250,240,42350 ◦ C435 ◦ C480 ◦ C550 ◦ C1830 ◦ CÊàê âèäíî èç òàáëèöû, çíà÷åíèÿ êïä ïðè ìàêñèìàëüíîé ìîùíîñòè ηN äåéñòâèòåëüíî ëó÷øå îïèñûâàþò êïä ñóùåñòâóþùèõ òåïëîâûõ ìàøèí ηàêò , ÷åì êïä ηC èäåàëüíîãî öèêëàÊàðíî.Ïðèëîæåíèå.6¾Òåïëî åñòü íè÷òî èíîå, êàê äâèæóùàÿ ñèëà èëè, âåðíåå, äâèæåíèå, èçìåíèâøåå ñâîé âèä; ýòîäâèæåíèå ÷àñòèö òåë; ïîâñþäó, ãäå ïðîèñõîäèò óíè÷òîæåíèå äâèæóùåé ñèëû, âîçíèêàåò îäíîâðåìåííî òåïëîòà â êîëè÷åñòâå, òî÷íî ïðîïîðöèîíàëüíîì êîëè÷åñòâó èñ÷åçíóâøåé äâèæóùåéñèëû.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
