133 (810489), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Как известно из молекулярно-кинетической теории, длина пробега определяется эффективным («газокинетическим») диаметром молекул как ∼ 1/( 2 ), где — объёмная концентрация газа. Видно, что обратнопропорциональна плотности газа, поэтому, как следует из (9), вязкость газа независит от его плотности и определяется только температурой . Данныйвывод может показаться парадоксальным, поскольку в более плотном газебольшее число молекул должно участвовать в передаче импульса между слоями, однако это компенсируется тем, что этот импульс передается на меньшеерасстояние.Заметим также, что закон Ньютона (1) и формула (9) для газов применимы,только когда скорость потока мала по сравнению с тепловой ≪ ̅ , а характерные размеры системы значительно превышают длину свободного пробегамолекул (т.е. система не находится в состоянии высокого вакуума).Анализ по размерности.
Рассмотрим задачу о течении по трубе при произвольных числах Рейнольдса с точки зрения теории размерностей.Перечислим параметры задачи о несжимаемом течении жидкости или газапо прямой трубе круглого сечения с указанием их физических размерностей:кгкгплотность [] = � 3�, радиус трубы [] =[м], вязкость [] = [Па ⋅ с] = � �,м3мрасход [] = � �, разность давлений [Δ] = [Па] = �скгм⋅с2м⋅с� и длина рассматри-ваемого участка трубы [] = [м]. Если течение является установившимся, тоего усредненные характеристики одинаковы в любом поперечном сечении и,следовательно, могут зависеть только от перепада давления на единицу длиныПатрубы, то есть от комбинации = Δ/, [] = � � = �мкгм2 ⋅с2�. Также вместорасхода можно использовать среднюю скорость потока � = 2м, [�] = � �.сИз параметров , , , � и Δ/ можно составить ровно две независимыебезразмерные комбинации.
В качестве таковых можно взять число Рейнольдса*См., например, «Лабораторный практикум по общей физике. Т. 1. Термодинамика и молекулярная физика» / под ред. А. Д. Гладуна. — М.: МФТИ, 2012. — Раздел II.6Re =и, например, следующее отношение�(10) Δ(11). �2Использованную здесь величину �2 , имеющую размерность давления, называют скоростным напором — она имеет смысл потока импульса, переносимого жидкостью через сечение трубы в единицу времени. Соответственно, параметр � — это отношение перепада давления в трубе к скоростному напору.Как следует из теории размерностей, любая зависимость параметров задачи друг от друга должна быть представима в виде функции этих безразмерных параметров.
Следовательно, в самом общем виде связь скорости теченияи перепада давления представима какΔ�2(12)� = (Re), или= (Re) ⋅,где — некоторая произвольная функция числа Рейнольдса *.Отметим, что хотя теория размерностей сама по себе не может дать конкретный вид физического закона (функцию ), она, как правило, позволяетзначительно уменьшить число степеней свободы задачи: в частности, нам удалось сократить количество независимых переменных с четырех до одной, чтосущественно упрощает как теоретическое, так и экспериментальное исследование задачи †.Для нахождения функции необходимо привлечение дополнительных соображений — экспериментальных или теоретических. Пусть, например, изопыта известно, что расход прямо пропорционален перепаду давления� = ∝ Δ.
Тогда нетрудно видеть, что функция (Re) должна иметь вид ∝1,Reи мы получаем закон Пуазейля (7) с точностью до численного множителя:Δ �24 Δ(13)= const ⋅⋅→ = const ⋅⋅ .� Для турбулентного режима строго обоснованного теоретического выражения для функции (Re) не существует. Кроме того, как показывает опыт, этафункция существенно зависит от степени шероховатости стенок. Мы рассмотрим простейшую модель: предположим, что при больших числах Рейнольдса*Формула (12) известна в гидродинамике как закон Дарси–Вейсбаха. Величину называюткоэффициентом Дарси, а комбинацию /2 — гидравлическим сопротивлением трубы.†Возможность такого упрощения — следствие масштабной инвариантности физических законов. Подробнее см., например, Сивухин Д.В.
«Общий курс физики. Т. 1. Механика» — Гл. XI, атакже § 98, 101.7Re ≫ Reкр жидкость можно считать практически идеальной, так что параметры её течения не зависят от коэффициента вязкости. Тогда, чтобы явнаязависимость от пропала, функция должна стремиться при Re → ∞ к некоторой константе ≈ const. Отсюда находимΔ�2= const ⋅→ = const ⋅ 5/2 �Δ.(14)Заметим, что в частном случае ∼ это результат соответствует закону Бернулли для истечения жидкости из отверстия ∼ 2 �Δ/. Ниже будут приведены дополнительные физические соображения в пользу (14).Турбулентность. Ламинарная картина течения наблюдается при относительно малых числах Рейнольдса, когда вязкие силы достаточны для того,чтобы погасить любые случайно возникшие возмущения потока.
При превышении некоторого критического числа Рейнольдса Re > Reкр течение Пуазейля становится неустойчивым. В потоке начинают рождаться вихри, которые затем сносятся вниз по трубе (при докритических числах Рейнольдса такие вихри быстро затухают за счёт вязкости). С дальнейшим увеличением Reколичество вихрей возрастает и, взаимодействуя между собой, они порождают вихри всё меньшего размера, создавая таким образом сложную многомасштабную картин течения. Эта картина радикально отличается от ламинарной: в ней отсутствуют непрерывныелинии тока, а слои жидкости постоянно перемешиваются. Течение становится практически непредсказуемым, а скорость и давление испытыРис. 4. Пример траекторий частицвают значительные случайные флукжидкости при турбулентном течениитуации.Стоит отметить, что несмотря на существенный прогресс за последнее столетие как в теории, так и в вычислительной технике, проблема теоретическогоописания и численного моделирования развитой гидродинамической турбулентности до сих пор остаётся открытой! Тем не менее, применительно к конкретным системам могут быть построены полуэмпирические модели, дающиена практике приемлемые результаты.В качестве примера воспользуемся аналогией с молекулярно-кинетической теорией и рассмотрим следующую упрощенную модель турбулентноготечения.
Примем, что флуктуации скорости в развитом турбулентном течениипо порядку величины совпадают со средней скоростью потока Δ ∼ �. Приэтом элементы жидкости практически равномерно перемешиваются по сечению трубы, так что в качестве «длины пробега» жидкой частицы можно взять8поперечный размер системы . Тогда по аналогии с формулой (9) определим«турбулентную вязкость» как(15)турб ∼ �.Далее по аналогии с выводом формулы Пуазейля запишем баланс сил в потоке, откуда получим оценку для средней скорости течения:турб�⋅ 2 ∼ 2 Δ →ΔПодставляя сюда (15), находим скорость � ∼ � = 2 � ∼ 5/2 �� ∼2 Δ.турб и, как следствие, расход:Δ,что повторяет результат (14), полученный выше методом размерностей.Заметим, что эта теоретическая модель довольно груба и никак не учитывает сложную структуру турбулентного течения (например, не учитываетсязависимость скорости потока от расстояния до оси трубы).
Кроме того,модель предполагает установившийся характер течения на исследуемомучастке, что в реальной установке, имеющей конечную длину, может легконарушаться при достаточно больших Re (см. формулу (8)). Теоретические критерии применимости данной модели установить затруднительно, так что проверить её можно лишь непосредственно в условиях конкретного опыта.Экспериментальная установкаСхема экспериментальной установки изображена на Рис. 5.
Поток воздухапод давлением, немного превышающим атмосферное, поступает через газовый счётчик в тонкие металлические трубки. Воздух нагнетается компрессором, интенсивность его подачи регулируется краном К. Трубки снабженысъёмными заглушками на концах и рядом миллиметровых отверстий, к которым можно подключать микроманометр. В рабочем состоянии открыта заглушка на одной (рабочей) трубке, микроманометр подключён к двум её выводам, а все остальные отверстия плотно закрыты пробками.Перед входом в газовый счётчик установлен водяной U-образный манометр. Он служит для измерения давления газа на входе, а также предохраняетсчётчик от выхода из строя. При превышении максимального избыточногодавления на входе счётчика (∼ 30 см вод.
ст.) вода выплёскивается из трубкив защитный баллон Б, создавая шум и привлекая к себе внимание экспериментатора.9Рис. 5. Экспериментальная установкаГазовый счётчик. В работе используется газовый счётчик барабанноготипа, позволяющий измерять объём газа Δ, прошедшего через систему. Измеряя время Δ при помощи секундомера, можно вычислить средний объёмный расход газа = Δ/Δ (для получения массового расхода [кг/с] результатнеобходимо домножить на плотность газа ).Работа счётчика основана на принципе вытеснения: на цилиндрической ёмкости жёсткоукреплены лёгкие чаши (см. Рис. 6, где дляупрощения изображены только две чаши), в которые поочередно поступает воздух из входнойтрубки расходомера. Когда чаша наполняется,она всплывает и её место занимает следующаяи т.д.
Вращение оси предаётся на счётно-суммирующее устройство.Для корректной работы счётчика он долженРис. 6. Принцип работыбыть заполнен водой и установлен горизонбарабанногогазосчётчикатально по уровню (подробнее см. техническоеописание установки).Микроманометр. В работе используется жидкостный манометр с наклонной трубкой. Разность давлений на входах манометра измеряется по высотеподъёма рабочей жидкости (как правило, этиловый спирт). Регулировканаклона позволяет измерять давление в различных диапазонах.10На крышке прибора установлен трехходовой кран, имеющий два рабочихположения — (0) и (+). В положении (0) производится установка мениска жидкости на ноль, что необходимо сделать перед началом работы (в процессе работы также рекомендуется периодически проверять положение нуля).
В положении (+) производятся измерения.При работе с жидкостным манометром важно не допустить его «зашкаливания» — перелива рабочей жидкости в подводящие трубки (в этом случаеработу придется приостановить для просушки трубок, долива спирта и т.д.).Все манипуляции по перестановке измерительных трубок следует проводить,когда манометр находится в положении (0).
Подачу газа в систему, наоборот,следует осуществлять в положении (+), чтобы контролировать величину давления и иметь возможность вовремя перекрыть поток.Перед началом работы с микроманометром необходимо убедиться, что внём залито достаточное количество спирта, а сам манометр установлен строгогоризонтально по уровням. Подводящие трубки, заполненные спиртом, недолжны содержать пузырьков воздуха, а в трубках, заполненных воздухом, недолжно быть капель спирта.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
