1598082690-7d5dc91b017235df0227872d44deef97 (805678)
Текст из файла
НИУ «МЭИ»Измерение моментаинерции тел методомвращательных колебанийЛабораторная работаО.И.Лубенченко1Оглавление1.ВВЕДЕНИЕ...........................................................................................................................................................2КРУТИЛЬНЫЙМАЯТНИК.....................................................................................................................22.ОПИСАНИЕУСТАНОВКИИМЕТОДАИЗМЕРЕНИЙ.....................................................................3ИЗМЕРЕНИЕЖЁСТКОСТИПРУЖИНЫ...............................................................................................4ИЗМЕРЕНИЕМОМЕНТАИНЕРЦИИКОЛЕБАТЕЛЬНОЙСИСТЕМЫ....................................6ТЕОРЕТИЧЕСКИЙРАСЧЁТМОМЕНТАИНЕРЦИИ........................................................................73.ПОРЯДОКВЫПОЛНЕНИЯРАБОТЫ......................................................................................................74.ДАННЫЕУСТАНОВКИ..................................................................................................................................95.ОБРАБОТКАРЕЗУЛЬТАТОВИЗМЕРЕНИЙ........................................................................................9ИЗМЕРЕНИЕЖЁСТКОСТИСИСТЕМЫПРУЖИН......................................................................9РАСЧЁТМОМЕНТАИНЕРЦИИКОЛЕБАТЕЛЬНОЙСИСТЕМЫ..........................................9КОНТРОЛЬНЫЕВОПРОСЫ..........................................................................................................................122Цель работы: измерение и проверка теоретического расчёта момента инерциисвободногостоласзакреплённыминанёмгрузамиметодомвращательныхколебаний;экспериментальнаяпроверкатеоремыГюйгенса-Штейнера1.
ВведениеМоментинерциитвёрдоготелаотносительнооси–мераинертностителавовращательномдвижении;mI = ò r 2dm ,0здесьr–расстояниемалогоэлементамассойdmотоси,m–массатела.Моментинерции–величинааддитивная:I = å Ii ,(1)где Ii–моментыинерциителпростойформы,изкоторыхсостоиттелосложнойформы.Теорема Гюйгенса-Штейнера: момент инерции I тела относительно некоторойоси равен сумме момента инерции IC этого тела относительно оси, проходящейчерез центр масс тела параллельно данной оси, и произведения массы тела наквадратрасстоянияdмеждуосями:I = IC + md 2 .(2)Основноеуравнениединамикивращательногодвижения:r uurIε = M ,ruurздесь ε –угловоеускорение, M –главныйвектормоментавнешнихсил.Впроекциинаосьвращенияzd 2φ= Mz ( φ ) .dt 2Вэтомуравненииискомаяфункцияφ(t)–угловоеперемещениетела.I(3)Крутильный маятникКрутильный маятник – твёрдое тело, способное вращаться вокруг неподвижнойосиподвоздействиемдругоготела(нитиит.п.),притомчтомоментсил,описывающий действие этого тела на маятник, направлен против углового перемещениямаятника.Если модуль момента внешних сил пропорционален угловому перемещению маятника:Mz = -Kφ ,(4)где K – вращательный коэффициент жёсткости маятника, то уравнение (3)будетиметьвидгдеd 2φ+ ω2φ = 0 ,2dt(5)3ω=K.I(6)Уравнение(5)–дифференциальноеуравнениесвободныхгармоническихколебаний.Егорешениеφ ( t ) = φ0 cos ( ωt + α ) ,гдеφ0иα–константы,определяемыеначальнымиусловиями.Величина ω, определяемая по формуле (6) – циклическая частота гармоническихвращательных(крутильных)колебаний.ПериодэтихколебанийT=2πI= 2π.ωK(7)Таким образом, момент инерции тела пропорционален квадрату периода гармоническихвращательныхколебаний.2.
Описание установки и метода измеренийЭкспериментальная установка изображена на РИС.1. Она состоитиз двух частей:колебательной системы 1и устройства 2 для измеренияжёсткости пружин. Индикаторнымприборомявляетсяоптический датчик,подсоединённый ккомпьютеру3.213Рис.1Колебательная система изображена на РИС.2. Она состоит из закреплённого навертикальной оси шкива 1, ремень 2 которого связан с упругими пружинами 3,зацепленными за штыри стойки.
К шкиву жёстко прикреплён металлическийпрофиль4срядомотверстий5,вкоторыхфиксируются грузы6.Вращательныеколебаниярегистрируютсяоптическимдатчиком7вформеимпульсовприпере-4крытии оптической оси датчика язычком 8, жёстко скреплённым со шкивом колебательнойсистемы.Рис.2Экспериментсостоитиздвухчастей:измерениежёсткостипружиныиизмерениепериодакрутильныхколебанийсистемы,состоящейизшкива1,профиля4игрузов6.Измерение жёсткости пружиныДляопределениявращательногокоэффициентажёсткости,входящеговформулу(4),необходимоизмеритьжёсткостьпружин.Пусть напружинеподвешен груз массой m0.ЗапишемIIзаконНьютонадляэтихгрузов:uur ur0 = Fт + F упр ,(8)uururгде Fт –силатяжести, F упр –силаупругости.Спроецировавуравнение(8)навертикальнуюось,получимFупр = Fт .ПозаконуГукамодульсилынатяженияпружины,Fупр = kl ,гдеk0–жёсткостьпружины,l–еёудлинение.МодульсилытяжестиFт = m0 g ,гдеg–ускорениесвободногопадения.Получим5k0l = m0 g .(9)Устройство дляизмерения жёсткости пружин показано на РИС.3.
Оно состоитизстойкисподвесом,наборакалиброванныхгрузоввесомпо100гкаждыйиметаллическойлинейки.Рис.3Еслинадвепружины,соединённыепоследовательно,какпоказанона РИС.3,подвеситьгрузысуммарноймассойm1иизмеритьудлинениепружинl1,азатемпригрузахмассойm2–удлинениеl2,тоиз(9)получимìk0 l1 = m1 g ,íîk0 l2 = m2 g.Вычтяверхнееравенствоэтойсистемыизнижнего,запишемk0 ( l2 - l1 ) = ( m2 - m1 ) g .Отсюдаполучимk0 =m2 - m1g .l2 - l1(10)Результат расчёта по этой формуле не будет зависеть от положения нуля на измерительнойлинейке.Величина k0, рассчитанная по формуле (10) – это жёсткость двух пружин, соединённыхпоследовательно.Дляоднойпружиныm - m1(11)k = 2k0 = 2 2g .l2 - l16Измерение момента инерции колебательной системыРемень, связанный с пружинами жёсткостью k (11),надеваютнашкивдиаметраdивыводятсистемуизположенияравновесия,повернувеёнауголφ(РИС.4).Толстой синей стрелкой на РИС.4 показано положениеязычка.Приэтомоднапружинаоказываетсясжатой наdl = φ ,адругая–растянутойнатужевеличину.Поэто2мусуммарныймоментсилупругостистанетравнымddφkd 2= -kd=φ .222Сравнивая это выражение с равенством (4), видим, чтовращательныйкоэффициентжёсткости⊗z 8 φdM z = -2Fупрllkd 2.(12)2Из формул (7) и (12) получим выражение для моментаинерцииколебательнойсистемыK=kd 2T 2.(13)8π 2Рис.4Момент инерции колебательной системы изменяетсяпутём установки, снятия и перестановки грузов 6 в различные отверстия 5(РИС.5).I=Рис.5Изформулы(13)следует,чтомоментыинерцииподвижнойчастиколебательнойсистемыотносятсякакквадратыпериодовихколебаний.ЕслиI0–моментинер-7циисистемывнекоторойэталонной(нулевой)конфигурации,томоментинерциивдругойконфигурации2æT öIэ = I0 ç ÷ .è T0 ø(14)Заэталоннуюконфигурациюпримемпрофильбезгрузов.Теоретический расчёт момента инерцииПоставимодингрузмассы mвположение0.Из(1)следует,чтомоментинерцииподвижнойчастиколебательнойсистемыI0- = I0 + I1 ,(15)где I1–моментинерции грузаотносительноегооси.Еслисместитьгрузвположениеp(p=1,2,3,4),тоI p- = I0 + I1 + mrp2 ,гдеrp–расстояниеp-гогнездаотосисистемы(см.ТАБЛ.1).По теореме Штейнера (2) момент инерции груза (без профиля и шкива) относительноосисистемыПоэтомуI p = I1 + mrp2 .(16)I p = I p - - I0 .(17)ВэкспериментеизмеряютI0,I0–иIp–исравниваютсрезультатомрасчётапоформулам(15),(16)и(17).Еслидобавитьвторойгрузвгнездоq,томоментинерцииколебательнойсистемы()Ipq т = I0 + 2I1 + m rp2 + rq2 .(18)3.
Порядок выполнения работы1.Измерениежёсткостисистемыпружин(РИС.3)1)Подвесьте обе пружины, зацепив их друг с другом, на кронштейн подвесастойки.2)Подвесьтекпружинамдвакалибровочныхгрузаобщеймассойm1=2m0.3)Зафиксируйте статическое положение l1 стрелки на шкале измерительнойлинейки.ЗапишитерезультатвТАБЛ.2.4)Подвесьтекпружинамчетырегрузаобщеймассойm2=4m0.5)Зафиксируйте статическое положение l2 стрелки на шкале измерительнойлинейки.ЗапишитерезультатвТАБЛ.2.2.СборкаколебательнойсистемывсоответствиисРИС.21)Снимитекалибровочныегрузыспружин,аобепружины–сподвеса.2)Прицепитепружиныкобоимконцамремня.3)Наденьтеремень нашкив иприцепитесвободные концыпружинза штыристойки.Отрегулируйтеположениеремня,такчтобыостриеязычканаходилосьстрогоподфотодатчиком.3.
Подключите оптический датчик к входу концентратора, присоединив последнийкUSB-входукомпьютера.84. После включения компьютера запустите программу «Практикум по физике»(окно программы показано на РИС.6). На панели устройств выберите соответствующийсценарийэксперимента(Alt+C) .5.Запуститеизмерениядлявыбранногодатчикаисразупослезапускаприведитевдвижениеколебательнуюсистему(Ctrl+S) .6. После записи нескольких (7-8) импульсов перекрытия остановите измерения(Ctrl+T) .7.Выделитеобластьиз5-6импульсовперекрытиядляеёдетальногопросмотрасувеличенныммасштабом(Alt+леваякнопкамыши).8.
Измерьте период колебаний маятника по передним или задним фронтам соседнихчётных(либонечётных)импульсовперекрытийпутёмпостановкижёлтого (левая кнопка мыши) и зелёного маркера (правая кнопка мыши) на соответствующие фронты импульса перекрытия (РИС.6). Запишите результат в ТАБЛ.3.Проделайтеизмерения5раз.Рис.69. Поставьте один груз в положение 0. Измерьте период колебаний системы поПП.5-8.ЗапишитерезультатывТАБЛ.3.10.Поставьте два груза в положения, указанные преподавателем, например: 2-2(p=2,q=2),1-0(p=1,q=0),какпоразныестороныотосисистемы(периодколебаний Tpq¢ ),такипооднусторону ( Tpq¢¢ ).Измерьтепериодколебаний системыпоПП.5-8, при этом измерения периода колебаний в каждой конфигурации повторить3раза.ЗапишитерезультатывТАБЛ.3.94.
Данные установкиТаблица1МассакалибровочногогрузаДиаметр шкиваm0=100±1гd=100±2ммm=202±1гr1=60±2ммr2=100±2ммr3=140±2ммr4=180±2ммМассагрузаРасстоянияотгнёзддоосиколебательнойсистемы(РИС.5)5. Обработка результатов измеренийИзмерение жёсткости системы пружинТаблица2m1,гm2,гl1,ммl2,мм1.Рассчитатьжёсткостьпружиныпоформуле(11).2.
Определить погрешности измерения масс калибровочных грузов1 и статическогоположениястрелки:Δm1 =K , Δm2 =K , Δl1 =K , Δl2 = K Записатьзначениямасскалибровочныхгрузовистатическогоположениястрелкиввидеm1 = m1 ± Δm1 ит.п.3.РассчитатьпогрешностьжёсткостипружиныпоформулеΔk = kΔm12 + Δm22( m2 - m1 )2+Δl12 + Δl22( l2 - l1 )2.(19)Записатьокончательныйрезультатизмеренийжёсткостипружины2.Расчёт момента инерции колебательной системы1.Рассчитатьсредниезначенияпериодаколебаний T повсемсериямизмерений.ЗанестирезультатырасчётавТАБЛ.3.2.Определитьинструментальнуюпогрешностьпериодаколебаний:ΔTинс =K 3.Рассчитатьслучайнуюпогрешностьпериодаколебанийдлявсехсерийизмеренийпоформуле1Если mi=nm0 (n – число калибровочных грузов, подвешенных на пружинах), то получаетсяΔmi=nΔm0.2Вформуле(19)неучтенапогрешностьg.Длятогочтобыэтупогрешностьможнобылонеучитывать, при вычислениях следует брать значение g с достаточным количеством значащих цифр:g=9,8156м/с2.10nΔTсл = t P ,nå T -Ti =12in ( n - 1).Здесьn–числоизмеренийвсерии(5или3);tP,n–коэффициентСтьюдента,которыйследуетвзятьизсоответствующейтаблицы.4.Найтиполнуюпогрешностьпериодаколебанийдлявсехсерийизмерений:2ΔT = ΔTсл2 + ΔTинс.Записатьокончательныерезультатыизмеренийпериодаколебаний:T0 = T0 ± ΔT0 , T0- = T0- ± ΔT0- , Tpq¢ = Tpq¢ ± ΔTpq¢ , Tpq¢¢ = Tpq¢¢ ± ΔTpq¢¢ .5.РассчитатьсреднеезначениемоментаинерцииI0пустогопрофиляпоформуле(13).Занестирезультатвтабл.3.6.Найтипогрешностьмоментаинерциипустогопрофиляпоформуле2ΔI0 = I022æ Δk öæ Δd ö æ ΔT0 öç k ÷ + 4 ç d ÷ + ç T ÷ .èøèø è 0 ø(20)ЗаписатьокончательныйрезультатизмеренияI0.7.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
