L_6_1_Kinematika_tverdogo_tela (804012)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

КИНЕМАТИКА ТВЁРДОГО ТЕЛА

Абсолютно твёрдое тело представляет собой механическую систему, точки которой заполняют область пространства сплошным образом и расстояние между любыми двумя точками которой остается постоянным при любом ее движении. Положение любой точки твердого тела может быть определено по отношению к системе координат, начало которой находится в фиксированной точке твердого тела и оси направлены к трем фиксированным точкам, не лежащим на одной прямой.

Рис. 1

Положение твердого тела определяется положением подвижной системы координат, жестко связанной с ним: координатами одной точки твёрдого тела и углами Эйлера , определяющими направление осей подвижной системы координат , связанной с твёрдым телом, относительно неподвижной системы .

Углы Эйлера составляют систему трёх независимых углов, определяющих положение твёрдого тела с одной неподвижной точкой: угол прецессии , угол нутации , угол собственного вращения .

Рис. 2

Линия ОK пересечения подвижной плоскости с неподвижной плоскостью называется линией узлов. Такое направление ОК, что кратчайший поворот от оси к оси Oz из точки К виден в положительном направлении (противоположном ходу часовой стрелки), является положительным направлением на линии узлов. Угол прецессии – угол между положительными направлениями оси и линии узлов ОК. Угол нутации – угол между положительными направлениями осей и Oz, угол собственного вращения – угол между положительными направлениями линии узлов ОК и оси Ох.

Движение твердого тела является свободным, если на его перемещения в пространстве не наложено никаких ограничений.

.

Простейшие движения твёрдого тела, элементарные движения твердого тела – поступательное движение и вращательное движение твёрдого тела.

Поступательное движение твердого тела

Поступательное движение соответствует случаю

.

Иными словами, это движение твёрдого тела, при котором прямая, соединяющая две любые точки этого тела, перемещается, оставаясь параллельной своему начальному направлению.

Рис. 3

Пусть известен закон движения некоторой точки А: . Радиус-вектор некоторой точки В определяется суммой

. (1)

При этом . Величина отрезка АВ, соединяющего две точки твердого тела постоянна, и направление вектора не меняется при поступательном движении. Из равенства (1) непосредственно следует, что все точки твёрдого тела, движущегося поступательно, описывают конгруэнтные (совпадающие при наложении) траектории и в каждый момент времени имеют геометрически равные скорости и ускорения: , . Следовательно, закон поступательного движения твердого тела полностью соответствует закону движения одной произвольно выбранной точки тела .

Вращение твердого тела

Твердое тело совершает вращательное движение, если одна или две его точки остаются неподвижными. Если тело имеет одну неподвижную точку С, то

,

и закон движения твердого тела определяется изменением трех углов:

.

Если тело имеет две неподвижные точки, то прямая проходящая через эти точки, является неподвижной, и тело совершает вращение вокруг этой оси. Твердое тело с тремя неподвижными точками, не лежащими на одной прямой, находится в равновесии.

Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

Прямая, проходящая через две неподвижные точки тела, становится осью вращения, если на ней задано направление. единичным вектором . Полагая за неподвижную точку общее начало координат O подвижной системы и неподвижной системы, направим ось вдоль оси вращения.

Рис. 4

Если ось подвижной системы координат совместить с осью неподвижной системы, то закон вращательного движения твёрдого тела вокруг неподвижной оси можно определить изменением во времени угла поворота плоскости относительно плоскости :

.

Вектор определяет ось вращения и угол поворота тела вокруг оси. Так как , , то траекторией движения точки М является линия пересечения двух сфер – окружность с центром на оси вращения и радиусом R, равным расстоянию от точки до оси.

Из выражений радиус-вектора точки М в подвижной системе и в неподвижной системе координат:

, ,

с учетом зависимости ортов подвижной системы от угла поворота тела

следуют равенства и , где

–матрица поворота. Так как эта матрица является унитарной: , то , следовательно . Дифференцируя вектор , получаем вектор угловой скорости

,

и вектор углового ускорения

, ,

тела, направленные вдоль оси вращения.

Скорость точки твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, вращательная, линейная скорость, определяется векторным произведением вектора угловой скорости тела на радиус-вектор этой точки относительно любой точки оси вращения: . Величина скорости равна произведению величины угловой скорости тела на расстояние от точки до оси вращения: . Направление скорости по касательной к окружности с центром на оси вращения в ту сторону, откуда поворот от вектора к вектору на угол виден в направлении против хода стрелки часов. Проекции вектора вращательной скорости точки на оси прямоугольной системы координат определяются формулами Эйлера:

Ускорение точки твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, определяется как производная по времени от вектора скорости:

(2)

_Вектор

является вектором углового ускорения твердого тела. Для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, он направлен вдоль оси вращения в ту же сторону, что и вектор в случае , и в противоположную сторону при . Из равенства (2) следует, что вектор ускорения имеет две составляющие:

,

одна из которых, касательное ускорение, направлена по касательной к траектории движения точки

,

вторая составляющая, нормальное или осестремительное ускорение, направлена вдоль главной нормали

.

Модуль (величина) полного ускорения точки определяется выражением , где – расстояние от точки до оси вращения. Направление ускорения определяется углом , составленным ускорением с радиусом окружности, описываемой точкой: .

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций