L_4_Skorost_i_uskorenie_tochki (804010), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

В случае из равенств (2.10) следует разложение ускорения точки на радиальную и трансверсальную составляющие.

Определение ускорения точки при естественном способе задания ее движения.

Выражение ускорения точки получается дифференцированием соответствующего выражения вектора скорости точки по времени t:

(2.11)

Первое слагаемое в правой части равенства (2.11) есть вектор, направленный по касательной к траектории движения точки. Остается определить выражение второго слагаемого. Представим производную в виде произведения

. (2.12)

Угол между единичными векторами касательных и , проведённых в точке М и близкой к ней точке М' является углом смежности.

Рис. 28 Рис. 29

Отношением величины угла смежности к длине дуги , соединяющей точки М и М' кривой определяется средняя кривизна кривой на отрезке. Предел, к которому стремится средняя кривизна кривой при стремлении точки М' к точке М, определяет кривизну кривой в точке: , то есть

.

Величина кривизны кривой в точке при задании движения точки М по траектории в векторном виде определяется выражением

,

которое может быть определено через прямоугольные декартовы координаты:

, .

В частности, величина кривизны плоской кривой, заданной в параметрическом виде , , равна

, .

Кривизна плоской кривой , расположенной в плоскости , вычисляется по формуле

, , .

Производная единичного вектора касательной по углу смежности определяется как предел , и представляет собой вектор, направленный по главной нормали к кривой. Величина этого вектора равна (рис. 30)

.

Рис. 30

Следовательно, . Далее, учитывая равенства и , получим выражение производной от единичного вектора касательной по времени

.

В итоге равенство (2.11) может быть представлено в виде:

. (2.13)

Разлагая вектор ускорения по осям естественного трехгранника , находим выражения проекций ускорения на оси естественной системы координат:

.

Вектор называется тангенциальной или касательной составляющей ускорения, а вектор – нормальной составляющей. Модуль ускорения определяется из выражения . Угол , составляемый вектором ускорения с направлением главной нормали , определяется из равенства .

Рис. 31

Секторная скорость и секторное ускорение точки

Рис. 32

Векторная величина , определяющая скорость изменения площади поверхности, которую проходит в пространстве радиус-вектор движущейся точки, называется секторной скоростью точки. Секторная скорость точки определяется половиной векторного произведения радиус-вектора этой точки на вектор её скорости:

. (2.14)

В самом деле, радиус-вектор точки, перемещаясь в пространстве, описывает конус, направляющей которого служит траектория точки. Величина векторного произведения равна удвоенной площади треугольника, построенного на векторах и , и характеризует приращение площади криволинейного сектора, описываемого радиус-вектором . Разделив на и переходя к пределу при , получим равенство .

Из определения секторной скорости следует, что

,

если . Если же движение точки происходит по плоской кривой, то, вводя цилиндрические координаты и учитывая, что , будем иметь равенство: .

Векторная величина , определяемая производной вектора секторной скорости :

(2.15)

называется секторным ускорением точки. Из определений секторной скорости (2.14) и секторного ускорения (2.15) точки следует, что секторное ускорение точки равно половине векторного произведения радиус-вектора этой точки на вектор её ускорения:

. (2.16)

Из определения также следует, что секторное ускорение точки М, траектория которой является плоской кривой, расположенной в плоскости хОу, направлено по оси Oz и может быть определено алгебраической величиной , равной производной от проекции секторной скорости точки на ось :

, (2.17)

где и – полярные координаты точки М на плоскости хОу. Выражение (2.17) можно также непосредственно получить из равенства (2.16), используя полярные координаты :

.

15

Характеристики

Список файлов лекций